Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Система счисления

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Система счисления (нумерация лат. numeratio) — метод обозначения чисел посредством знаковцифр, или слов. Система обозначения, основанная на цифрах — письменная нумерация. Система обозначения, основанная на словах — словесная нумерация.

Системы счисления разделяют на позиционные и непозиционные. Различие позиционных систем счисления от непозиционных состоит в том, что значение цифр в позиционной системе зависит от позиции в числе, а в непозиционной — не зависит. Примеры позиционных систем счисления: десятичная система счисления, основанная на арабских цифрах; древневавилонянская (60-ричная); система Майя (20-ричная). Примеры непозиционных систем счисления — римская, старая и новая греческая, славянская.

Позиционные и многие непозиционные системы счисления имеют так называемое основание. Основание также определяет деления чисел на порядки. Числа, меньшие основания, называются числами первого порядка, до второй степени основания (n·n) — числами второго и так далее. Числа соотносящиеся на основание считаются различающимися на один порядок.

Системы счисления, обладающие основанием имеют регулярную структуру названий — числа, отличающиеся на порядок, образуются подобным образом. Для позиционных систем счисления основание означает, во сколько раз изменится значение цифры смещении на одну позицию — 3 и 30 в десятичной системе отличаются в десять раз. Непозиционные системы счисления обычно включают знаки для чисел, меньших основания и и помноженных на целую степень основания, например римская — I=1, V=5, X=10, L=50, C=100 — цифры I к X и к C, относятся как основание системы счисления, аналогично относятся V и L.

Системы счисления также различающиеся тем, как образуются числа внутри порядка. Один очевидный способ образования — повторение символа единицы необходимое количество раз — он используется во многих древних системах — египетской, вавилонянской, старой греческой, римской и других. Такой подход обеспечивает использование достаточно малое количество различных симоволов, но является весьма расточительным. Нередким в таких системах было использование дополнительного основания, меньшего основного. Числа, одного порядка формировались аналогично с использованием дополнительного основания. Это позволяло значительно сократить количество повторений. Дополнительными основаниями часто служили 5 и 10. Так, отдельный символ для обозначения 5 есть в старой греческой и римской нумерации — Γ и V, а также у майя. 5 в качестве промежуточного основания связан со счётом по пальцам, и обозначал, что закончились пальцы на руке (или ноге). Промежуточное основание 10 использовалось в древневавилонской клинописной 60-чной системе счисления.

Другой способ, использовавшийся в более новых — использование различных символов. Такой подход используется широко используемой десятичной системе счисления — цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такой же подход применялся в новогреческой и заимствованной от неё древнерусской. В них в качестве цифр использовались буквы — в новой греческой это греческий алфавит, в древнерусской — кириллица или глаголица, причём цифровые значения букв кириллица полностью соответствовали таковым в греческом, у глаголицы отличались. Эти системы использовали 27 букв со значениями: от 1 до 9 через один, 10 по 90 через десяток, 100 по 900 — через сотню.

Непозиционные системы счисления[править]

Непозиционные системы счисления появились исторически первыми. В этих системах значение каждого цифрового символа постоянно и не зависит от его положения. Простейшим случаем непозиционной системы является единичная, для которой для обозначения чисел используется единственный символ, как правило это черта, иногда точка, которых всегда ставится количество, соответствующее обозначаемому числу:

  • 1 — |
  • 2 — ||
  • 3 — |||, и т. д.

Таким образом, этот единственный символ имеет значение единицы, из которой последовательным сложением получается необходимое число:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Модификацией единичной системы является система с основанием, в которой есть символы не только для обозначения единицы, но и для степеней основания. Например, если за основание взято число 5, то будут дополнительные символы для обозначения 5, 25, 125 и так далее.

Примером такой системы с основанием 10 является древнеегипетская, возникшая во второй половине третьего тысячеления до новой эры. В этой системе имелись следующие иероглифы:

  • шест — единицы,
  • дуга — десятки,
  • пальмовый лист — сотни,
  • цветок лотоса — тысячи.

Числа получались простым сложением, порядок следования мог быть любым. Так, для обозначения, например, числа 3815, рисовали три цветка лотоса, восемь пальмовых листов, одну дугу и пять шестов. Более сложные системы с дополнительными знаками — старая греческая, римская. Римская также использует элемент позиционной системы — большая цифра, стоящая перед меньшей, прибавляется, меньшая перед большей — вычитается: IV = 4, но VI = 6, этот метод, правда, применяется исключительно для обозначения чисел 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000, и производных их сложением.

Новогреческая и древнерусская системы использовали в качестве цифр 27 букв алфавита, где ими обозначалось каждое число от 1 до 9, а также десятки и сотни. Такой подход обеспечил возможность записывать числа от 1 до 999 без повторений цифр.

В старорусской системе для обозначения больших чисел использовались специальные обрамления вокруг цифр.

В качестве словесной системы номерации до сих пор практически везде используется непозиционная. Словесные системы нумерации сильно привязаны в языку, и общие их элементы в основном относятся к общим принципам и названиям больших чисел (триллион и выше). Общие принципы, положенные в основу современных словесных нумераций вредполагают формирование обозначения посредством сложения и умножения значений уникальных названий.

В качестве словообразующих корней в основном используются названия для чисел первого десятка и степеней десяти:

Второй десяток нередко образуется модификацией названий первого — в русском это добавление в конце суффиксоида -надцать, в английском — -teen. Аналогично образуются десятки — -дцать, -десять; и сотни — -ста, -сот. То есть имеется словообразование слиянием уникальных корней.

Среди больших чисел как правило названия имеют степени тысячи:

Другие степени десяти практически вышли из употребления — 104тьма, мириада и т. д.

Прочие числа образуются комбинированием набора слов с использованием сложения и перемножения их значений. При этом выполняемая операция зависит от типа языкового согласования слов: семнадцать тысяч — это 17·1000 = 17 000, а тысяча семнадцать — это 1000+17 = 1017.

Позиционные системы счисления[править]

В позиционных системах счисления важную роль играет порядок следования цифр. Каждая цифра в позиционной записи имеет свою позицию, которая определяет её численное значение. Позиции цифр носят название разрядов.

Для позиционной с. с. выбирается основанием некоторое натуральное число большее или равное двум. Любое неотрицательное целое число представляется как сумма степеней n с целыми коэффициентами в диапазоне от 0 до n-1. Эти коэффициенты записываются в виде цифр выбранной системы счисления.

Общая система счисления может быть определена, как такая группировка целых и дробных чисел, при которой каждое из них представляется формулой:

\cdots +a_{{-3}}\times n^{{-3}}+a_{{-2}}\times n^{{-2}}+a_{{-1}}\times n^{{-1}}+a_{{0}}\times n^{{0}}+a_{{1}}\times n^{{1}}+a_{{2}}\times n^{{2}}+a_{{3}}\times n^{{3}}+\cdots ,

в которой n означает основание системы счисления, а символ aii-тую цифру записи числа, ai должно дежать в диапазоне от 0 до n-1. Индекс при цифре является номером разряда.

Существенным отличием позиционных систем от непозиционных является необходимость использования специального знака «нуля» для обозначения пропущенных разрядов. Отсутствие его вносило бы неразрешимую путаницу: было бы не ясно, например в числе 35 тройка означает три десятка, сотни, тысячи и ещё чего, а с использованием нуля невозможно спутать три десятка в числе 35 и три сотни в 305.

Наиболее распространена система счисления с основанием 10 (так называемая десятичная). Пример разложения десятичного числа в сумму степеней:

1203 = 1 × 103 + 2 × 102 + 0 × 101 + 3 × 100

Человечество также до сих пор использует 12-чную (точнее 60-чную) систему исчисления при измерении времени. Известно, что также использовались 5-ричная и 20-ричная системы счисления у разных народов. Исторически использовавшиеся системы счисления имеют анатомическое происхождение: 5-чная, 10-чная и 20-чная системы счисления связаны с количеством пальцев на одной, двух руках и руках и ногах соответственно. 12-чная система обусловлена количеством фаланг пальцев (не считая большого) на руке.

В информатике и вычислительной технике часто используются основания 2 (двоичная система счисления), 8 (восьмеричная система счисления) и 16 (шестнадцатеричная система счисления). Двоичная система счисления связана с особенностями функционирования цифровых электронных схем, работающих с двумя состояниями, выражаемыми цифрами 0 и 1. Использование систем счисления со основаниями 8 и 16 связано с тем, что для удобства двоичные цифры группируются по 3 и 4 соответственно, что позволяет использовать более компактную запись. В шестнадцатеричной и других системах счисления с основанием больше десяти используют в качестве недостающих цифр буквы латинского алфавита: A—F.

Также существуют ЭВМ (например, Сетунь), работающие в троичной системе счисления. Для удобства записи чисел также в этом случае используется девятичная система.

Более подробную информацию можно найти в статье «Позиционная система счисления».

Ненатуральные числа[править]

Естественным для позиционных систем счисления также является выражение для нецелых величин — для этого используется знак, фиксирующий нулевой разряд числа (так называемая дробная запятая, в десятичной системе — десятичная запятая), после которого идут дробные разряды, имеющие отрицательные степени основания, первый разряд после запятой — n^{{-1}}=1/10, второй — n^{{-2}}=1/100 и так далее.

Для обозначения отрицательных чисел повсеместно используется знак минус.

История[править]

Более подробную информацию можно найти в статье «Система счисления (история)».

См. также[править]

Ссылки[править]

Литература[править]

  • В. В. Бобынин, «Лекции по истории математики» («Физико-математические Науки», т. IХ и Х, лекции 2—6);
  • В. В. Бобынин, «Исследования по истории математики» (вып. II, М., 1896).
Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: