Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Математическое ожидание

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск
Эвентология
Открытый Helgus~µастер~Kласс — H~µ~K
Это незавершённая статья из области эвентологии и её применений, редактируемая при участии Мастера

Математическое ожидание, среднее значение — одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины; для дискретной случайной величины \xi , которая принимает значения x_{1},\ldots ,x_{n},\ldots с вероятностями p_{1},\ldots ,p_{n},\ldots определяется формулой

{{\rm {E}}}\xi =\sum _{{k}}x_{k}p_{k}

при условии, что ряд сходится; для непрерывной случайной величины \xi , имеющей плотность вероятности f(x) — определяется формулой

{{\rm {E}}}\xi =\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}xf(x)dx

при условии, что интеграл сходится абсолютно; характеризует расположение значений случайной величины на числовой оси — эта роль математического ожидания полностью разъясняется законом больших чисел; при сложении случайных величин и умножении на константу их математические ожидания складываются и умножаются на ту же константу; однако при умножении случайных величин их математические ожидания перемножаются, только если случайные величины независимы.

Происхождение

Термин «математическое ожидание» введён [[Пьер Симон маркиз де Лаплас|Пьером Лапаласом}}(1795) и произошёл от понятия «ожидаемого значения выигрыша», впервые появившегося (XVII в.) в теории азартных игр в трудах Блеза Паскаля и Христиана Гюйгенса. Однако первое полное теоретическое осмысление и оценка этого понятия даны Пафнутием Львовичем Чебышёвым (середина XIX в.).

Экстремальные свойства

Математическое ожидание {{\rm {E}}}\xi случайной величины \xi минимизирует средний квадрат её отклонения:

{{\rm {E}}}(\xi -{{\rm {E}}}\xi )^{2}=\min _{a}{{\rm {E}}}(\xi -a)^{2}.

В механике

Формальная механическая аналогия математическому ожиданию распределения вероятностей — центр тяжести распределения масс.

Литература

  • Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215—310.

См.также


В статье использованы материалы из Большой советской энциклопедии.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: