Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Эволюция биномиального и мультиномиального (полиномиального) распределен

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Эволюция биномиального и мультиномиального (полиномиального) распределений[править]

(Evolutschen the Binomial end the Multinomial Distributions)

Annotation

The binomial distribution is the distribution of two random variables The former one is independent, whereas the latter one is dependent on the former (Table 1).

The polynomial (multinomial) distribution is the distribution of several random variables, in which the first one is independent, and all subsequent ones are dependent on the preceding random variables (Table 2).

Аннотация

Биномиальное распределение - распределением двух случайных величин. В нём первая независимая, а вторая зависима от первой (таблица 1). Полиномиальное (мультиномиальное) распределение - распределение нескольких случайных величин, в котором первая независимая, а все последующие зависимы от предшествующих случайных величин (таблица 2).

…ни одна наука не может быть познана без математики [Роджер Бэкон (около 1214-1292), Бэкон Р. Большое сочинение. // Антология мировой философии. Т. 1. Ч. 2. .: Мысль, 1969. с. 862-876.]

“Без математики — не постичь глубин философии, без философии — не постичь глубин математики, без обеих не постичь ничего” : Ж. Б. Бордас-Дамулен (1778-1859 годы).

Для включения в энцикопедию информации является не её истинность, а проверяемость. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Проверяемость). Авторы статей должны указывать авторитетные источники, которые ставятся или могут быть поставлены под сомнение...

Под сомнение поставлены современные представления биномиального и полиномиального распределений.

Биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин X_{1} и X_{2} в дискретной временной последовательности t_{1},t_{2}, первая случайная величина независимая, а вторая случайная величина зависима от первой, числовые значения случайных величин n_{1} и n_{2} это числа успехов в n испытаниях (n_{1}+n_{2}=n) с постоянными вероятностями успехов ( Бернулли распределений) p_{1} и p_{2}, пронормированных p_{1}+p_{2}=1 согласно аксиоматике Колмогорова (таблица 1).

Пространство элементарных событий \sum _{{i=1}}^{2}\Omega _{i}(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})
Вероятность \prod _{{i=1}}^{2}P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})={\frac  {n!}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{{n_{1}}}p_{2}^{{n_{2}}}
Максимальная вероятность

(при математическом ожидании распределения)

\left({\frac  {n!}{n_{i}!n_{2}!}}p_{1}^{{n_{1}}}p_{2}^{{n_{2}}}\right)_{{max}}={\frac  {1}{2}}
Математическое ожидание

(как максимальное произведение математических ожиданий

случайных величин)

\left(\prod _{{i=1}}^{2}E(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}})\right)_{{max}}={\frac  {1}{2}}
Дисперсия \sum _{{i=1}}^{2}D(t_{i},X_{i}=n_{i})=\sum _{{i=1}}^{2}(n-n_{{i-1}})p_{i}q_{i}
Максимальная дисперсия

(при математическом ожидании распределения)

D(t_{i},X_{i}=n_{i})_{{max}}=\left(\sum _{{i-1}}^{2}(n-n_{{i-1}})p_{i}q_{i}\right)_{{max}}={\frac  {3}{4}}
Ковариационная матрица B=\|b_{{ij}}\|, где

b_{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\not =j\end{cases}}

Корреляционная матрица \mathrm{P} =\|\rho _{{ij}}\|, где

\rho _{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\not =j\end{cases}}

\chi ^{2} - критерий \chi ^{2}=\sum _{{i=1}}^{2}[X_{i}-(n-n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}]^{2}/(n-n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}=

=-n+\sum _{{i=1}}^{2}X_{i}^{2}/(n-n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}

Таблица 1 – Характеристики биномиального распределения


Биномиальное распределение появляется в так называемой биномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов.

Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности

t_{1},\quad t_{2}.

Каждая из случайных величин распределения

X_{i}=n_{i}|X_{{i-1}}=n_{{i-1}}

это n_{i} наступлений одного события

x_{i},\quad i=1,2

в i - ый момент времени при условии, что в (i-1) - ый момент произошло n_{{i-1}} наступлений предшествующего события x_{{i-1}}, — Бернулли распределения с положительным исходом, вероятности которых p_{i} нормированы

p_{1}+p_{2}=1

Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события x_{i} равна p_{i}, то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события x_{1},\quad x_{2} наступят n_{1},\quad n_{2} раз соответственно.

Случайная величина биномиального распределения в соответствующей точке дискретной временной последовательности t_{1},t_{2} имеет:

пространство элементарных событий

\Omega _{i}(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})=[0\leq n_{i}\leq n-n_{{i-1}}],

вероятность

P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})={n-n_{{i-1}} \choose n_{i}}p_{i}^{{n_{i}}},


Второй парадокс связан с ошибочным представлением полиномиального (мультиномиального) распределения распределением независимых случайных величин. Доказательство второго парадокса.

Если бы в полиномиальном распределении все случайные величины были независимыми как это принято в цитируемой современной Википедии, а также в других энциклопедиях и изданиях, например, http://statistica.ru/theory/polinomialnoe-multinomialnoe-, то в нём не выполнялось бы условие нормирования их вероятностей. Тем самым второй парадокс доказан.

Первоисточник (ru.math.wikia.com/wiki/Полиномиальное_распределение)

Полиномиальное (мультиномиальное) распределение зависимых случайных величин — это обобщение биномиального распределения двух случайных величин на случай зависимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами (таблица 2).


Таблица 2 – Характеристики полиномиального распределения зависимых случайных величин
Пространство элементарных событий \sum _{{i=1}}^{k}\Omega _{i}(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})
Вероятность \prod _{{i=1}}^{k}P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})=

={\frac  {n!}{n_{1}!\cdots n_{k}!}}p_{1}^{{n_{1}}}\cdots p_{k}^{{n_{k}}}

Максимальная вероятность

(при математическом ожидании распределения)

\left(\prod _{{i=1}}^{n}P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})\right)_{{max}}=

=\left({\frac  {n!}{n_{1}!\cdots n_{n}!}}p_{1}^{{n_{1}}}\cdots p_{n}^{{n_{n}}}\right)_{{max}}={\frac  {n!}{n^{n}}}

Математическое ожидание

(как максимальное произведение математических ожиданий

случайных величин)

\left(\prod _{{i=1}}^{n}E(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})\right)_{{max}}=

=\left(\prod _{{i=1}}^{n}(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i})\right)_{{max}}={\frac  {n!}{n^{n}}}

Дисперсия \sum _{{i=1}}^{k}D(t_{i},X_{i}=n_{i})=\sum _{{i=1}}^{k}(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}q_{i}
Максимальная дисперсия

(при математическом ожидании распределения)

\left(\sum _{{i=1}}^{n}D(t_{i},X_{i}=n_{i})\right)_{{max}}=

=\left(\sum _{{i=1}}^{n}(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}q_{i}\right)_{{max}}={\frac  {n^{2}-1}{2n}}

Ковариационная матрица B=\|b_{{ij}}\|,

где b_{{ij}}={\begin{cases}(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}q_{i},&i=j,\\0,&i\not =j\end{cases}}

Корреляционная матрица \mathrm{P} =\|\rho _{{ij}}\|,

где \rho _{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\not =j\end{cases}}

\chi ^{2} - критерий \chi ^{2}=\sum _{{i=1}}^{k}[X_{i}-(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}]^{2}/(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}=

=-n+\sum _{{i=1}}^{k}X_{i}^{2}/(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}

Прикладное применение доказательства второго парадокса.

На основании аксиоматики Колмогорова и доказательства второго парадокса в полиномиальном распределении www.wikiznanie.ru/.../Полиномиальное_распределение_независимых_случайных_величин (Полиномиальное_распределение_Буняковского) только первая (по своему номеру) независимая, а каждая последующая случайная величина зависима от всех ей последующих случайных величин.

Эта зависимость проявляется в том, что каждая последующая случайная величина полиномиального (мультиномиального) распределения (по своему порядковому номеру) сокращает верхнюю границу своего пространства элементарных событий на числовое значение, принятое ей предшествующей случайной величиной.

Исторический экскурс в историю математики. С 18-того века в математике нам известно полиномиальное (мультиномиальное) распределение как распределение независимых случайных величин (полиномиальное_распределение_Буняковского).

Естественно, что при своем создании оно было распределением независимых случайных величин, поскольку зависимые случайные величины нам стали известны только с начала 19-того века. Однако оно полностью совпадает с мультиномиальным распределением, представленного современной Википедией (https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_distribinion).

Материал изложен в четырёх (в основном) из пяти энциклопедий:

Викизнание;

Математика (русскоязычная американская энциклопедия);

Наука (русская научная энциклопедия);

http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=(MachineLearning.Ru –профессиональный русскоязычный информационно-аналитический ресурс по машинному обучению, распознаванию образов и интеллектуальному анализу данных).

Примечания П.1. Материал изложен в четырёх, а не в пяти энциклопедиях только потому, что моя учётная запись в Википедии была бессрочно заблокирована, выраженной весьма в деликатной, но абсолютно не справедливой форме: <<10.41, 1 декабря 2012 OneLitteMous (обсуждение|вклад) заблокировал Vitsemgol (обсуждение|вклад) на период бессрочно (запрещена регистрация учётных записей) (систематическое изложение оригинальных исследований).>>

П.2. В приведённой цитате моим оппонентом OneLitteMous бездоказательно и ошибочно предполагалось, что биномиальное распределение является распределением только одной случайной величины.

П.2.1. В Википедии моя учётная запись была разблокирована только в феврале 2017 года после доказательства справедливости моей точки зрения. << Разблокировать. Я приношу извинения, что влезла в чужие страницы. Я обещаю, что не нарушаю правила википедий. Елизавета Горохова (обсуждение) 11:42, 14 февраля 2017 (UTC) >>.

П.3. Представления распределений.

“Биномиальное” распределение одной случайной величины (вчастности):

www.machinelearning.ru/.../index.php?...Биномиальное_распределение_одной_случайной_величины;

ru.math.wikia.com/.../Биномиальное_распределение_одной_случайной_величины;

www.wikiznanie.ru/.../Биномиальное_распределение_Лапласа;

‎www.wikiznanie.ru/.../Биномиальное_распределение_Колмогорова;

Биномиальное распределение двух случайных величины (вчастности):

www.machinelearning.ru/.../index.php?.../Биномиальное_распределение_Буняковского;

www.machinelearning.ru/.../index.php?...Биномиальное_распределение...;

ru.math.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение;

www.wikiznanie.ru/.../Обсуждение:Биномиальное_распределение;

ru.math.wikia.com/.../Биномиальное_распределение_двух_случайных_величин.

Парадоксы:

www.machinelearning.ru/.../index.php?.../Парадоксы_биномиального_распределения;

www.wikiznanie.ru/.../Парадоксы_полиномиального_распределения;

ru.math.wikia.com/wiki/Парадоксы_мультиномиального_распределения;

www.wikiznanie.ru/.../Парадоксы_биномиального_распределения;

www.machinelearning.ru/.../index.php?.../Участник:Vitsemgol/Парадоксы_биномиального_распределения.

Общие случаи:

Полиномиальное распределение — Викизнание... Это Вам НЕ ...;

www.wikiznanie.ru/.../Биномиальное_распределение;

www.wikiznanie.ru/.../Полиномиальное_распределение;

ru.math.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение;

http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Мультиномиальное_распределение_зависимых_случайных_величин;

ru.math.wikia.com/.../распределение_биномиальной_выборки.

Частные случая:

www.machinelearning.ru/.../index.php?.../Биномиальное_распределение_Буняковского; http://ru.science.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение_с_упорядоченными_элементами_подмножеств; http://ru.science.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение_с_равновероятными_успехами_испытаний_Бернулли; http://ru.science.wikia.com/wiki/Полиномиальное_распределение_с_упорядоченными_элементами_подмножеств; http://ru.science.wikia.com/wiki/Полиномиальное_распределение_с_равновероятными_успехами_испытаний_Бернулли.


4. Во всех вышеперечисленных энциклопедиях имеются разделы, косвенно подтверждающие, что биномиальное и мультииомиальное распределения не являются распределениями независимых случайных величин. К этим разделам относятся: 4.1. Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами; 4.2. Биномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия, частный случай; 4.1. Полиномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами; 4.4. Полиномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия.

5. Математический аппарат – Математическая_физика.

Подытожим вышеизложенное:

1. Математически обосновано и доказано, что биномиальное и полиномиальное (мультиномиальное) распределения являются распределениями зависимых случайных величин;

2. Биномиальное распределение это распределение двух случайных величин, в котором только первая (по своему номеру) независимая, а вторая зависима от первой;

3. В полиномиальном, (как и в биномиальном распределении) только первая (по своему номеру) независимая случайная величина, а каждая последующая зависима от всех ей последующих случайных величин;

4. Впервые обнаружены и математически описаны частые случаи биномиального и полиномиального распределений: первые – с равновероятными успехами испытаний Бернулли; вторые – с упорядоченными элементами подмножеств;

5. Частные случаи отмеченных распределений в пункте 4 следует рассматривать как дальнейшие их развитие;

6. В своё время A. С. Пушкин (Евгений Евгений Онегин,VI) не без основания сетовал на то, что «Латынь из моды вышла ныне». Может поэтому у наших современников биномиальное распределение стало распределением только одной случайной величины. Очевидноеневероятное.

И так, завершена многолетняя эволюция биномиального и полиномиального распределений (в авторском понимании).

Со времён Лапласа (1749 -1827) и до времён Буняковского (1804-1889) биномиальное распределение принималось за распределение только одной случайной величины. После выполнения этой работы биномиальное распределение стало рассматриваться как распределение двух случайных величин, в котором первая независимая, а вторая – зависима от первой. Зависимость проявляется в том, что вторая случайная величина сокращает своё пространство элементарных событий на величину, принятую первой случайной величиной в первый момент времени.

До выполнения этой работы полиномиальное распределение принималось за распределение независимых случайных величин. После выполнения этой работы полиномиальное распределение – это распределение в основном зависимых случайных величин. В нём первая случайная величина независимая, а вторая и последующие зависимы от всех последующих случайных величин.

  • 12:35, 31 августа 2017 (MSK)
Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: