Полезное знание под угрозой удаления из Википедии или другого сайта?
Сохраните его на Викизнании или Вавилон-wiki!

Тензор поля диссипации

→ 
Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Тензор поля диссипации — антисимметричный тензор, описывающий диссипацию энергии вследствие вязкости и состоящий из шести компонент. Компоненты тензора являются в то же время компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля диссипации, и соленоидального вектора диссипации. С помощью тензора поля диссипации определяется тензор энергии-импульса поля диссипации, уравнения поля диссипации и сила диссипации в веществе. Поле диссипации является компонентой общего поля.

Определение[править]

Выражение для тензора поля диссипации можно найти в работах Федосина, [1] где тензор определяется через 4-ротор:

h_{{\mu \nu }}=\nabla _{\mu }\lambda _{\nu }-\nabla _{\nu }\lambda _{\mu }={\frac  {\partial \lambda _{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac  {\partial \lambda _{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.\qquad \qquad (1)

Здесь 4-потенциал поля диссипации ~\lambda _{\mu } определяется по формуле:

~\lambda _{\mu }=\left({\frac  {\varepsilon }{c}},-{\mathbf  {\Theta }}\right),

где ~\varepsilon – скалярный потенциал, ~{\mathbf  {\Theta }} – векторный потенциал поля диссипации, ~cскорость света.

Выражение для компонент[править]

С помощью (1) находятся вектор напряжённости поля диссипации и соленоидальный вектор диссипации:

~X_{i}=c(\partial _{0}\lambda _{i}-\partial _{i}\lambda _{0}),
~Y_{k}=\partial _{i}\lambda _{j}-\partial _{j}\lambda _{i},

и это же в векторной записи:

~{\mathbf  {X}}=-\nabla \varepsilon -{\frac  {\partial {\mathbf  {\Theta }}}{\partial t}},
~{\mathbf  {Y}}=\nabla \times {\mathbf  {\Theta }}.

Тензор поля диссипации состоит из компонент данных векторов:

~h_{{\mu \nu }}={\begin{vmatrix}0&{\frac  {X_{x}}{c}}&{\frac  {X_{y}}{c}}&{\frac  {X_{z}}{c}}\\-{\frac  {X_{x}}{c}}&0&-Y_{{z}}&Y_{{y}}\\-{\frac  {X_{y}}{c}}&Y_{{z}}&0&-Y_{{x}}\\-{\frac  {X_{z}}{c}}&-Y_{{y}}&Y_{{x}}&0\end{vmatrix}}.

Переход к тензору поля диссипации с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор:

~h^{{\alpha \beta }}=g^{{\alpha \nu }}g^{{\mu \beta }}h_{{\mu \nu }}.

В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид:

~h^{{\alpha \beta }}={\begin{vmatrix}0&-{\frac  {X_{{x}}}{c}}&-{\frac  {X_{{y}}}{c}}&-{\frac  {X_{{z}}}{c}}\\{\frac  {X_{{x}}}{c}}&0&-Y_{{z}}&Y_{{y}}\\{\frac  {X_{{y}}}{c}}&Y_{{z}}&0&-Y_{{x}}\\{\frac  {X_{{z}}}{c}}&-Y_{{y}}&Y_{{x}}&0\end{vmatrix}}.

Для преобразования компонент тензора поля диссипации из одной инерциальной системы отсчёта в другую нужно учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’ движется с произвольной постоянной скоростью ~{\mathbf  {V}} относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля диссипации и соленоидальный вектор диссипации преобразуются так:

{\mathbf  {X}}^{\prime }={\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {X}})+{\frac  {1}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}\left({\mathbf  {X}}-{\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {X}})+[{\mathbf  {V}}\times {\mathbf  {Y}}]\right),
{\mathbf  {Y}}^{\prime }={\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {Y}})+{\frac  {1}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}\left({\mathbf  {Y}}-{\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {Y}})-{\frac  {1}{c^{2}}}[{\mathbf  {V}}\times {\mathbf  {X}}]\right).

Свойства тензора[править]

  • ~h_{{\mu \nu }} является антисимметричным тензором 2-го ранга, отсюда следует условие ~h_{{\mu \nu }}=-h_{{\nu \mu }}. Три из шести независимых компонент тензора поля диссипации связаны с компонентами вектора напряжённости поля диссипации ~{\mathbf  {X}}, а другие три – с компонентами соленоидального вектора диссипации ~{\mathbf  {Y}}. Ввиду антисимметричности такой инвариант, как свёртка тензора с метрическим тензором, обращается в нуль: ~g^{{\mu \nu }}h_{{\mu \nu }}=h_{\mu }^{{\mu }}=0.
  • Свёртка тензора с самим собой h_{{\mu \nu }}h^{{\mu \nu }} является инвариантом, а свёртка произведения тензоров с символом Леви-Чивиты в виде {\frac  {1}{4}}\varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }}h_{{\mu \nu }}h_{{\sigma \rho }} является псевдоскалярным инвариантом. Указанные инварианты в специальной теории относительности выражаются так:
h_{{\mu \nu }}h^{{\mu \nu }}=-{\frac  {2}{c^{2}}}(X^{2}-c^{2}Y^{2})=inv,
{\frac  {1}{4}}\varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }}h_{{\mu \nu }}h_{{\sigma \rho }}=-{\frac  {2}{c}}\left({\mathbf  X}\cdot {\mathbf  {Y}}\right)=inv.
  • Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:
\det \left(h_{{\mu \nu }}\right)={\frac  {4}{c^{2}}}\left({\mathbf  X}\cdot {\mathbf  {Y}}\right)^{{2}}.

Поле диссипации[править]

Через тензор поля диссипации записываются уравнения поля диссипации:

\nabla _{\sigma }h_{{\mu \nu }}+\nabla _{\mu }h_{{\nu \sigma }}+\nabla _{\nu }h_{{\sigma \mu }}={\frac  {\partial h_{{\mu \nu }}}{\partial x^{\sigma }}}+{\frac  {\partial h_{{\nu \sigma }}}{\partial x^{\mu }}}+{\frac  {\partial h_{{\sigma \mu }}}{\partial x^{\nu }}}=0.\qquad \qquad (2)
~\nabla _{\nu }h^{{\mu \nu }}=-{\frac  {4\pi \tau }{c^{2}}}J^{\mu },\qquad \qquad (3)

где J^{\mu }=\rho _{{0}}u^{\mu } есть массовый 4-ток, \rho _{{0}} – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, u^{\mu } – 4-скорость движения элемента вещества, ~\tau – постоянная, определяемая в каждой задаче.

Вместо (2) можно использовать выражение:

~\varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }}{\frac  {\partial h_{{\mu \nu }}}{\partial x^{\sigma }}}=0.

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора поля диссипации согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора h_{{\mu \nu }}, можно получить два векторных уравнения:

~\nabla \times {\mathbf  {X}}=-{\frac  {\partial {\mathbf  {Y}}}{\partial t}},\qquad \qquad (4)
~\nabla \cdot {\mathbf  {Y}}=0.\qquad \qquad (5)

Согласно (5), соленоидальный вектор диссипации не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора диссипации приводит к появлению ротора напряжённости поля диссипации.

Уравнение (3) связывает поле диссипации с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим:

~\nabla \cdot {\mathbf  {X}}=4\pi \tau \rho ,
~\nabla \times {\mathbf  {Y}}={\frac  {1}{c^{2}}}\left(4\pi \tau {\mathbf  {J}}+{\frac  {\partial {\mathbf  {X}}}{\partial t}}\right),

где ~\rho – плотность движущейся массы, ~{\mathbf  {J}} – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля диссипации имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля диссипации порождают круговое поле соленоидального вектора диссипации.

Из (3) и (1) можно получить уравнение непрерывности:

~R_{{\mu \alpha }}h^{{\mu \alpha }}={\frac  {4\pi \tau }{c^{2}}}\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}.

Это уравнение означает, что благодаря искривлению пространства-времени, когда тензор Риччи ~R_{{\mu \alpha }} не равен нулю, источником дивергенции массового 4-тока является среди прочих и тензор поля диссипации ~h^{{\mu \alpha }}. Если же пространство-время плоское, как в пространстве Минковского, левая часть уравнения обнуляется, ковариантная производная становится 4-градиентом и остаётся следующее:

~\partial _{{\alpha }}J^{\alpha }={\frac  {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf  {J}}=0.

Использование в ковариантной теории гравитации[править]

Действие и Лагранжиан[править]

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор поля диссипации и содержится в функции действия: [1]

~S=\int {Ldt}=\int (kR-2k\Lambda -{\frac  {1}{c}}D_{\mu }J^{\mu }+{\frac  {c}{16\pi G}}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}-{\frac  {1}{c}}A_{\mu }j^{\mu }-{\frac  {c\varepsilon _{0}}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}-
~-{\frac  {1}{c}}u_{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}-{\frac  {1}{c}}\pi _{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}-{\frac  {1}{c}}\lambda _{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \tau }}h_{{\mu \nu }}h^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}d\Sigma ,

где ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени используемой системы отсчёта, ~k – некоторый коэффициент, ~R – скалярная кривизна, ~\Lambda – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, ~D_{\mu }гравитационный 4-потенциал, ~Gгравитационная постоянная, ~\Phi _{{\mu \nu }}тензор гравитационного поля, ~A_{\mu } – электромагнитный 4-потенциал, ~j^{\mu } – зарядовый 4-ток, ~\varepsilon _{0} – электрическая постоянная, ~F_{{\mu \nu }} – тензор электромагнитного поля, ~u_{\mu } – ковариантная 4-скорость, ~\eta , ~\sigma и ~\tau – постоянные, подлежащие определению, ~u_{{\mu \nu }}тензор ускорений, ~\pi _{\mu } – 4-потенциал поля давления, ~f_{{\mu \nu }}тензор поля давления, ~\lambda _{\mu } – 4-потенциал поля диссипации, ~h_{{\mu \nu }} – тензор поля диссипации, ~{\sqrt  {-g}}d\Sigma ={\sqrt  {-g}}cdtdx^{1}dx^{2}dx^{3} – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~dx^{0}=cdt, через произведение ~dx^{1}dx^{2}dx^{3} дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~{\sqrt  {-g}} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях, в поле давления и в поле диссипации:

~\rho _{0}a_{\beta }=\rho _{0}{\frac  {Du_{\beta }}{D\tau }}=\rho _{0}u^{k}\nabla _{k}u_{\beta }=\rho _{0}{\frac  {du_{\beta }}{d\tau }}-\rho _{0}\Gamma _{{k\beta }}^{s}u^{k}u_{s}=\Phi _{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma }+F_{{\beta \sigma }}\rho _{{0q}}u^{\sigma }+f_{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma }+h_{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma },

где ~a_{\beta }4-ускорение с ковариантным индексом, использован оператор производной по собственному времени ~\tau , первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда ~\rho _{{0q}}, измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, а последние два члена определяют силу давления и диссипации соответственно.

Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля диссипации приводит к уравнению поля диссипации (3).

Тензор энергии-импульса поля диссипации[править]

С помощью тензора поля диссипации в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля диссипации:

~Q^{{ik}}={\frac  {c^{2}}{4\pi \tau }}\left(-g^{{im}}h_{{nm}}h^{{nk}}+{\frac  {1}{4}}g^{{ik}}h_{{mr}}h^{{mr}}\right).

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля диссипации задаёт плотность 4-силы диссипации:

~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }Q^{{\alpha \beta }}=h_{{k}}^{{\alpha }}J^{k}.

Обобщённая скорость и Гамильтониан[править]

Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости определяется выражением:

~s_{{\mu }}=u_{{\mu }}+D_{{\mu }}+{\frac  {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}A_{{\mu }}+\pi _{{\mu }}+\lambda _{{\mu }}.

С учётом обобщённой скорости Гамильтониан содержит в себе тензор поля диссипации и имеет вид:

~H=\int {(s_{0}J^{0}-{\frac  {c^{2}}{16\pi G}}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}\varepsilon _{0}}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \tau }}h_{{\mu \nu }}h^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

где ~s_{0} и ~J^{0} обозначают временные компоненты 4-векторов ~s_{{\mu }} и ~J^{{\mu }}.

В системе отсчёта, неподвижной относительно центра масс системы, Гамильтониан определяет инвариантную энергию системы.

См. также[править]

Ссылки[править]

1. Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics. Vol. 18 (No. 1), pp. 13-24, 2015. http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003; статья на русском языке: Федосин С. Г. Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.

Внешние ссылки[править]

Хочешь уточнить, добавить или исправить текст?
Редактировать статью Подписаться на обновления