Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Эволюция биномиального и мультиномиального распределений

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

(Evolutschen the Binomial end the Multinomial Distributions)[править]

Annotation

The binomial distribution is the distribution of two random variables The former one is independent, whereas the latter one is dependent on the former (Table 1). The polynomial (multinomial) distribution is the distribution of several random variables, in which the first one is independent, and all subsequent ones are dependent on the preceding random variables (Table 2).

Аннотация

Биномиальное распределение - распределением двух случайных величин. В нём первая независимая, а вторая зависима от первой (таблица 1). Полиномиальное (мультиномиальное) распределение - распределение нескольких случайных величин, в котором первая независимая, а все последующие зависимы от предшествующих случайных величин (таблица 2).

Мой школьный учитель по математике Старостин Николай Амплеевич (Ставрополь, Северный Кавказ, средняя школа номер 3) нам часто повторял “не ошибается тот, кто ничего не делает“ и реже добавлял “и ошибается в том, что ничего не делает“

…ни одна наука не может быть познана без математики

[Роджер Бэкон (около 1214-1292), Бэкон Р. Большое сочинение. // Антология мировой философии. Т. 1. Ч. 2. .: Мысль, 1969. с. 862-876.]

Ж. Б. Бордас-Дамулен (1778-1859 годы): “Без математики — не постичь глубин философии, без философии — не постичь глубин математики, без обеих не постичь ничего”

…в математике нет другого такого раздела науки, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей http://www.vixri.ru/d/Sekej%20G.%20_Paradoksy%20v%20teorii%20verojatnostej_.pdf. (Секей Габор. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. Будапешт, 1988. 215 с.)

Так как вся эта теория основана на весьма простом разложении степени многочленного количества, то мы считаем излишним входить в дальнейшие подробности по этому вопросу (см. Основания математической теории вероятностей сочинение В.Я. Буняковского, Императорской академии наук, ординарного академика, профессора С. Петербурского университета, доктора математических наук Парижской академии. Санктпетербург. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.) Цитата на с. 19.

Доверяй, но проверяй ("Наука и жизнь", из "Sky and Telescope", США).

Для включения в Википедию информации является не её истинность, а проверяемость. Авторы статей должны указывать авторитетные источники, которые ставятся или могут быть поставлены под сомнение...

Под сомнение поставлены современные представления биномиального и мультиномиального распределений.

Доказательство. Если в мультиномиальном распределении сократить число случайных величин до двух (в оригинале это выглядит так: When k = 2, the multinomial distribution is the binomial distribution), то получим биномиальное распределение.

Напрашивается вопрос: сколько случайных величин содержит биномиальное распределение? Естественно напрашивается ответ, что две.

Однако согласно этой же электронной энциклопедии Википедии биномиальное распределение содержит только одну случайную величину.

Это же явный парадокс.

То, что биномиальное распределение является распределением только одной случайной величины, придерживаются многие авторитетные источники, в частности,

во-первых, Биномиальное распределение — Викизнание... Это Вам НЕ ... www.wikiznanie.ru/.../Биномиальное_распределение,

во-вторых, Биномиальное распределение - Портал Знаний StatSoft.

Мое предстабление этой проблемы изложено в источнике

www.wikiznanie.ru/.../Обсуждение:Биномиальное_распределение

Предыстория первого парадокса и его доказательство.

Приставка «би» в переводе с латыни слову придаёт значение «состоящий из двух частей, имеющий два признака». Наглядный пример тому бином – двучлен. Примеры из других областей науки и техники: в авиации биплан — самолет со сдвоенными крыльями, в оптике бинокль — сдвоенный монокль, в комбинаторике бином — двучлен, и только в современной теории вероятностей биномиальное распределение — распределение, полученное не основе бинома (двучлена), является распределением только одной случайной величины… Вывод только единственный: биномиальное распределение обязано быть распределением двух случайных величин. Изначально моя точка зрения на биномиальное распределение не была оригинальной и основывалась на трудах Виктора Яковлевича Буняковского. Именно он впервые установил, что биномиальное распределение является распределением двух случайных величин. В пору не были ещё известны зависимые случайные величины, поэтому биномиальное распределение Буняковского было распределением двух, но только независимых случайных величин

В ту пору не были ещё известны зависимые случайные величины, поэтому Биномиальное распределение Буняковского было распределением двух, но только независимых случайных величин. Благодаря А.А. Маркову (математик) в 1907 году в России стали известны зависимые случайные величины. Полвека спустя в России была создана аксиоматика Колмогорова. Она и завершила многовековое становление биномиального распределения как распределения двух случайных величин. А чтобы выполнялась аксиоматика Колмогорова, в нём вторая случайная величина стала зависимой от первой.

Парадокс математического ожидания биномиального распределения: математическое ожидание биномиального распределения не равно np

Если утверждается, что биномиальное распределение — распределение одной случайной величины и что математическое ожидание этого биномиального распределения есть ни что иное, как

{\mathbf  {E}}\xi =np,

где n — число независимых испытаний, а p — вероятность положительного исхода одного испытания, то при увеличении числа испытаний до

n>{\frac  {1}{p}}

математическое ожидание биномиального распределения окажется больше единицы, что не допустимо для любого распределения, ибо согласно второй аксиоме вероятностей аксиоматики Колмогорова, вероятности всех случайных величин распределения, включая и его математическое ожидание, обязаны быть равными единице.

Второй парадокс доказан.

Третий парадокс связан с ошибочным представлением дисперсии биномиального распределения и доказывается аналогично предыдущему.

Парадокс дисперсии биномиального распределения: дисперсия биномиального распределения не равна npq=np(1-p)

Если утверждается, что биномиальное распределение — распределение одной случайной величины и что дисперсия этого биномиального распределения есть

{\mathbf  {D}}\xi =npq=np(1-p),

где n — число независимых испытаний, p — вероятность положительного исхода одного испытания, q=(1-p) — дисперсия, то при увеличении числа испытаний до

n>{\frac  {1}{pq}}

дисперсия биномиального распределения окажется больше единицы что не допустимо, ибо согласно второй аксиоме вероятностей аксиоматики Колмогорова, вероятности всех случайных величин распределения, включая и его математическое ожидание, обязаны быть равными единице.

Третий парадокс биномиального распределения доказан.

Современное представление биномиального распределения.

(Первоисточник wikiznanie.ru›ru…index…Биномиальное_распределение.) Первоисточник (ru.math.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение)

Биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин X_{1} и X_{2} в дискретной временной последовательности t_{1},t_{2}, первая из них независимая, а вторая зависима от первой (таблица 1).

Пространство элементарных событий \sum _{{i=1}}^{2}\Omega _{i}(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})
Вероятность \prod _{{i=1}}^{2}P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})={\frac  {n!}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{{n_{1}}}p_{2}^{{n_{2}}}
Максимальная вероятность

(при математическом ожидании распределения)

\left({\frac  {n!}{n_{i}!n_{2}!}}p_{1}^{{n_{1}}}p_{2}^{{n_{2}}}\right)_{{max}}={\frac  {1}{2}}
Математическое ожидание

(как максимальное произведение математических ожиданий

случайных величин)

\left(\prod _{{i=1}}^{2}E(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}})\right)_{{max}}={\frac  {1}{2}}
Дисперсия \sum _{{i=1}}^{2}D(t_{i},X_{i}=n_{i})=\sum _{{i=1}}^{2}(n-n_{{i-1}})p_{i}q_{i}
Максимальная дисперсия

(при математическом ожидании распределения)

D(t_{i},X_{i}=n_{i})_{{max}}=\left(\sum _{{i-1}}^{2}(n-n_{{i-1}})p_{i}q_{i}\right)_{{max}}={\frac  {3}{4}}
Ковариационная матрица B=\|b_{{ij}}\|, где

b_{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\not =j\end{cases}}

Корреляционная матрица \mathrm{P} =\|\rho _{{ij}}\|, где

\rho _{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\not =j\end{cases}}

\chi ^{2} - критерий \chi ^{2}=\sum _{{i=1}}^{2}[X_{i}-(n-n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}]^{2}/(n-n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}=

=-n+\sum _{{i=1}}^{2}X_{i}^{2}/(n-n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}

Таблица 1 – Характеристики биномиального распределения

Биномиальное распределение появляется в так называемой биномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов.

Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности

t_{1},\quad t_{2}.

Каждая из случайных величин распределения

X_{i}=n_{i}|X_{{i-1}}=n_{{i-1}}

это n_{i} наступлений одного события

x_{i},\quad i=1,2

в i - ый момент времени при условии, что в (i-1) - ый момент произошло n_{{i-1}} наступлений предшествующего события x_{{i-1}}, — Бернулли распределения с положительным исходом, вероятности которых p_{i} нормированы

p_{1}+p_{2}=1

Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события x_{i} равна p_{i}, то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события x_{1},\quad x_{2} наступят n_{1},\quad n_{2} раз соответственно.

Случайная величина биномиального распределения в соответствующей точке дискретной временной последовательности t_{1},t_{2} имеет:

пространство элементарных событий

\Omega _{i}(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})=[0\leq n_{i}\leq n-n_{{i-1}}],

вероятность

P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})={n-n_{{i-1}} \choose n_{i}}p_{i}^{{n_{i}}},


Современное представление полиномиального распределения

(Источник www.wikiznanie.ru/.../Полиномиальное_распределение.)

Полиномиа́льное (мультиномиа́льное) распределе́ние зависимых случайных величин — это обобщение биномиального распределения двух случайных величин на случай зависимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами (таблица 2).

Таблица 2 – Характеристики полиномиального распределения зависимых случайных величин
Пространство элементарных событий \sum _{{i=1}}^{k}\Omega _{i}(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})
Вероятность \prod _{{i=1}}^{k}P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})=

={\frac  {n!}{n_{1}!\cdots n_{k}!}}p_{1}^{{n_{1}}}\cdots p_{k}^{{n_{k}}}

Максимальная вероятность

(при математическом ожидании распределения)

\left(\prod _{{i=1}}^{n}P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})\right)_{{max}}=

=\left({\frac  {n!}{n_{1}!\cdots n_{n}!}}p_{1}^{{n_{1}}}\cdots p_{n}^{{n_{n}}}\right)_{{max}}={\frac  {n!}{n^{n}}}

Математическое ожидание

(как максимальное произведение математических ожиданий

случайных величин)

\left(\prod _{{i=1}}^{n}E(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{{i-1}},X_{{i-1}}=n_{{i-1}})\right)_{{max}}=

=\left(\prod _{{i=1}}^{n}(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i})\right)_{{max}}={\frac  {n!}{n^{n}}}

Дисперсия \sum _{{i=1}}^{k}D(t_{i},X_{i}=n_{i})=\sum _{{i=1}}^{k}(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}q_{i}
Максимальная дисперсия

(при математическом ожидании распределения)

\left(\sum _{{i=1}}^{n}D(t_{i},X_{i}=n_{i})\right)_{{max}}=

=\left(\sum _{{i=1}}^{n}(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}q_{i}\right)_{{max}}={\frac  {n^{2}-1}{2n}}

Ковариационная матрица B=\|b_{{ij}}\|,

где b_{{ij}}={\begin{cases}(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}q_{i},&i=j,\\0,&i\not =j\end{cases}}

Корреляционная матрица \mathrm{P} =\|\rho _{{ij}}\|,

где \rho _{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\not =j\end{cases}}

\chi ^{2} - критерий \chi ^{2}=\sum _{{i=1}}^{k}[X_{i}-(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}]^{2}/(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}=

=-n+\sum _{{i=1}}^{k}X_{i}^{2}/(n-\ldots -n_{{i-1}})p_{i}^{{(0)}}

Традиционная интерпретация. Полиномиальное распределение появляется в так называемой полиномиальной схеме случайных экспериментов: каждая из случайных величин \xi _{j} — это число наступлений одного из взаимоисключающих событий x_{j},j=1,\ldots ,k, при повторных независимых экспериментах. Если в каждом эксперименте вероятность наступления события x_{j} равна p_{j}, то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события x_{1},\ldots ,x_{k} наступят n_{1},\ldots ,n_{k} раз соответственно. Каждая из случайных величин \xi _{i} имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием np_{i} и дисперсией np_{i}(1-p_{i}).

Четвёртый парадокс связан с ошибочным представлением полиномиального (мультиномиального) распределения распределением независимых случайных величин.

Доказательство четвёртого парадокса.

Если бы в полиномиальном распределении все случайные величины были независимыми как это принято в цитируемой современной Википедии, а также в других энциклопедий и изданиях, то в нём не выполнялось бы условие нормирования их вероятностей.

Тем самым четвёртый парадокс доказан.

Прикладное применение доказательства четвёртого парадокса.

На основании аксиоматики Колмогорова и доказательства четвёртого парадокса в полиномиальном распределении www.wikiznanie.ru/.../Полиномиальное_распределение_независимых_ случайных_величин (Полиномиальное_распределение Буняковского) только первая (по своему номеру) независимая, а каждая последующая случайная величина зависима от всех ей последующих случайных величин. Эта зависимость проявляется в том, что каждая последующая случайная величина полиномиального (мультиномиального) распределения (по своему порядковому номеру) сокращает верхнюю границу своего пространства элементарных событий на числовое значение, принятое ей предшествующей случайной величиной.

Исторический экскурс в историю математики.

С 18-того века в математике нам известно полиномиальное (мультиномиальное) распределение как распределение независимых случайных величин (полиномиальное распределение Буняковского). Естественно что при своем создании оно было распределением независимых случайных величин, поскольку зависимые случайные величины нам стали известны только с начала 19-того века www.wikiznanie.ru/.../Полиномиальное_распределение_независимых_случайных_величин (современное представление полиномиального распределения Буняковского). Зависимые случайные величины стали известны только с начала 19-того века. Однако оно полностью совпадает с мультиномиальным распределением, представленного современной Википедией (https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_distribinion), что не соответствует действительности.

Материал изложен в четырёх (в основном) из пяти энциклопедий: Викизнание; Математика (русскоязычная американская энциклопедия); Наука (русская научная энциклопедия); http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=(MachineLearning.Ru – профессиональный русскоязычный информационно-аналитический ресурс по машинному обучению, распознаванию образов и интеллектуальному анализу данных).

Примечания П.1. Материал изложен в четырёх, а не в пяти энциклопедиях только потому, что моя учётная запись в Википедии была бессрочно заблокирована, выраженной в деликатной, но не справедливой форме: <<10.41, 1 декабря 2012 OneLitteMous (обсуждение|вклад) заблокировал Vitsemgol (обсуждение|вклад) на период бессрочно (запрещена регистрация учётных записей) (систематическое изложение оригинальных исследований).>>

П.2. В приведённой цитате моим оппонентом OneLitteMous бездоказательно и ошибочно предполагалось, что биномиальное распределение является распределением только одной случайной величины.

П.2.1. В Википедии моя учётная запись была бессрочно заблокирована в декабре 2012 года и разблокирована только в феврале 2017 года через пять лет после доказательства справедливости моей точки зрения. << Разблокировать. Я приношу извинения, что влезла в чужие страницы. Я обещаю, что не нарушаю правила википедий. Елизавета Горохова (обсуждение) 11:42, 14 февраля 2017 (UTC) >>.

П.3. Мои представления распределений.

“Биномиальное” распределение одной случайной величины (вчастности):

www.machinelearning.ru/.../index.php?...Биномиальное_распределение_одной_случайной_величины;

ru.math.wikia.com/.../Биномиальное_распределение_одной_случайной_величины;

www.wikiznanie.ru/.../Биномиальное_распределение_Лапласа;

‎www.wikiznanie.ru/.../Биномиальное_распределение_Колмогорова.

Биномиальное распределение двух случайных величин (вчастности):

www.machinelearning.ru/.../index.php?.../Биномиальное_распределение_Буняковского;

ru.math.wikia.com/.../Биномиальное_распределение_двух_случайных_ величин;

www.wikiznanie.ru/.../Обсуждение:Биномиальное_распределение.

Парадоксы:

Полиномиальное распределение — Викизнание... Это Вам НЕ ...

www.machinelearning.ru/.../index.php?.../Парадоксы_биномиального_распределения;

www.wikiznanie.ru/.../Парадоксы_полиномиального_распределения;

ru.math.wikia.com/wiki/Парадоксы_мультиномиального_распределения;

www.wikiznanie.ru/.../Парадоксы_биномиального_распределения;

www.machinelearning.ru/.../index.php?.../Участник:Vitsemgol/Парадоксы_биномиального_распределения;

Общие случаи:

www.wikiznanie.ru/.../Биномиальное_распределение;

www.wikiznanie.ru/.../Полиномиальное_распределение;

Полиномиальное распределение — Викизнание... Это Вам НЕ ...;

www.wikiznanie.ru/.../Полиномиальное_распределение;

ru.math.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение;

http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Мультиномиальное_распределение_зависимых_случайных_величин;

ru.math.wikia.com/.../распределение_биномиальной_выборки.

Частные случая:

http://ru.science.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение_с_упорядоченными_элементами_подмножеств;

http://ru.science.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение_с_равновероятными_успехами_испытаний_Бернулли;

http://ru.science.wikia.com/wiki/Полиномиальное_распределение_с_упорядоченными_элементами_подмножеств;

http://ru.science.wikia.com/wiki/Полиномиальное_распределение_с_равновероятными_успехами_испытаний_Бернулли.

4. Во всех вышеперечисленных энциклопедиях имеются разделы, косвенно подтверждающие, что биномиальное и мультииомиальное распределения не являются распределениями независимых случайных величин. К этим разделам относятся: 4.1. Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами; 4.2. Биномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия, частный случай; 4.1. Полиномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами; 4.4. Полиномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия.

5. Математический аппарат – Математическая физика.

Подытожим вышеизложенное:

1. Доказано, что биномиальное и полиномиальное распределения являются распределениями зависимых случайных величин;

2. Биномиальное распределение это распределение двух случайных величин, в котором только первая (по своему номеру) независимая,а вторая зависима от первой;

3. Полиномиальное распределение превращается в биномиальное распределение при сокращении числа случайных величин до двух;

4. В полиномиальном, (как и в биномиальном распределении) только первая (по своему номеру) независимая случайная величина, а каждая последующая зависима от всех ей последующих случайных величин. Зависимость проявляется в том, что каждая случайная величина сокращает верхнюю границу своего пространства элементарных событий на числовое значение, принятое ей предшествующей случайной величиной;

5. Впервые обнаружены и математически описаны частые случаи биномиального и полиномиального распределений, а именно, первые – с равновероятными успехами испытаний Бернулли; вторые – с упорядоченными элементами подмножеств. Частные случаи, приведённые в пункте 4, следует рассматривать как дальнейшие развития исследуемых распределений;

6. Предложено ранее неизвестное распределение, а именно, ru.math.wikia.com/.../распределение_биномиальной_выборки;

7. В своё время A. С. Пушкин (Евгений Евгений Онегин,VI) не без основания сетовал на то, что «Латынь из моды вышла ныне». Может поэтому у наших современников биномиальное распределение стало распределением только одной случайной величины: очевидное – невероятное.

И так, завершена многолетняя эволюция биномиального и полиномиального распределений (в авторском понимании).

Со времён Лапласа (1749-1827) и до Буняковского (1804-1889) биномиальное распределение принималось за распределение только одной случайной величины. Благодаря математику Маркову Андрею Андреевичу (1856-1922) нам стали известны зависимые случайные величины. Совместно с аксиоматикой Колмогорова было завершено становление биномиального распределения как распределения двух случайных величин, в котором первая независимая, а вторая – зависима от первой (таблица 1).

До выполнения этой работы полиномиальное распределение принималось за распределение независимых случайных величин. После выполнения этой работы полиномиальное распределение – это распределение в основном зависимых случайных величин. В нём первая случайная величина независимая, а вторая и последующие величины зависимы от всех последующих случайных величин (таблица 2).

Утверждения о том, что биномиальное распределение-распределение одной случайной величины, а полиномиальное распределение нескольких независимых случайных величин, являются недоказанными и потому несправедливыми.


* 12:31, 24 августа 2017 (MSK)
Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: