Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Эвентологическая копула (мультковариационная)

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск
Эвентология
Открытый Helgus~µастер~Kласс — H~µ~K
Это незавершённая статья из области эвентологии и её применений, редактируемая при участии Мастера

Вряд ли кто сомневается в насущной необходимости разобраться и понять многообразие статистических взаимосвязей случайных событий, происходящих в сложных статистических системах природы и общества. В существующих до сих пор теориях не в полной мере учитываются взаимосвязи и взаимозависимости случайных событий: зачастую взаимосвязи вообще не принимаются в расчет (предположение независимости событий), реже учитываются парные взаимосвязи, а анализу взаимосвязей более высоких порядков посвящены редкие единичные работы, в каждой из которых применяется весьма специфический и частный метод.

Эвентология занимается изучением многообразия взаимосвязей случайных событий и разработкой методов определения структуры зависимостей сложных распределений большой размерности. В данной статье рассматривается один из таких методов.

В статье рассматривается связь между мультковариациями случайного множества и эвентологическими копулами. Копулы используются в финансовых приложениях с 1991 года. Они позволяют моделировать структуру зависимости непосредственно из маргинальных распределений. Таким образом, мы можем строить многомерное распределение с различными маргиналами и структурой зависимости, заданной копулой.

Мультковариации случайного множества[править]

Одной из важнейших задач эвентологии остается разработка методов определения структуры зависимостей сложных распределений большой размерности. И ее решение имеет большое значение как для науки в целом, так и для отдельных сфер приложения, таких как экономика и статистика. Существующие ныне методы, применяемые на практике, пока не так эффективны и универсальны как нам того хотелось бы.

Прежде чем перейти к понятию мультковариационные эвентологические копулы, рассмотрим понятие мультковариации.

Рассматриваются свойства энергии так называемых мультковариационных Эвентологических распределений (Э-распределений) случайных множеств событий, которые максимизируют энтропию случайного множества событий при определенных ограничениях. Рассматривается связь данных Э-распределений с мультковариациями. Можно определять классы Э-распределений случайных множеств событий, имеющих максимальную энтропию среди вполне определенных подмножеств Э-распределений, которое "вырезается" из множества всех Э-распределений теми или иными ограничениями. Под энтропией случайного множества событий \ K:(\Omega ,{\mathfrak  F},{\boldsymbol  {P}})\rightarrow (2^{{{\mathfrak  X}}},2^{{2^{{\mathfrak  X}}}}) с Э-распределением \ p(X)={\boldsymbol  P}(K=X)={\boldsymbol  {P}}(ter(X)),X\subseteq {\mathfrak  X} понимается величина

\ S(K)=-\sum _{{X\subseteq {\mathfrak  X}}}{\boldsymbol  {P}}(K=X)\ln {{\boldsymbol  {P}}(K=X)}=-\sum _{{X\subseteq {\mathfrak  X}}}p(X)\ln {p(X)}.

Энтропия принимает наибольшее значение, когда p_{k}(x) равны между собой и неопределенность в испытании максимальна. Энтропия может иметь не один, а несколько максимумов, при этом система будет иметь несколько состояний равновесия. Равновесие, которому соответствует наибольший максимум энтропии, называется абсолютно устойчивым.

Ограничения обычно могут накладываться на вероятность (вероятности значений):

\ p(X)={\boldsymbol  {P}}(K=X),X\subseteq {\mathfrak  X},

на надвероятности (вероятности покрытий):

\ p_{{X}}={\boldsymbol  {P}}(X\subseteq K),X\subseteq {\mathfrak  X},

или на подвероятности (вероятности включений):

\ p^{{X}}={\boldsymbol  {P}}(K\subseteq X),X\subseteq {\mathfrak  X}.

Известно, что абсолютный максимум энтропии достигается на равномерном Э-распределении:

\ p(X)=2^{{-|{\mathfrak  X}|}},X\in 2^{{\mathfrak  X}}.

Также известен факт, что условный максимум энтропии распределения случайных конечных абстрактных множеств (СКАМ) при фиксированных вероятностях покрытия случайного множества

\ p_{{x}}={\boldsymbol  {P}}(x\in K),x\in {\mathfrak  X},

достигается на классическом независимо-точечном Э-распределении (зафиксированы только вероятности моноплетов \{x\}\subseteq {\mathfrak  X}):

\ p(X)=\prod _{{x\in X}}p_{{x}}\prod _{{x\in X^{c}}}(1-p_{{x}}),X\in 2^{{\mathfrak  X}}.

В работе решается общая задача поиска условного максимума энтропии случайных конечных абстрактных множеств (СКАМ), при постоянных вероятностях покрытия множеств мощности меньшей или равной n, а также при ограничениях на область определения случайного множества.

Максимизация энтропии при фиксированных вероятностях покрытия[править]

Зафиксируем вероятности покрытия случайных конечных абстрактных множеств K для всех множеств мощности меньшей или равной n:

\ p_{{X}}={P}(X\subseteq K)=a_{{X}},|X|\leq n.

Найдем распределение СКАМ, которое максимизирует энтропию при таких ограничениях. Для этого запишем энтропию через вероятности покрытия случайного множества. Вероятности значений СКАМ выражаются через вероятности покрытия по формуле обращения Мёбиуса:

\ p(X)=\sum _{{X\subseteq Y}}(-1)^{{|Y\setminus X|}}p_{Y}.

Отсюда получаем следующее выражение для энтропии:

\ S=-\sum _{{X\subseteq {\mathfrak  X}}}\left(\sum _{{X\subseteq Y}}(-1)^{{|Y\setminus X|}}p_{Y}\right)\ln {\left(\sum _{{X\subseteq Y}}(-1)^{{|Y\setminus X|}}p_{Y}\right)}.


Для нахождения максимума приравняем к нулю частные производные S по p_{{Z}}, |Z|>n.

\ S'_{{p_{Z}}}=-\sum _{{X\subseteq Z}}(-1)^{{|Z\setminus X|}}\ln {\left(\sum _{{X\subseteq Y}}(-1)^{{|Y\setminus X|}}p_{Y}\right)}=0,|Z|>n.


Немного преобразуя выражение, получим следующую систему уравнений для вероятностей значения случайного множества:

\prod _{{X\subseteq Z}}p(X)^{{(-1)^{{|Z\setminus X|}}}}=\tau (Z)=1,|Z|>n,

где \tau (Z)-мультиковариация случайного множества K.


Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. В классе распределений СКАМ, удовлетворяющих следующим условиям:

\ p_{{X}}={P}(X\subseteq K)=a_{{X}},|X|\leq n,

максимум энтропии достигается на распределении, для которого:

\tau (Z)=1, |Z|>n.

Такие распределения будем называть n-точечно зависимые или многоточечно зависимые распределения.

Из известного факта,что любое распределение СКАМ можно представить в виде произведения мультиковариаций:

\ p(X)=\prod _{{Y\subseteq X}}\tau (Y),

сразу следует следующее следствие.

Следствие. n-точечно зависимое распределение СКАМ представлятся в виде:

{P}(K=X)=p(X)=\prod _{{Y\subseteq X,|Y|\leq n}}\tau (Y).

Максимизация энтропии при фиксации области определения СКАМ[править]

Допустим, что случайное множество K может принимать только ограниченное количество значений, т.е.

\ p(X)=0,X\not \subseteq A\subseteq 2^{{\mathfrak  X}}

При таких условиях максимум энтропии достигается на следующем распределении:

\ p(X)=1/|A|,X\subseteq {A},


\ p(X)=0,X\not \subseteq A

Как и в предыдущей секции дополнительно зафиксируем вероятности покрытия для всех множеств мощности меньшей или равной n:

\ p_{{X}}=P(X\subseteq K)=a_{{X}},|X|\leq n.

Аналогичными рассуждениями можно доказать следующую теорему:

Теорема. В классе распределений СКАМ, удовлетворяющих следующим условиям:

\ p_{{X}}=P(X\subseteq K)=a_{{X}},|X|\leq n.

и

\ p(X)=0, X\not \subseteq A,

максимум энтропии достигается на распределении вида

\ p(X)=\prod _{{Y\subseteq X,|Y|\leq n}}\alpha (Y),X\subseteq A,

где \alpha (Y) находятся из условий на вероятности покрытия и том факте, что

\sum _{{X\subseteq A}}p(X)=1.

Рассмотрим примеры применения этой формулы для конкретных n при условии:

\tau (X)=1,|X|>n


Примеры:

\ p(X)=\prod _{{Y\subseteq X}}\tau (Y)

1. При n=0 получаем равномерное Э-распределение:

\ p(X)=\tau (\emptyset )=p(\emptyset )={\frac  {1}{2^{N}}},X\in 2^{{\mathfrak  X}}


2. При n=1 получаем независимо-точечное Э-распределение:

\ p(X)=\tau (\emptyset )\prod _{{x\in X}}\tau (x)=p(\emptyset )\prod _{{x\in X}}{\frac  {p(x)}{p(\emptyset )}},X\in 2^{{\mathfrak  X}}

Мультковариационные Э-копулы[править]

На основе понятий мультковариации и Э-копулы вводится новое понятие – мультковариационные Э-копулы, которые связывают вероятности пересечений множеств событий с мультковариациями множества событий.

Вероятности пересечения произвольных подмножеств событий X\subseteq {\mathfrak  X} выражаются через мультковариационные эвентологические копулы по формулам:

\ p(X)={\mathrm  {cop}}(\tau (X),x\in X;1,x\in X^{c})={\mathrm  {cop}}(\tau (X),X\subseteq {\mathfrak  X})={\mathrm  {cop}}(X)


\ p_{X}={\mathrm  {cop}}(\tau _{X},x\in X;1,x\in X^{c})={\mathrm  {cop}}(\tau _{X},X\subseteq {\mathfrak  X})={\mathrm  {cop}}_{X}


\ p^{X}={\mathrm  {cop}}(\tau ^{X},x\in X;1,x\in X^{c})={\mathrm  {cop}}(\tau ^{X},X\subseteq {\mathfrak  X})={\mathrm  {cop}}^{X}


\ u(X)={\mathrm  {Cop}}(X)=1-{\mathrm  {cop}}(X^{c})


\ u_{X}={\mathrm  {Cop}}_{X}=1-{\mathrm  {cop}}^{{X^{c}}}


\ u^{X}={\mathrm  {Cop}}^{X}=1-{\mathrm  {cop}}_{{X^{c}}}

Один из частных видов - независимые мультковариационные Э-копулы:

\ {\mathrm  {cop}}(\tau (X),X\subseteq {\mathfrak  X})=\tau (\emptyset )\prod _{{x\in X}}\tau (x)

\ {\mathrm  {cop}}_{X}(\tau _{X},X\subseteq {\mathfrak  X})=\tau _{\emptyset }\prod _{{x\in X}}\tau _{x}

\ {\mathrm  {cop}}^{X}(\tau ^{X},X\subseteq {\mathfrak  X})=\tau ^{\emptyset }\prod _{{x\in X}}\tau ^{x}


\ {\mathrm  {Cop}}(X)=1-{\mathrm  {cop}}(X^{c})=1-\tau (\emptyset )\prod _{{x\in X^{c}}}\tau (x)

\ {\mathrm  {Cop}}_{X}=1-{\mathrm  {cop}}^{{X^{c}}}=1-\tau ^{\emptyset }\prod _{{x\in X^{c}}}\tau ^{x}

\ {\mathrm  {Cop}}^{X}=1-{\mathrm  {cop}}_{{X^{c}}}=1-\tau _{\emptyset }\prod _{{x\in X^{c}}}\tau _{x}

Приведенные формулы достаточно просты для вычислений.

Литература[править]

  • Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование. - М.: Наука. - 1984. - 133с.
  • Воробьев О.Ю. Сет-суммирование. - Новосибирск: Наука. - 1993 - 137с.

Интернет[править]

См.также[править]

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: