Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Тензор энергии-импульса поля давления

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Тензор энергии-импульса поля давления — симметричный четырёхмерный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса поля давления в веществе. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики наравне с тензором энергии-импульса гравитационного поля, с тензором энергии-импульса поля ускорений, с тензором энергии-импульса поля диссипации, и с аналогичным тензором электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность силы давления, действующей в веществе.

Тензор энергии-импульса поля давления является релятивистским обобщением трёхмерного тензора напряжений, используемого в механике сплошных сред. В отличие от тензора напряжений, который применяется обычно для описания относительных напряжений, появляющихся при деформациях тел, тензор энергии-импульса поля давления описывает любые внутренние напряжения, в том числе и в отсутствие деформации тел от внешних воздействий.

Механика сплошных сред[править]

Существование различных вариантов тензора энергии-импульса давления показывает отсутствие какого-то однозначного определения этого тензора. Кроме 4-скорости, плотности и давления, в данный тензор часто добавляют функцию с заданными свойствами такими, чтобы тензор мог описывать энергию и напряжения в веществе. Произвол выбора подобной функции связан с тем, что когда полагают давление простой скалярной функцией, то возникает необходимость восполнить векторные свойства сил давления какой-то дополнительной функцией.

Примеры тензоров[править]

Для вещества, находящегося в равновесии при однородном давлении, простейший тензор энергии-импульса давления в метрике (+ – – –) записывается так:

~P^{{ik}}={\frac  {p}{c^{2}}}u^{i}u^{k}-g^{{ik}}p,

где ~p – давление, ~c – скорость света, ~u^{i} – 4-скорость, ~g^{{ik}} – метрический тензор.

Ввиду своей простоты тензор в таком виде часто используется не только в механике, но и в общей теории относительности.

Фок вводит в рассмотрение плотность упругой энергии на единицу массы ~\Pi и добавляет эту величину в тензор энергии-импульса давления: [1]

~P^{{ik}}={\frac  {p+\rho ^{{*}}\Pi }{c^{2}}}u^{i}u^{k}-g^{{ik}}p,

здесь ~\rho ^{{*}} обозначает ту плотность массы, которая не зависит от давления, и связана с полной инвариантной плотностью массы ~\rho _{0} соотношением:

~\rho ^{{*}}={\frac  {\rho _{0}}{1+\Pi /c^{2}}}.

Вместо этого Федосин использовал функцию сжатия ~L : [2]

~P^{{ik}}={\frac  {p}{c^{2}}}u^{i}u^{k}+(L-p)g^{{ik}}.

Известны и другие формы тензора энергии-импульса давления, отличающиеся друг от друга способом введения в тензор некоторой дополнительной к давлению скалярной функции. [3] [4] [5]

Описание движения и метрики[править]

Стандартный подход предполагает вначале определение тензора энергии-импульса системы ~T^{{ik}}=\phi ^{{ik}}+P^{{ik}}+W^{{ik}}, где ~\phi ^{{ik}}=\rho _{0}u^{i}u^{k} представляет тензор энергии-импульса вещества, а ~W^{{ik}} является тензором энергии-импульса электромагнитного поля. После этого уравнение движения с учётом давления и других полей следует из равенства нулю ковариантной производной тензора энергии-импульса системы: ~-\nabla _{k}T^{{ik}}=0. При этом в общей теории относительности (ОТО) учёт гравитационного поля в уравнении движения осуществляется через зависимость компонент метрического тензора от координат и времени.

Тензор ~T^{{ik}} используется в ОТО также для нахождения метрики из уравнения Гильберта-Эйнштейна :

~R_{{ik}}-{\frac  {1}{2}}g_{{ik}}R+g_{{ik}}\Lambda ={\frac  {8\pi G}{c^{4}}}T_{{ik}},

где ~R_{{ik}}={R^{n}}_{{ink}}тензор Риччи, ~R=R_{{ik}}g^{{ik}}скалярная кривизна, ~G – гравитационная постоянная.

Таким образом, тензор энергии-импульса давления изменяет метрику внутри тел.

Ковариантная теория гравитации[править]

Определение[править]

В отличие от механики сплошной среды, в ковариантной теории гравитации (КТГ) поле давления считается не скалярным, а 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент. Поэтому в КТГ тензор энергии-импульса поля давления определяется через тензор поля давления ~f_{{ik}} и метрический тензор ~g^{{ik}} из принципа наименьшего действия: [6]

~P^{{ik}}={\frac  {c^{2}}{4\pi \sigma }}\left(-g^{{im}}f_{{nm}}f^{{nk}}+{\frac  {1}{4}}g^{{ik}}f_{{mr}}f^{{mr}}\right),

где ~\sigma – постоянная, имеющая своё собственное значение в каждой задаче. То, что ~\sigma не определена однозначно, является следствием того факта, что давление внутри тел может быть вызвано действием любых причин и сил как внутреннего, так и внешнего характера. Поле давления рассматривается как компонента общего поля.

Компоненты тензора энергии-импульса поля давления[править]

В пределе слабого поля, когда метрика пространства-времени переходит в метрику пространства Минковского специальной теории относительности, метрический тензор ~g^{{ik}} переходит в тензор ~\eta ^{{ik}}, состоящий из чисел 0, 1, –1. В этом случае вид тензора энергии-импульса поля давления существенно упрощается и его можно выразить через компоненты тензора поля давления, то есть через напряжённость поля давления ~{\mathbf  {C}} и соленоидальный вектор ~{\mathbf  {I}} :

~P^{{ik}}={\begin{vmatrix}\varepsilon _{p}&{\frac  {F_{x}}{c}}&{\frac  {F_{y}}{c}}&{\frac  {F_{z}}{c}}\\cP_{{px}}&\varepsilon _{p}-{\frac  {C_{x}^{2}+c^{2}I_{x}^{2}}{4\pi \sigma }}&-{\frac  {C_{x}C_{y}+c^{2}I_{x}I_{y}}{4\pi \sigma }}&-{\frac  {C_{x}C_{z}+c^{2}I_{x}I_{z}}{4\pi \sigma }}\\cP_{{py}}&-{\frac  {C_{x}C_{y}+c^{2}I_{x}I_{y}}{4\pi \sigma }}&\varepsilon _{p}-{\frac  {C_{y}^{2}+c^{2}I_{y}^{2}}{4\pi \sigma }}&-{\frac  {C_{y}C_{z}+c^{2}I_{y}I_{z}}{4\pi \sigma }}\\cP_{{pz}}&-{\frac  {C_{x}C_{z}+c^{2}I_{x}I_{z}}{4\pi \sigma }}&-{\frac  {C_{y}C_{z}+c^{2}I_{y}I_{z}}{4\pi \sigma }}&\varepsilon _{p}-{\frac  {C_{z}^{2}+c^{2}I_{z}^{2}}{4\pi \sigma }}\end{vmatrix}}.

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля давления

~P^{{00}}=\varepsilon _{p}={\frac  {1}{8\pi \sigma }}\left(C^{2}+c^{2}I^{2}\right).

2) вектор плотности импульса поля давления ~{\mathbf  {P_{p}}}={\frac  {1}{c^{2}}}{\mathbf  {F}}, где вектор плотности потока энергии поля давления:

~{\mathbf  {F}}={\frac  {c^{2}}{4\pi \sigma }}[{\mathbf  {C}}\times {\mathbf  {I}}].

Компоненты вектора ~{\mathbf  {F}} входят в соответствующие компоненты тензора P^{{01}},P^{{02}},P^{{03}}, а компоненты вектора ~{\mathbf  {P_{p}}} – в компоненты тензора P^{{10}},P^{{20}},P^{{30}}, при этом вследствие симметрии тензора по индексам P^{{01}}=P^{{10}},P^{{02}}=P^{{20}},P^{{03}}=P^{{30}}.

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля, или тензором напряжений поля давления, взятым со знаком минус. Тензор напряжений можно записать в следующем виде:

~\sigma ^{{pq}}={\frac  {1}{4\pi \sigma }}\left(C^{p}C^{q}+c^{2}I^{p}I^{q}-{\frac  {1}{2}}\delta ^{{pq}}(C^{2}+c^{2}I^{2})\right),

где p,q=1,2,3, компоненты C^{1}=C_{x}, C^{2}=C_{y}, C^{3}=C_{z}, I^{1}=I_{x}, I^{2}=I_{y}, I^{3}=I_{z}, символ Кронекера \delta ^{{pq}} равен 1 при p=q, и равен нулю при p\not =q.

Представленный тензор напряжений является конкретным выражением тензора напряжений Коши.

Трёхмерная дивергенция тензора напряжений поля давления связывает плотность силы давления и скорость изменения плотности импульса поля давления:

~\partial _{q}\sigma ^{{pq}}=f^{p}+{\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial F^{p}}{\partial t}},

где ~f^{p} обозначают компоненты трёхмерной плотности силы давления, ~F^{p} – компоненты вектора плотности потока энергии поля давления.

Cила давления и уравнения поля давления[править]

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы давления ~f^{\alpha } может быть найден через тензор энергии-импульса поля давления, либо через произведение тензора поля давления и массового 4-тока:

~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }P^{{\alpha \beta }}=f_{{i}}^{{\alpha }}J^{i}.\qquad (1)

Соотношение (1) тесно связано с уравнениями поля давления:

~\nabla _{n}f_{{ik}}+\nabla _{i}f_{{kn}}+\nabla _{k}f_{{ni}}=0,
~\nabla _{k}f^{{ik}}=-{\frac  {4\pi \sigma }{c^{2}}}J^{i}.

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы давления можно записать:

~f^{\alpha }=({\frac  {{\mathbf  {C}}\cdot {\mathbf  {J}}}{c}},{\mathbf  {f}}),

где ~{\mathbf  {f}}=\rho {\mathbf  {C}}+[{\mathbf  {J}}\times {\mathbf  {I}}] – 3-вектор плотности силы давления, ~\rho – плотность движущегося вещества, ~{\mathbf  {J}}=\rho {\mathbf  {v}} – 3-вектор плотности массового тока, ~{\mathbf  {v}} – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля давления преобразуются в 4 уравнения для напряжённости поля давления ~{\mathbf  {C}} и соленоидального вектора ~{\mathbf  {I}} :

~\nabla \cdot {\mathbf  {C}}=4\pi \sigma \rho ,
~\nabla \times {\mathbf  {I}}={\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial {\mathbf  {C}}}{\partial t}}+{\frac  {4\pi \sigma \rho {\mathbf  {v}}}{c^{2}}},
~\nabla \cdot {\mathbf  {I}}=0,
~\nabla \times {\mathbf  {C}}=-{\frac  {\partial {\mathbf  {I}}}{\partial t}}.

Уравнение для метрики[править]

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля давления в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики:

~R_{{ik}}-{\frac  {1}{4}}g_{{ik}}R={\frac  {8\pi G\beta }{c^{4}}}\left(B_{{ik}}+P_{{ik}}+U_{{ik}}+W_{{ik}}\right),

где ~\beta – коэффициент, подлежащий определению, ~B_{{ik}}, ~P_{{ik}}, ~U_{{ik}} и ~W_{{ik}} – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей.

Уравнение движения[править]

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса давления P^{{ik}} или тензора поля давления f_{{nk}} :

~-\nabla _{k}\left(B^{{ik}}+U^{{ik}}+W^{{ik}}+P^{{ik}}\right)=g^{{in}}\left(u_{{nk}}J^{k}+\Phi _{{nk}}J^{k}+F_{{nk}}j^{k}+f_{{nk}}J^{k}\right)=0.\qquad (2)

где ~u_{{nk}}тензор ускорений, ~\Phi _{{nk}}тензор гравитационного поля, ~F_{{nk}} – тензор электромагнитного поля, ~j^{k}=\rho _{{0q}}u^{k} – зарядовый 4-ток, ~\rho _{{0q}} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, ~u^{k} – 4-скорость.

Временная компонента уравнения (2) при ~i=0 описывает изменение энергии, а пространственная компонента при ~i=1{,}2{,}3 связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения[править]

Временную компоненту в (2) можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса. В пределе специальной теории относительности, когда ковариантная производная становится 4-градиентом, а символы Кристоффеля обращаются в нуль, этот закон сохранения приобретает простой вид: [7]

~\nabla \cdot ({\mathbf  {K}}+{\mathbf  {H}}+{\mathbf  {P}}+{\mathbf  {F}})=-{\frac  {\partial (B^{{00}}+U^{{00}}+W^{{00}}+P^{{00}})}{\partial t}},

где ~{\mathbf  {K}} – вектор плотности потока энергии поля ускорений, ~{\mathbf  {H}}вектор Хевисайда, ~{\mathbf  {P}}вектор Пойнтинга, ~{\mathbf  {F}} – вектор плотности потока энергии поля давления.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммарной энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму, чтобы учесть энергию-импульс гравитационного и электромагнитного полей, простирающихся далеко за пределы рассматриваемой физической системы. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается сохраняющийся 4-вектор, равный нулю:

~{\mathbb  {Q}}^{i}=\int {\left(B^{{i0}}+U^{{i0}}+W^{{i0}}+P^{{i0}}\right)dV}.

Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы.

См. также[править]

Ссылки[править]

1. Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.

2. Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв. ISBN 5-8131-0012-1.

3. Herglotz G. // Ann. d. Phys. 1911, Bd 36, S. 493.

4. Ignatowsky W.V. // Phys. Ztschr. 1911, Bd 12, S. 441.

5. Lamla E. // Berl. Diss., 1911; Ann. d. Phys. 1912, Bd 37, S. 772.

6. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

7. Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

Внешние ссылки[править]

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: