Полезное знание под угрозой удаления из Википедии или другого сайта?
Сохраните его на Викизнании или Вавилон-wiki!

Шарнирный замок

→ 
Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Описание

"Шарнирный замок" - это название проблемы, возникающей при использовании Эйлеровых углов. Из-за того, что конечный результат серии вращений зависит от порядка промежуточных вращений, иногда случается, что вращение вокруг одной оси отображается на вращение вокруг другой оси. Даже хуже, может быть невозможно вращать объект вокруг желаемой оси.

Пример

Эйлер предложил одну и ту же ось использовать дважды и таким образом описать все возможные повороты. То есть, поворот относительно Z, потом X, а потом опять Z. Например, если горизонтальный плоский диск повернуть на 90 градусов относительно Y, а потом относительно X, то плоскость диска будет параллельна Y, а вектор нормали будет параллелен X. Однако, если сначала произвести поворот относительно X, а затем уже относительно Y, то плоскость диска будет параллельна X, а вектор нормали будет параллелен Y. Таким образом, разная последовательность одинаковых поворотов даёт совершенно разный результат. Аналогично, если объект последовательно вращается вокруг Z (на небольшой угол), Y, X - осей, и угол вращения вокруг оси Y равен 90 градусам. В этом случае вращение вокруг оси Z происходит первым и, поэтому, корректно. Вращение вокруг оси Y тоже совершается корректно. Однако после вращения вокруг оси Y на 90 градусов, ось X отображается на ось Z. Таким образом, совершая вращение вокруг (относительной) X-оси мы фактически вращаем объект вокруг (абсолютной) оси Z.

Решение проблемы

Полностью избавиться от проблемы можно при помощи Алгоритма нормализованного 3D поворота. Задача решается средствами векторной алгебры, в случае полного определения плоскости и траектории вращения каждой из точек 3D объекта. Перемещение точки вычисляется в афинной системе координат. Все плоскости вращения удерживаются единым вектором нормали. Алгоритм обеспечивает корректный пересчёт углов вращения (собственного вращения, прецессии и нутации) и позволяет избежать "шарнирного замка", возникающего при использовании эйлеровых углов в классической 3D матрице поворота. Тем самым отменяется необходимость в использовании тензоров и кватернионов поворота при построении 3D сцены кругового движения и круговом обзоре трёхмерного объекта. Алгоритм нормализованного 3D поворота позволяет корректно решать задачи из серии Three-stage gyro (Трехстепенный гироскоп), в которых даже при использовании кватернионов может возникать блокировка вращения, когда во время вращения вокруг двух или более осей оси оказываются расположенными параллельно друг другу, что приводит к получению непредвиденных результатов.

Ссылки

См. также

Является в настоящее время "базовым методом" описания "вращательного движения" в механике твёрдого тела. Эйлер рассмотрел "вращательное движение тела" отдельно от "поступательного движения его центра масс". Для определения "движения тела" необходимо задать три независимые координаты:

1. направление оси вращения, вместе с точкой центра масс тела; 
2. величину и направление угла поворота вокруг оси вращения; 
3. радиус-вектор интересующей нас точки тела с началом в центре масс этого тела. 

Эйлер проанализировал движение "волчка", и ввёл в рассмотрение "систему координат", отвечающую этому движению. Такой способ математического описания вращательного движения впоследствии получил название "метода Эйлера", а "система координат", отвечающая этому методу, стала называться "углами Эйлера".

Эйлеровыми углами называют углы, определяющие положение прямоугольной декартовой системы координат относительно другой прямоугольной декартовой системы координат с тем же началом координат и с той же ориентацией. Угол собственного вращения - вокруг оси OZ, угол прецессии - вокруг оси OZ1, угол нутации - вокруг линии узлов ОК. На самом деле, углы Эйлера не являются углами поворотов относительно X, Y и Z.

Матрица вращения употребляется для вращения набора точек в пределах координатной системы. В то время, как каждая точка получает новые координаты, относительные расстояния между ними не меняются. Все вращения определяются с помощью тригонометрических функций - синусов и косинусов.

Кватернионы (quaternions) предоставляют удобное математическое обозначение положения и вращения объектов в пространстве. Кватернионы решают проблему последовательного вращения объекта вокруг осей в заданном порядке в Эйлеровых углах. Вместо того, чтобы задавать вращение объекта как серию последовательных вращений, кватернионы позволяют вращать объект вокруг произвольной оси на произвольный угол. Кватернионы позволяют сделать плавные и предсказуемые повороты. В ориентации кватерниона используются комплексные числа. Ориентация кватерниона представляется тремя осями поворота (x,y,z) и углом поворота (w). Гиперсферическое пространство трёхмерных вращений может быть охарактеризовано тремя углами (углами Эйлера), однако любое такое представление начинает вырождаться на некоторых точках гиперсферы. В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершённого вращения по другим осям. В сравнении с матрицами они обладают большей вычислительной устойчивостью и могут быть более эффективными. Кватернион обеспечивает кратчайший, наиболее эффективный контур вращения. Он также позволяет выполнять сглаживание без эффекта «шарнирного замка». Блокировка вращения может произойти, когда во время вращения вокруг двух или более осей оси оказываются расположенными параллельно друг другу, что приводит к получению непредвиденных результатов.

Универсальный шарнир (gimbals) - универсальная шарнирная опора, позволяющая закреплённому в ней объекту вращаться одновременно в нескольких плоскостях. Представляет из себя несколько колец, расположенных одно внутри другого, соединённых в противоположных точках, что дает им возможность вращаться относительно друг друга. Главным свойством карданова подвеса является то, что если в него закрепить вращающееся тело, то оно будет сохранять направление оси вращения независимо от ориентации самого подвеса.

Трехстепенный гироскоп представляет из себя три кольца – внутреннее, среднее, наружное, которые соединены так, что внутреннее кольцо может свободно вращаться относительно среднего вокруг оси, среднее кольцо вращается относительно внешнего вокруг оси, внешнее же кольцо вращается вокруг неподвижной оси. Если к маховику мгновенно приложить и снять момент внешних сил (например, слегка ударить молоточком но внутреннему кольцу карданова подвеса), то также практически мгновенно возникнут и исчезнут угловая скорость прецессии и гироскопический момент. В результате внутреннее кольцо не повернётся вокруг своей оси. Свободный гироскоп, основой которого являлся быстро вращающийся волчок, способен хранить неизменной ориентацию оси маховика в абсолютном пространстве.

Юла (волчок Лагранжа) представляет собой осесимметричное тело вращения с одной точкой опоры. Юла одновременно вращается вокруг собственной оси, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной вертикали, проходящей через точку опоры.

Хочешь уточнить, добавить или исправить текст?
Редактировать статью Подписаться на обновления