Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Эвентологические фракталы

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск
Эвентология
Открытый Helgus~µастер~Kласс — H~µ~K
Это незавершённая статья из области эвентологии и её применений, редактируемая при участии Мастера

Фрактальные эвентологические структуры зависимостей множеств событий[править]

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Классические фракталы располагаются чаще всего в евклидовом пространстве, или более общих пространствах, которые обладают основными свойствами линейных векторных пространств и о подмножествах которых имеет смысл говорить, что они имеют ту или иную геометрическую форму. Эффект классической фрактальности заключается в так называемой самоподобности формы всего геометрического объекта форме некоторой его части, взятой в другом масштабе.

Эффект классической фрактальности имеет смысл обсуждать только там, где определено понятие геометрической формы. Поэтому классическая фрактальность - это фрактальность геометрической формы, или геометрическая фрактальность.

Эвентологическая фрактальность принципиально отличается от геометрической. Основной предмет исследования эвентологии - множество событий - множество подмножеств пространства элементарных событий, которое изначально не наделено структурой, позволяющей говорить о геометрической форме события. Однако любое множество событий обладает естественной эвентологической структурой зависимостей событий. Эта структура вполне характеризуется ковариациями или Фреше-корреляциями подмножеств событий. И, хотя для эвентологической структуры также не определено классическое понятие геометрической формы, возникает идея, назвав эвентологической формой то, что характеризует эвентологическую структуру и определяет Э-распределение множества событий, попытаться определить для такого рода "форм" понятие "подобия", чтобы затем применить его для определения эвентологической фрактальности.

"Точно так же", как при построении триадной кривой Коха, один отрезок (длины 3) на каждом шаге замещается порождающим фракталом, который состоит из четырех отрезков (суммарной длины 4), образующих характерную вполне определенную геометрическую форму ломаной линии, так и при построении фрактального эвентологического распределения (Э-распределения) одно событие (имеющее вероятность p) предлагается замещать порождающим эвентологическим фракталом (Э-фракталом), который представляет из себя объединение множества "меньших" событий (имеющее вероятность p, т.е. сумма вероятностей его событий не меньше p), образующих "в пределах" этого множества структуру зависимостей с вполне определенной "эвентологической формой". Согласимся, что в таком виде предлагаемый план построения фрактального Э-распределения пока выглядит довольно туманным.

Чтобы приступить к конкретизации этого плана, сначала предварительно обсудим то, что можно было бы назвать эвентологической формой множества событий и сопоставить с геометрической формой евклидовых объектов. Затем рассмотрим простые примеры и попытаемся сформулировать принцип эвентологического "самоподобия", способный порождать эвентологическую фрактальность.

Покажем, что на уже существующие в эвентологической теории Э-распределения

p_{{X}}={\mathbf  {P}}\left(\bigcap _{{x\in X}}x\right),\ X\subseteq {\mathfrak  {X}},

ковариационные и корреляционные Э-распределения

{\mathrm  {Kov}}_{X}=p_{X}-\prod \limits _{{x\in X}}{\mathbf  {P}}(x),\ {\mathrm  {Kor}}_{X}={\mathrm  {Kov}}_{X}/F_{X},\ X\subseteq {\mathfrak  {X}},

множества событий {\mathfrak  {X}} можно взглянуть, как на эвентологическую форму {\mathfrak  {X}}. Этот новый взгляд пока требуется только для того, чтобы помочь преодолеть препятствия на пути сопоставления эвентологической и классической геометрической ситуации относительно формы исследуемых объектов. Конечная цель такого сопоставления - понять, как можно сформулировать принцип эвентологического "самоподобия" и как, исходя из этого принципа, определить фрактальные преобразования эвентологической формы.

Э-фракталы непересекающихся событий[править]

Начнем с простого варианта: "замещения" одного события x_{0}\in {\mathfrak  {X}} объединением двух {F}-измеримых событий, образующих дуплет {\mathfrak  {X}}_{1}=\{x_{1}^{1},x_{1}^{2}\}\subseteq {\mathfrak  {X}}, для которых парная Фреше-корреляция принимает наименьшее из возможных значений: {\mathrm  {Kor}}_{{{\mathfrak  {X}}_{1}}}=-1, иначе говоря, события x_{1}^{1} и x_{1}^{2} не пересекаются: x_{1}^{1}\cap x_{1}^{2}=\varnothing . В этом случае "замещение" события x_{0} объединением непересекающихся событий x_{1}^{1} и x_{1}^{2} превращается в его разбиение: x_{0}=x_{1}^{1}+x_{1}^{2}. Теперь если p_{0}={\textbf  {P}}(x_{0}),\qquad p_{1}^{1}={\textbf  {P}}(x_{1}^{1}),\qquad p_{1}^{2}={\textbf  {P}}(x_{1}^{2}), то p_{0}=p_{1}^{1}+p_{1}^{2}. Обозначим \alpha ={\textbf  {P}}{\big (}\ x_{1}^{1}\ |\ x_{0}\ {\big )}={\frac  {p_{1}^{1}}{p_{1}^{1}+p_{1}^{2}}}\qquad 1-\alpha ={\textbf  {P}}{\big (}\ x_{1}^{2}\ |\ x_{0}\ {\big )}={\frac  {p_{1}^{2}}{p_{1}^{1}+p_{1}^{2}}} - соответствующие условные вероятности. Отсюда p_{1}^{1}=\alpha p_{0},\qquad p_{1}^{2}=(1-\alpha )p_{0} - вероятности двух событий, полученных на первом шаге.

Продолжим процесс на втором шаге, разбивая полученные на первом шаге события на два события так: x_{1}^{1}=x_{2}^{{11}}+x_{2}^{{12}},\qquad x_{1}^{2}=x_{2}^{{21}}+x_{2}^{{22}} чтобы соответствующие условные вероятности были равны прежним: {\textbf  {P}}{\big (}\ x_{2}^{{11}}\ |\ x_{1}^{1}\ {\big )}=\alpha ,\qquad {\textbf  {P}}{\big (}\ x_{2}^{{12}}\ |\ x_{1}^{1}\ {\big )}=1-\alpha {\textbf  {P}}{\big (}\ x_{2}^{{21}}\ |\ x_{1}^{2}\ {\big )}=\alpha ,\qquad {\textbf  {P}}{\big (}\ x_{2}^{{22}}\ |\ x_{1}^{2}\ {\big )}=1-\alpha Отсюда p_{2}^{{11}}=\alpha p_{1}^{1},\qquad p_{2}^{{12}}=(1-\alpha )p_{1}^{1},\qquad p_{2}^{{21}}=\alpha p_{1}^{2},\qquad p_{2}^{{22}}=(1-\alpha )p_{1}^{2}, или p_{2}^{{11}}=\alpha ^{2}p_{0},\qquad p_{2}^{{12}}=(1-\alpha )\alpha p_{0}, p_{2}^{{21}}=\alpha (1-\alpha )p_{0},\qquad p_{2}^{{22}}=(1-\alpha )^{2}p_{0}, - вероятности четырех событий, полученных на втором шаге.

На n-ом шаге получаются 2^{n} событий, для удобного обозначения которых, а также для удобного обозначения их вероятностей вводятся следующие вспомогательные обозначения. Пусть {A}_{n} - множество из n событий, каждое из которых соответствует одному из шагов процесса разбиения событий. Событие a\in {A}_{n} наступает в том случае, если на данном шаге разбиения выбирается первый фрагмент, которому соответствует условная веростность \alpha , событие a^{c}=\Omega -a наступает в противном случае, если на данном шаге разбиения выбирается второй фрагмент, которому соответствует условная веростность 1-\alpha . Тогда каждому из 2^{n} событий, полученных на n-ом шаге разбиения, взаимно-однозначно соответствует подмножество A\subseteq {A}_{n}. Каждое такое событие обозначается x_{n}^{A}, а его вероятность p_{n}^{A}={\textbf  {P}}(x_{n}^{A}). Очевидно, что для вероятности этого события справедлива формула: p_{n}^{A}=\alpha ^{{|A|}}(1-\alpha )^{{n-|A|}}p_{0},\qquad A\subseteq {A}_{n} Причем \sum _{{A\subseteq {A}_{n}}}p_{n}^{A}=p_{0}\sum _{{A\subseteq {A}_{n}}}\alpha ^{{|A|}}(1-\alpha )^{{n-|A|}}=p_{0}(\alpha +1-\alpha )^{n}=p_{0}.

Становится ясно, что здесь мы имеем дело ни с чем иным, как с условным биномиальным распределением с параметрами (n,\alpha ): \sum _{{A\subseteq {A}_{n}}}\alpha ^{{|A|}}(1-\alpha )^{{n-|A|}}=\sum _{{i=0}}^{{n}}C_{n}^{i}\alpha ^{i}(1-\alpha )^{{n-i}}. Как известно, при n\rightarrow \infty биномиальное распределение асимптотически стремится к нормальному (после определенных процедур центрирования и нормирования).

Итак, рассмотренный крайний случай зависимости событий, когда Kor_{{{\mathfrak  {X}}_{1}}}=-1, т.е. когда событие разбивается на два "меньших" непересекающихся события, приводит к биномиальному (а в пределе - к нормальному) распределению вероятностей получающихся событий-фрагментов.

Если теперь рассмотреть случай разбиения не на дуплет событий, а на m-плет - произвольное m-множество {\mathfrak  {X}}_{1}=\{x_{1}^{1},...,x_{1}^{m}\}, составленное из m "меньших" непересекающихся событий: x_{0}=x_{1}^{1}+...+x_{1}^{m}\ , т.е. опять случай, когда Kor_{{{\mathfrak  {X}}_{1}}}=-1, то очевидно, что в результате мы будем иметь дело с полиномиальным распределением вероятностей событий-фрагментов разбиения вида p_{n}^{{A_{1},...,A_{m}}}=p_{0}\prod \limits _{{i=1}}^{m}\alpha _{i}^{{A_{i}}}\ , где A_{1}+...+A_{m}=A_{n},\qquad \sum _{{i=1}}^{m}\alpha _{i}=1\ ,

Э-фракталы вложенных событий[править]

Рассмотрим другой крайний случай зависимости, когда событие x_{0}, имеющее вероятность p_{0}={\textbf  {P}}(x_{0}), "замещается" объединением множества событий {\mathfrak  {X}}_{1}=\{x_{1}^{1},...,x_{1}^{m}\} с так называемой вложенной структурой зависимости: x_{1}^{m}\subseteq ...\subseteq x_{1}^{1} иначе говоря, когда Фреше-корреляция множества событий {\mathfrak  {X}}_{1} принимает максимально возможное значение: Kor_{{{\mathfrak  {X}}_{1}}}=+1. Обозначим, как и раньше, p_{1}^{1}={\textbf  {P}}(x_{1}^{1}),...,p_{1}^{m}={\textbf  {P}}(x_{1}^{m}), где по предположению p_{1}^{m}\leq ...\leq p_{1}^{1}=p_{0} Считается, что на каждом шаге "замещению" подвергается только одно "наименьшее" из всех событий, полученных к этому шагу. В результате n-го шага получается последовательность из n(m-1)+1 вложенного события следующего вида x_{0}\supseteq \underbrace {x_{1}^{2}\supseteq ...\supseteq x_{1}^{m}}_{{m-1}}\supseteq \underbrace {x_{2}^{2}\supseteq ...\supseteq x_{2}^{m}}_{{m-1}}\supseteq ...\supseteq \underbrace {x_{n}^{2}\supseteq ...\supseteq x_{n}^{m}}_{{m-1}}. Вероятности событий из этой последовательности вычисляются по тривиальным формулам: p_{1}^{1}=p_{0},\qquad p_{i}^{k}=\beta ^{{i+k-2}}p_{1}^{1},\qquad i=1,...,n,\qquad k=2,...,m, где \beta =p_{1}^{m}/p_{1}^{1}\leq 1. Таким образом, каждая подпоследовательность этой последовательности, составленная из k-ых событий: \{x_{i}^{k},\ i=1,...,n\} подчиняется Э-распределению вероятностей p_{0}-p_{1}^{k},p_{1}^{k}-p_{2}^{k},...,p_{{n-1}}^{k}-p_{n}^{k},p_{n}^{k} которое определяется степенным рядом p_{i}^{k}=\beta ^{{i+k-2}}p_{0},i=1,...,n, с основанием \beta \leq 1. В частности, когда m=2, получаем ряд событий x_{0}\supseteq x_{1}^{2}\supseteq x_{2}^{2}\supseteq ...\supseteq x_{n}^{2} с вероятностями p_{0},\ \beta p_{o},\ \beta ^{2}p_{0},...,\ \beta ^{n}p_{0}

Э-фракталы независимых событий.[править]

В случае дуплетного Э-фрактала событие x_{0} "замещается" объединением двух независимых событий: x_{0}=x_{1}^{1}\cup x_{1}^{2}, вероятности которых связаны соотношением 1-p_{0}=(1-p_{1}^{1})(1-p_{1}^{2}). Пусть дуплетный Э-фрактал определяется условием 1-p_{1}^{1}=(1-p_{1}^{2})^{{\alpha }},\qquad \alpha >0. Тогда 1-p_{1}^{1}=(1-p_{1}^{2})^{{\alpha /(1+\alpha )}},\qquad 1-p_{1}^{2}=(1-p_{1}^{2})^{{1/(1+\alpha )}} На втором шаге получаем 1-p_{2}^{{11}}=(1-p_{1}^{1})^{{\alpha /(1+\alpha )}},\qquad 1-p_{2}^{{12}}=(1-p_{1}^{1})^{{1/(1+\alpha )}}. 1-p_{2}^{{21}}=(1-p_{1}^{2})^{{\alpha /(1+\alpha )}},\qquad 1-p_{2}^{{22}}=(1-p_{1}^{2})^{{1/(1+\alpha )}}. Общая формула на n-ом шаге имеет вид 1-p_{n}^{A}=(1-p_{0})^{{\lambda ^{{|A|}}(1-\lambda )^{{n-|A|}}}},\qquad A\subseteq {A}_{n}, где A - подмножество событий, наступающих при выборе первого события из двух событий дуплетного Э-фрактала, а \lambda =\alpha /(1+\alpha ).

В случае m-плетного Э-фрактала событие x_{0} "замещается" объединением m независимых событий: x_{0}=x_{1}^{1}\cup ...\cup x_{1}^{m}, вероятности которых связаны соотношением 1-p_{0}=(1-p_{1}^{1})\cdot ...\cdot (1-p_{1}^{m})=\prod \limits _{{i=1}}^{m}{1-p_{1}^{i}}. Пусть m-плетный Э-фрактал определяется условием 1-p_{1}^{k}=(1-p_{1}^{1})^{{\alpha _{k}}},\qquad k=1,...,m где \alpha _{1}=1,\ \alpha _{k}>0 - заданные параметры. На первом шаге получаем 1-p_{1}^{k}=(1-p_{0})^{{\lambda _{k}}}, где \lambda _{k}={\frac  {\alpha _{k}}{\sum _{{k=1}}^{m}\alpha _{k}}},\qquad k=1,...,m. На втором шаге получаем 1-p_{2}^{{1k}}=(1-p_{1}^{1})^{{\lambda _{k}}}=(1-p_{0})^{{\lambda _{1}\lambda _{k}}}, ..., 1-p_{2}^{{mk}}=(1-p_{1}^{m})^{{\lambda _{k}}}=(1-p_{0})^{{\lambda _{m}\lambda _{k}}}, где k=1,...,m. Общая формула на n-ом шаге имеет вид 1-p_{n}^{{A^{1}...A^{m}}}=(1-p_{0})^{{\lambda _{{A^{1}...A^{m}}}}}, где A^{k}\subseteq {A}_{n}- подмножество событий, наступающих при выборе k-го события из m событий m-плетного Э-фрактала: A^{1}+...+A^{m}={A}_{n}, \lambda _{{A^{1}...A^{m}}}=\prod \limits _{{k=1}}^{m}\lambda _{k}^{{|A^{k}|}},\qquad A^{k}\subseteq {A}_{n},\qquad k=1,...m.

В заключении стоит отметить, что классические геометрические фракталы находят большое применение в машинной графике для построения очень сложных объектов, таких как береговая линия, горы и облака - сложных и в то же время гармоничных творений природы. Введение понятия Э-фракталов открывает новые возможности в моделировании сложных Э-распределений случайного множества событий, мощность которого достаточно велика.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: