Полезное знание под угрозой удаления из Википедии или другого сайта?
Сохраните его на Викизнании или Вавилон-wiki!

Тензор поля давления

→ 
Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Тензор поля давления — антисимметричный тензор, описывающий поле давления и состоящий из шести компонент. Компоненты тензора являются в то же время компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля давления, и соленоидального вектора давления. С помощью тензора поля давления определяется тензор энергии-импульса поля давления, уравнения поля давления и сила давления в веществе. Поле давления является компонентой общего поля.

Определение[править]

Выражение для тензора поля давления можно найти в работах Федосина, [1] где тензор определяется через 4-ротор:

f_{{\mu \nu }}=\nabla _{\mu }\pi _{\nu }-\nabla _{\nu }\pi _{\mu }={\frac  {\partial \pi _{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac  {\partial \pi _{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.\qquad \qquad (1)

Здесь 4-потенциал поля давления ~\pi _{\mu } определяется по формуле:

~\pi _{\mu }=\left({\frac  {\wp }{c}},-{\mathbf  {\Pi }}\right),

где ~\wp – скалярный потенциал, ~{\mathbf  {\Pi }} – векторный потенциал поля давления, ~cскорость света.

Выражение для компонент[править]

С помощью (1) находятся вектор напряжённости поля давления и соленоидальный вектор давления:

~C_{i}=c(\partial _{0}\pi _{i}-\partial _{i}\pi _{0}),
~I_{k}=\partial _{i}\pi _{j}-\partial _{j}\pi _{i},

и это же в векторной записи:

~{\mathbf  {C}}=-\nabla \wp -{\frac  {\partial {\mathbf  {\Pi }}}{\partial t}},
~{\mathbf  {I}}=\nabla \times {\mathbf  {\Pi }}.

Тензор поля давления состоит из компонент данных векторов:

~f_{{\mu \nu }}={\begin{vmatrix}0&{\frac  {C_{x}}{c}}&{\frac  {C_{y}}{c}}&{\frac  {C_{z}}{c}}\\-{\frac  {C_{x}}{c}}&0&-I_{{z}}&I_{{y}}\\-{\frac  {C_{y}}{c}}&I_{{z}}&0&-I_{{x}}\\-{\frac  {C_{z}}{c}}&-I_{{y}}&I_{{x}}&0\end{vmatrix}}.

Переход к тензору поля давления с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор:

~f^{{\alpha \beta }}=g^{{\alpha \nu }}g^{{\mu \beta }}f_{{\mu \nu }}.

В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид:

~f^{{\alpha \beta }}={\begin{vmatrix}0&-{\frac  {C_{{x}}}{c}}&-{\frac  {C_{{y}}}{c}}&-{\frac  {C_{{z}}}{c}}\\{\frac  {C_{{x}}}{c}}&0&-I_{{z}}&I_{{y}}\\{\frac  {C_{{y}}}{c}}&I_{{z}}&0&-I_{{x}}\\{\frac  {C_{{z}}}{c}}&-I_{{y}}&I_{{x}}&0\end{vmatrix}}.

Для преобразования компонент тензора поля давления из одной инерциальной системы отсчёта в другую нужно учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’ движется с произвольной постоянной скоростью ~{\mathbf  {V}} относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля давления и соленоидальный вектор давления преобразуются так:

{\mathbf  {C}}^{\prime }={\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {C}})+{\frac  {1}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}\left({\mathbf  {C}}-{\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {C}})+[{\mathbf  {V}}\times {\mathbf  {I}}]\right),
{\mathbf  {I}}^{\prime }={\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {I}})+{\frac  {1}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}\left({\mathbf  {I}}-{\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {I}})-{\frac  {1}{c^{2}}}[{\mathbf  {V}}\times {\mathbf  {C}}]\right).

Свойства тензора[править]

  • ~f_{{\mu \nu }} является антисимметричным тензором 2-го ранга, отсюда следует условие ~f_{{\mu \nu }}=-f_{{\nu \mu }}. Три из шести независимых компонент тензора поля давления связаны с компонентами вектора напряжённости поля давления ~{\mathbf  {C}}, а другие три – с компонентами соленоидального вектора давления ~{\mathbf  {I}}. Ввиду антисимметричности такой инвариант, как свёртка тензора с метрическим тензором, обращается в нуль: ~g^{{\mu \nu }}f_{{\mu \nu }}=f_{\mu }^{{\mu }}=0.
  • Свёртка тензора с самим собой f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }} является инвариантом, а свёртка произведения тензоров с символом Леви-Чивиты в виде {\frac  {1}{4}}\varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }}f_{{\mu \nu }}f_{{\sigma \rho }} является псевдоскалярным инвариантом. Указанные инварианты в специальной теории относительности выражаются так:
f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}=-{\frac  {2}{c^{2}}}(C^{2}-c^{2}I^{2})=inv,
{\frac  {1}{4}}\varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }}f_{{\mu \nu }}f_{{\sigma \rho }}=-{\frac  {2}{c}}\left({\mathbf  C}\cdot {\mathbf  {I}}\right)=inv.
  • Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:
\det \left(f_{{\mu \nu }}\right)={\frac  {4}{c^{2}}}\left({\mathbf  C}\cdot {\mathbf  {I}}\right)^{{2}}.

Поле давления[править]

Через тензор поля давления записываются уравнения поля давления:

\nabla _{\sigma }f_{{\mu \nu }}+\nabla _{\mu }f_{{\nu \sigma }}+\nabla _{\nu }f_{{\sigma \mu }}={\frac  {\partial f_{{\mu \nu }}}{\partial x^{\sigma }}}+{\frac  {\partial f_{{\nu \sigma }}}{\partial x^{\mu }}}+{\frac  {\partial f_{{\sigma \mu }}}{\partial x^{\nu }}}=0.\qquad \qquad (2)
~\nabla _{\nu }f^{{\mu \nu }}=-{\frac  {4\pi \sigma }{c^{2}}}J^{\mu },\qquad \qquad (3)

где J^{\mu }=\rho _{{0}}u^{\mu } есть массовый 4-ток, \rho _{{0}} – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, u^{\mu } – 4-скорость движения элемента вещества, ~\sigma – постоянная, определяемая в каждой задаче.

Вместо (2) можно использовать выражение:

~\varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }}{\frac  {\partial f_{{\mu \nu }}}{\partial x^{\sigma }}}=0.

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора поля давления согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора f_{{\mu \nu }}, можно получить два векторных уравнения:

~\nabla \times {\mathbf  {C}}=-{\frac  {\partial {\mathbf  {I}}}{\partial t}},\qquad \qquad (4)
~\nabla \cdot {\mathbf  {I}}=0.\qquad \qquad (5)

Согласно (5), соленоидальный вектор давления не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора давления приводит к появлению ротора напряжённости поля давления.

Уравнение (3) связывает поле давления с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим:

~\nabla \cdot {\mathbf  {C}}=4\pi \sigma \rho ,
~\nabla \times {\mathbf  {I}}={\frac  {1}{c^{2}}}\left(4\pi \sigma {\mathbf  {J}}+{\frac  {\partial {\mathbf  {C}}}{\partial t}}\right),

где ~\rho – плотность движущейся массы, ~{\mathbf  {J}} – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля давления имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля давления порождают круговое поле соленоидального вектора давления.

Из (3) и (1) можно получить уравнение непрерывности:

~R_{{\mu \alpha }}f^{{\mu \alpha }}={\frac  {4\pi \sigma }{c^{2}}}\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}.

Это уравнение означает, что благодаря искривлению пространства-времени, когда тензор Риччи ~R_{{\mu \alpha }} не равен нулю, источником дивергенции массового 4-тока является среди прочих и тензор поля давления ~f^{{\mu \alpha }}. Если же пространство-время плоское, как в пространстве Минковского, левая часть уравнения обнуляется, ковариантная производная становится 4-градиентом и остаётся следующее:

~\partial _{{\alpha }}J^{\alpha }={\frac  {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf  {J}}=0.

Использование в ковариантной теории гравитации[править]

Действие и Лагранжиан[править]

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор поля давления и содержится в функции действия: [1]

~S=\int {Ldt}=\int (kR-2k\Lambda -{\frac  {1}{c}}D_{\mu }J^{\mu }+{\frac  {c}{16\pi G}}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}-{\frac  {1}{c}}A_{\mu }j^{\mu }-{\frac  {c\varepsilon _{0}}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}-
~-{\frac  {1}{c}}u_{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}-{\frac  {1}{c}}\pi _{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}d\Sigma ,

где ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени используемой системы отсчёта, ~k – некоторый коэффициент, ~R – скалярная кривизна, ~\Lambda – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, ~D_{\mu }гравитационный 4-потенциал, ~Gгравитационная постоянная, ~\Phi _{{\mu \nu }}тензор гравитационного поля, ~A_{\mu } – электромагнитный 4-потенциал, ~j^{\mu } – электрический 4-ток, ~\varepsilon _{0} – электрическая постоянная, ~F_{{\mu \nu }} – тензор электромагнитного поля, ~u_{\mu } – ковариантная 4-скорость, ~\eta и ~\sigma – постоянные, подлежащие определению, ~u_{{\mu \nu }}тензор ускорений, ~\pi _{\mu } – 4-потенциал поля давления, ~f_{{\mu \nu }} – тензор поля давления, ~{\sqrt  {-g}}d\Sigma ={\sqrt  {-g}}cdtdx^{1}dx^{2}dx^{3} – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~dx^{0}=cdt, через произведение ~dx^{1}dx^{2}dx^{3} дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~{\sqrt  {-g}} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления:

~\rho _{0}a_{\beta }=\rho _{0}{\frac  {Du_{\beta }}{D\tau }}=\rho _{0}u^{k}\nabla _{k}u_{\beta }=\rho _{0}{\frac  {du_{\beta }}{d\tau }}-\rho _{0}\Gamma _{{k\beta }}^{s}u^{k}u_{s}=\Phi _{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma }+F_{{\beta \sigma }}\rho _{{0q}}u^{\sigma }+f_{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma },

где ~a_{\beta }4-ускорение с ковариантным индексом, использован оператор производной по собственному времени ~\tau , первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда ~\rho _{{0q}}, измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, а последний член определяет силу давления.

Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля давления приводит к уравнению поля давления (3).

Тензор энергии-импульса поля давления[править]

С помощью тензора поля давления в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля давления:

~P^{{ik}}={\frac  {c^{2}}{4\pi \sigma }}\left(-g^{{im}}f_{{nm}}f^{{nk}}+{\frac  {1}{4}}g^{{ik}}f_{{mr}}f^{{mr}}\right).

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность 4-силы давления:

~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }P^{{\alpha \beta }}=f_{{k}}^{{\alpha }}J^{k}.

Обобщённая скорость и Гамильтониан[править]

Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости определяется выражением:

~s_{{\mu }}=u_{{\mu }}+D_{{\mu }}+{\frac  {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}A_{{\mu }}+\pi _{{\mu }}.

С учётом обобщённой скорости Гамильтониан содержит в себе тензор поля давления и имеет вид:

~H=\int {(s_{0}J^{0}-{\frac  {c^{2}}{16\pi G}}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}\varepsilon _{0}}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

где ~s_{0} и ~J^{0} обозначают временные компоненты 4-векторов ~s_{{\mu }} и ~J^{{\mu }}.

В системе отсчёта, неподвижной относительно центра масс системы, Гамильтониан определяет инвариантную энергию системы.

См. также[править]

Ссылки[править]

1. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

Внешние ссылки[править]

Хочешь уточнить, добавить или исправить текст?
Редактировать статью Подписаться на обновления