Полезное знание под угрозой удаления из Википедии или другого сайта?
Сохраните его на Викизнании или Вавилон-wiki!

Тензор энергии-импульса поля ускорений

→ 
Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Тензор энергии-импульса поля ускорений — симметричный четырёхмерный тензор второго ранга, описывающий плотность и поток энергии и импульса поля ускорений в веществе. Данный тензор, а также тензор энергии-импульса гравитационного поля, тензор энергии-импульса электромагнитного поля, тензор энергии-импульса поля диссипации и тензор энергии-импульса поля давления входят в уравнение для определения метрики в ковариантной теории гравитации. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля ускорений позволяет вычислить плотность силы ускорений, действующей в веществе.

Ковариантная теория гравитации[править]

Определение[править]

В ковариантной теории гравитации (КТГ) поле ускорений считается не скалярным, а 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент. В КТГ тензор энергии-импульса поля ускорений был определён Федосиным через тензор ускорений ~u_{{ik}} и метрический тензор ~g^{{ik}} из принципа наименьшего действия: [1]

~B^{{ik}}={\frac  {c^{2}}{4\pi \eta }}\left(-g^{{im}}u_{{nm}}u^{{nk}}+{\frac  {1}{4}}g^{{ik}}u_{{mr}}u^{{mr}}\right),

где ~\eta – некоторая постоянная, определяемая через фундаментальные постоянные и физические параметры системы. Поле ускорений рассматривается как компонента общего поля.

Компоненты тензора энергии-импульса поля ускорений[править]

Так как тензор ускорений состоит из компонент напряжённости поля ускорений ~{\mathbf  {S}} и соленоидального вектора ускорений ~{\mathbf  {N}}, то тензор энергии-импульса поля ускорений можно выразить через эти компоненты. В пределе специальной теории относительности метрический тензор перестаёт зависеть от координат и времени и в этом случае тензор энергии-импульса поля ускорений приобретает наиболее простой вид:

~B^{{ik}}={\begin{vmatrix}\varepsilon _{a}&{\frac  {K_{x}}{c}}&{\frac  {K_{y}}{c}}&{\frac  {K_{z}}{c}}\\cP_{{ax}}&\varepsilon _{a}-{\frac  {S_{x}^{2}+c^{2}N_{x}^{2}}{4\pi \eta }}&-{\frac  {S_{x}S_{y}+c^{2}N_{x}N_{y}}{4\pi \eta }}&-{\frac  {S_{x}S_{z}+c^{2}N_{x}N_{z}}{4\pi \eta }}\\cP_{{ay}}&-{\frac  {S_{x}S_{y}+c^{2}N_{x}N_{y}}{4\pi \eta }}&\varepsilon _{a}-{\frac  {S_{y}^{2}+c^{2}N_{y}^{2}}{4\pi \eta }}&-{\frac  {S_{y}S_{z}+c^{2}N_{y}N_{z}}{4\pi \eta }}\\cP_{{az}}&-{\frac  {S_{x}S_{z}+c^{2}N_{x}N_{z}}{4\pi \eta }}&-{\frac  {S_{y}S_{z}+c^{2}N_{y}N_{z}}{4\pi \eta }}&\varepsilon _{a}-{\frac  {S_{z}^{2}+c^{2}N_{z}^{2}}{4\pi \eta }}\end{vmatrix}}.

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля ускорений

~B^{{00}}=\varepsilon _{a}={\frac  {1}{8\pi \eta }}\left(S^{2}+c^{2}N^{2}\right).

2) вектор плотности импульса поля ускорений ~{\mathbf  {P_{a}}}={\frac  {1}{c^{2}}}{\mathbf  {K}}, где вектор плотности потока энергии поля ускорений:

~{\mathbf  {K}}={\frac  {c^{2}}{4\pi \eta }}[{\mathbf  {S}}\times {\mathbf  {N}}].

Вследствие симметрии тензора по индексам P^{{01}}=P^{{10}},P^{{02}}=P^{{20}},P^{{03}}=P^{{30}}, так что {\frac  {1}{c}}{\mathbf  {K}}=c{\mathbf  {P_{a}}}.

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля ускорений, взятым со знаком минус. Данный 3-мерный тензор можно записать в следующем виде:

~\sigma ^{{pq}}={\frac  {1}{4\pi \eta }}\left(S^{p}S^{q}+c^{2}N^{p}N^{q}-{\frac  {1}{2}}\delta ^{{pq}}(S^{2}+c^{2}N^{2})\right),

где p,q=1,2,3, компоненты S^{1}=S_{x}, S^{2}=S_{y}, S^{3}=S_{z}, N^{1}=N_{x}, N^{2}=N_{y}, N^{3}=N_{z}, символ Кронекера \delta ^{{pq}} равен 1 при p=q, и равен нулю при p\not =q.

Трёхмерная дивергенция тензора плотности потока импульса поля ускорений связывает плотность силы и скорость изменения плотности импульса поля ускорений:

~\partial _{q}\sigma ^{{pq}}=-f^{p}+{\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial K^{p}}{\partial t}},

где ~f^{p} обозначают компоненты трёхмерной плотности силы ускорения, ~K^{p} – компоненты вектора плотности потока энергии поля ускорений.

Плотность 4-силы и уравнения поля[править]

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы ~f^{\alpha } может быть найден через тензор энергии-импульса поля ускорений, либо через произведение тензора поля ускорений и массового 4-тока:

~f^{\alpha }=\nabla _{\beta }B^{{\alpha \beta }}=-u_{{i}}^{{\alpha }}J^{i}.\qquad (1)

Уравнения поля ускорений записываются следующим образом:

~\nabla _{n}u_{{ik}}+\nabla _{i}u_{{kn}}+\nabla _{k}u_{{ni}}=0,
~\nabla _{k}u^{{ik}}=-{\frac  {4\pi \eta }{c^{2}}}J^{i}.

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы можно записать:

~f^{\alpha }=(-{\frac  {{\mathbf  {S}}\cdot {\mathbf  {J}}}{c}},{\mathbf  {f}}),

где ~{\mathbf  {f}}=-\rho {\mathbf  {S}}-[{\mathbf  {J}}\times {\mathbf  {N}}] – 3-вектор плотности силы, ~\rho – плотность движущегося вещества, ~{\mathbf  {J}}=\rho {\mathbf  {v}} – 3-вектор плотности массового тока, ~{\mathbf  {v}} – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля ускорений превращаются в 4 уравнения для вектора напряжённости поля ускорений ~{\mathbf  {S}} и соленоидального вектора ускорений ~{\mathbf  {N}} :

~\nabla \cdot {\mathbf  {S}}=4\pi \eta \rho ,
~\nabla \times {\mathbf  {N}}={\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial {\mathbf  {S}}}{\partial t}}+{\frac  {4\pi \eta \rho {\mathbf  {v}}}{c^{2}}},
~\nabla \cdot {\mathbf  {N}}=0,
~\nabla \times {\mathbf  {S}}=-{\frac  {\partial {\mathbf  {N}}}{\partial t}}.

Уравнение для метрики[править]

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля ускорений в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики:

~R_{{ik}}-{\frac  {1}{4}}g_{{ik}}R={\frac  {8\pi G\beta }{c^{4}}}\left(B_{{ik}}+P_{{ik}}+U_{{ik}}+W_{{ik}}\right),

где ~\beta – коэффициент, подлежащий определению, ~B_{{ik}}, ~P_{{ik}}, ~U_{{ik}} и ~W_{{ik}} – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей, ~G – гравитационная постоянная.

Уравнение движения[править]

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса поля ускорений B^{{ik}} или тензора ускорений u_{{nk}} :

~-\nabla _{k}\left(B^{{ik}}+U^{{ik}}+W^{{ik}}+P^{{ik}}\right)=g^{{in}}\left(u_{{nk}}J^{k}+\Phi _{{nk}}J^{k}+F_{{nk}}j^{k}+f_{{nk}}J^{k}\right)=0.\qquad (2)

где ~\Phi _{{nk}}тензор гравитационного поля, ~F_{{nk}} – тензор электромагнитного поля, ~f_{{nk}}тензор поля давления, ~j^{k}=\rho _{{0q}}u^{k} – зарядовый 4-ток, ~\rho _{{0q}} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, ~u^{k} – 4-скорость.

Учтём теперь, что ~J^{k}=\rho _{{0}}u^{k} есть массовый 4-ток, а тензор ускорений определяется через ковариантную 4-скорость в виде ~u_{{nk}}=\nabla _{n}u_{k}-\nabla _{k}u_{n}. Это даёт следующее:

~\nabla ^{\beta }B_{{n\beta }}=-u_{{ni}}J^{i}=-\rho _{{0}}u^{i}(\nabla _{n}u_{i}-\nabla _{i}u_{n})=\rho _{{0}}u^{i}\nabla _{i}u_{n}=\rho _{{0}}{\frac  {Du_{n}}{D\tau }}.\qquad (3)

Здесь использован оператор производной по собственному времени ~u^{i}\nabla _{i}={\frac  {D}{D\tau }}, где ~D – символ 4-дифференциала в искривлённом пространстве-времени, ~\tau – собственное время, ~\rho _{0} есть плотность массы в сопутствующей системе отсчёта.

С учётом этого уравнение движения (2) приобретает вид:

~\rho _{{0}}{\frac  {Du_{n}}{D\tau }}=-\nabla ^{k}\left(U_{{nk}}+W_{{nk}}+P_{{nk}}\right)=\Phi _{{nk}}J^{k}+F_{{nk}}j^{k}+f_{{nk}}J^{k}.

Временная компонента данного уравнения при ~n=0 описывает изменение энергии, а пространственная компонента при ~n=1{,}2{,}3 связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения[править]

При индексе ~i=0 в (2), то есть для временной компоненты уравнения, в пределе специальной теории относительности из равенства нулю левой части (2) следует:

~\nabla \cdot ({\mathbf  {K}}+{\mathbf  {H}}+{\mathbf  {P}}+{\mathbf  {F}})=-{\frac  {\partial (B^{{00}}+U^{{00}}+W^{{00}}+P^{{00}})}{\partial t}},

где ~{\mathbf  {K}} – вектор плотности потока энергии поля ускорений, ~{\mathbf  {H}}вектор Хевисайда, ~{\mathbf  {P}}вектор Пойнтинга, ~{\mathbf  {F}} – вектор плотности потока энергии поля давления.

Это соотношение можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса всех четырёх полей.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается сохраняющийся 4-вектор, равный нулю: [2]

~{\mathbb  {Q}}^{i}=\int {\left(B^{{i0}}+U^{{i0}}+W^{{i0}}+P^{{i0}}\right)dV}.

Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы.

Релятивистская механика[править]

Как в релятивистской механике, так и в общей теории относительности (ОТО), тензор энергии-импульса поля ускорений не используется. Вместо него применяется так называемый тензор энергии-импульса вещества, имеющий в простейшем случае следующий вид: ~\phi _{{n\beta }}=\rho _{0}u_{n}u_{\beta }. В ОТО тензор ~\phi _{{n\beta }} подставляется в уравнение для метрики, а его ковариантная производная даёт следующее:

~\nabla ^{\beta }\phi _{{n\beta }}=\nabla ^{\beta }(\rho _{0}u_{n}u_{\beta })=u_{n}\nabla ^{\beta }J_{\beta }+\rho _{0}u_{\beta }\nabla ^{\beta }u_{n}.

В ОТО предполагается, что выполняется уравнение непрерывности в виде ~\nabla ^{\beta }J_{\beta }=0. Тогда с учётом оператора производной по собственному времени ковариантная производная тензора ~\phi _{{n\beta }} даёт произведение плотности на 4-ускорение, то есть плотность 4-силы:

~\nabla ^{\beta }\phi _{{n\beta }}=\rho _{0}u_{\beta }\nabla ^{\beta }u_{n}=\rho _{0}{\frac  {Du_{n}}{D\tau }}.\qquad (4)

Однако уравнение непрерывности справедливо лишь в рамках специальной теории относительности в виде ~\partial ^{\beta }J_{\beta }=\partial _{\beta }J^{\beta }=0. В искривлённом пространстве-времени вместо этого должно было бы быть уравнение ~\nabla ^{\beta }J_{\beta }=0, однако вместо нуля в правой части в этом уравнении появляется дополнительный ненулевой член с тензором кривизны Римана. [1] Вследствие этого (4) не является точным выражением, и тензор ~\phi _{{n\beta }} определяет свойства вещества лишь в специальной теории относительности. В противоположность этому, в ковариантной теории гравитации уравнение (3) записано в ковариантной форме, так что тензор энергии-импульса поля ускорений ~B_{{n\beta }} описывает поле ускорений частиц вещества в том числе и в римановом пространстве-времени.

См. также[править]

Ссылки[править]

1. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

2. Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

Внешние ссылки[править]

Хочешь уточнить, добавить или исправить текст?
Редактировать статью Подписаться на обновления