Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Эвентологическая задача N событий

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск


Физическая задача N тел[править]

Физическая задача N тел формулируется как задача Коши поиска решения системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка при заданных начальных условиях:

\ m_{{i}}{\frac  {d^{{2}}r_{{i}}}{dt^{{2}}}}=-\sum _{{{j=1},{j}\neq {i}}}^{N}\left({\frac  {m_{{i}}m_{{j}}}{r_{{i}}-r_{{j}}}}{\frac  {r_{{i}}-r_{{j}}}{|r_{{i}}-r_{{j}}|}}\right),i=\overline {1,N}

Данная система определяет изменения расположения тел в пространстве, а также их скоростей и ускорений с течением времени под воздействием гравитационных сил взаимодействия.

Эвентологическая задача N событий[править]

Рассмотрим N случайных событий, вероятностное распределение которых определяется случайным множеством событий.

K:\left(\Omega ,{\mathcal  {F}},P\right)\longrightarrow \left(2^{{{\mathfrak  {X}}}},2^{{2^{{{\mathfrak  {X}}}}}}\right) под конечным множеством событий {\mathfrak  {X}}\subseteq {\mathcal  {F}} состоящем из заданных N=|{\mathfrak  {X}}| событий.

Формулировка задачи N случайных событий стала возможной благодаря введению в работе новых понятий:

1. понятие ковариации случайных событий – меры их статистической зависимости. Ковариация пары случайных событий x и y :

Kov_{{xy}}=P\left({x}\bigcap {y}\right)-P\left(x\right)P\left(y\right)

2. метрическая интерпретация ковариации статистической зависимости случайных событий– ковариация двух случайных событий x и y может быть представлена как:

2Kov_{{xy}}=P^{{i}}\left({x}\triangle {y}\right)-P\left({x}\triangle {y}\right)

Здесь:

P\left({x}\triangle {y}\right)=P\left(x\right)+P\left(y\right)-2P\left({x}\bigcap {y}\right)

P^{{i}}\left({x}\triangle {y}\right)=P\left(x\right)+P\left(y\right)-2P\left(x\right)P\left(x\right)

3. понятие силы статистического взаимодействия случайных событий, как меры их статистического взаимодействия:

For_{{xy}}={\frac  {P\left(x\right)P\left(y\right)}{P\left({x}\triangle {y}\right)}}

причем:

For_{{xy}}=For_{{yx}}

На основе этих понятий была сформулирована задача N случайных событий, как задача Коши поиска решения системы дифференциальных уравнений второго порядка при заданных начальных условиях:

P\left(z\right){\frac  {d^{{2}}r}{dt^{2}}}=-\sum _{{z'}}\left(For_{{zz'}}[r_{{z}}-r_{{z'}}]\right)r_{{z}}^{0}=r_{{z}}(t_{0}),v_{{z}}(t_{0})=0,z\in Z

где:

z=\{x,x^{{c}}\},x\in {\mathfrak  {X}} x-произвольное событие из конечного множества X.

Z=\left({{\mathfrak  {X}}}\bigcup {{\mathfrak  {X}}^{{(c)}}}\right) -множество, содержащее все события и их дополнения соответствующие конечному множеству X.

Решение эвентологической задачи N событий[править]

Сила статистического взаимодействия случайных событий, определяемая только их вероятностным распределением, остается всегда постоянной и не зависит от расстояния между визуализациями этих событий на “видимой” плоскости. Поэтому задача N случайных событий приводит к системе линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в общем виде систему можно записать в матричном форме как:

{\dot  {R}}=AR

Аналитическое решение задачи может быть найдено в виде:

R(t)=e^{{At}}R_{{0}}

В случае когда собственные числа матрицы постоянных коэффициентов А имеют кратность равную единице, решение можно записать в виде:

\left(R_{{1}}(t),\ldots ,R_{{n}}(t)\right)=B\left(C_{{1}}e^{{\lambda _{{1}}t}},\ldots ,C_{{n}}e^{{\lambda _{{n}}t}}\right)

В случае когда собственные числа матрицы А являются комплексными, каждый из компонентов вектора R(t) представляется суммой гармонических колебаний с нулевой начальной фазой, записанных в экспоненциальной форме. Частоты гармоник определяются собственными числами матрицы А. Но т.к. сумма гармонических колебаний с разными частотами не является гармоническим колебанием:

\cos {w_{{1}}t}+\cos {w_{{2}}t}=2\cos {{\frac  {w_{{1}}-w_{{2}}}{2}}}t\cos {{\frac  {w_{{1}}+w_{{2}}}{2}}}t

а собственные числа матрицы А, определяющие частоты гармонических колебаний в общем случае различны, то и решение системы в общем случае при покомпонентном рассмотрении не будет являться набором гармоник. Данная особенность системы является решающей проблемой в получении устойчивых эллиптических орбитальных структур при визуальном представлении решения.

Численное решение эвентологической задачи N событий[править]

- метод динамической визуализации взаимодействия событий в статистических системах. Параметры распределения случайного множества событий, необходимые для решения задачи N случайных событий, включают вероятности этих событий и матрицу сил парного статистического взаимодействия между ними, задание которой эквивалентно заданию матрицы ковариации. При решении задачи достоверное событие берется за базовое и ставится неподвижным в начале координат .

В начальный момент времени t_{0} на видимой плоскости задаются 2N плоских векторов положения и 2N плоских векторов начальных скоростей.

r_{{z}}^{0}=r_{{z}}(t_{0}),v_{{z}}(t_{0})=0,z\in Z

На каждом шаге алгоритма на основе исходного разностного уравнения:

P(z){\frac  {\triangle v_{{z}}(t)}{\triangle t}}\approx -\sum _{{z'}}\left(For_{{zz'}}[r_{{z}}-r_{{z'}}]\right)

получаем смещение расположений событий и измененные скорости в следующий момент времени:

v_{{z}}(t+\triangle t)=v_{z}(t)+\triangle v_{{z}}(t)

r_{{z}}(t+\triangle t)=r_{{z}}(t)+v_{{z}}(t+\triangle t)\triangle t

Недостатки визуализации взаимосвязей событий в виде орбитальной структуры[править]

•Рассмотрение систем состоящих из большого количества событий, приводит при визуализации их взаимодействий к увеличению числа пересекающихся орбит и получаемая орбитальная структура начинает терять свою наглядность для визуального восприятия.

•Не определена четкая интерпретации конфигурации орбит, они в основном используются для визуального сравнения и оценивания общей схожести различных систем, без каких либо конкретных выводов.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: