Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Принцип суммирования энергий

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Принцип суммирования энергий произвольной системы задаёт порядок включения различных видов энергии, связанных с системой, в энергетические функции, описывающие состояние системы. Наиболее часто суммирование энергий применяется в теоретической физике, где используется принцип наименьшего действия, вычисляются полные энергии систем и учитывается закон сохранения энергии. Принцип суммирования энергий является с одной стороны методологическим принципом, а с другой стороны – следствием сложности систем, состоящих из вещества в различных состояниях, и имеющихся в данных системах полей. Сложность увеличивается за счёт движения вещества и поля, при переходах вещества из одного фазового состояния в другое, при трансформации энергий полей и вещества друг в друга. Энергетические функции имеют разный смысл в зависимости от их предназначения. Для оценки изменения полной энергии системы необходимо учитывать, что одни компоненты увеличивают энергию, а другие ей уменьшают, что приводит к разным знакам перед компонентами энергии. Если же энергетические функции используются для нахождения уравнений движения, то знаки перед компонентами энергии выбираются из условия соответствия уравнениям движения вещества и поля. В результате для каждой энергетической функции используется свой собственный порядок суммирования энергий.

Примеры[править]

Термодинамические потенциалы[править]

Для вычисления энергетических функций в термодинамике используют такие физические величины, как давление ~P, объём ~V, абсолютная температура ~T, теплоёмкость ~C, масса ~M, количество вещества ~N. Эти величины достаточно хорошо измеряются, в отличие от энтропии ~S, химического потенциала ~\mu , количества теплоты ~Q, которыми обладает вещество. Внутренняя энергия ~U и её приращение ~dU для многофазного вещества в квазистатическом процессе выражаются формулами:

~U=\int (TdS-PdV+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}+\delta A'),
~dU=\delta Q-\delta A+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}+\delta A',

где ~\delta Q=TdS – приращение количества теплоты, ~\delta A=PdV – работа, выполняемая системой, ~i – количество фаз вещества, ~\delta A' – работа, выполняемая над системой.

Кроме внутренней энергии, в термодинамике имеются и другие связанные с ней энергетические функции, например, свободная энергия Гельмгольца:

~{\mathcal  F}=U-TS.

Соответственно, приращение свободной энергии Гельмгольца равно:

~d{\mathcal  F}=-SdT-\delta A+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}+\delta A'.

Энтальпия и её приращение имеют вид:

~H=U+PV,
~dH=\delta Q+VdP+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}+\delta A'.

Энергия Гиббса и её приращение:

~G=U+PV-TS,
~dG=-SdT+VdP+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}+\delta A'.

Большой термодинамический потенциал и его приращение:

~\Omega =U-TS-\sum _{i}\mu _{i}N_{i},
~d\Omega =-SdT-\delta A-\sum _{i}N_{i}d\mu _{i}+\delta A'.

Связанная энергия и её приращение:

~E_{b}=U+PV-\sum _{i}\mu _{i}N_{i},
~dE_{b}=\delta Q+VdP-\sum _{i}N_{i}d\mu _{i}+\delta A'.

Возможны ещё два термодинамических потенциала и их приращения:

~P_{1}=U-\sum _{i}\mu _{i}N_{i},
~dP_{1}=\delta Q-\delta A-\sum _{i}N_{i}d\mu _{i}+\delta A',
~P_{2}=U-TS+PV-\sum _{i}\mu _{i}N_{i},
~dP_{2}=-SdT+VdP-\sum _{i}N_{i}d\mu _{i}+\delta A'.

Порядок сложения компонент энергии оказывается такой, чтобы получался соответствующий термодинамический потенциал, имеющий свой собственный смысл. Так, внутренняя энергия отражает закон сохранения энергии, а изменение свободной энергии Гельмгольца при изотермическом процессе определяется только разностью работы, выполняемой как системой над окружением, так и окружением над системой.

Многие соотношения термодинамики хорошо выполняются не только для газов, но и для жидкостей и вещества в твёрдом состоянии.

Функция Лагранжа[править]

Одним из путей нахождения уравнений движения систем и законов их существования является варьирование функционала действия, то есть варьирование по различным переменным интеграла по времени от функции Лагранжа, с целью определения экстремальных и наиболее вероятных состояний. Функция Лагранжа или лагранжиан ~{\mathcal  {L}} состоит из ряда компонент энергии, которые в механике входят либо в кинетическую энергию ~T, либо в потенциальную энергию ~V. Для нахождения лагранжиана в механике записывают разность кинетической и потенциальной энергий:

{\mathcal  {L}}=T-V.

Обычно предполагается, что лагранжиан зависит только от времени, координат и скоростей, но не от более высоких производных по времени.

Так как каждая механическая система сама является источником поля, то в правую часть равенства в общем случае добавляется член, связанный с энергией этого поля. В специальной теории относительности лагранжиан одной частицы с массой ~M и зарядом ~q в электромагнитном поле имеет вид: [1]

~{\mathcal  {L}}=-Mc{\frac  {ds}{dt}}-q{\frac  {A_{\mu }dx^{\mu }}{dt}}-{\frac  {c\varepsilon _{0}}{4}}\int {F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}{\frac  {dx^{4}}{dt}}}=

=-Mc^{2}{\sqrt  {1-v^{2}/c^{2}}}-q(\varphi -{\mathbf  {A\cdot v}})+{\frac  {\varepsilon _{0}}{2}}\int {(E^{2}-c^{2}B^{2})}dx^{3},

где ~cскорость света, ~dsинтервал, ~A_{\mu }=\left({\frac  {\varphi }{c}},-{\mathbf  {A}}\right) – электромагнитный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, ~dx^{\mu } – 4-вектор смещения частицы, ~\varepsilon _{0}электрическая постоянная, ~F_{{\mu \nu }}тензор электромагнитного поля, ~dx^{4}=cdtdx^{3}=cdtdx{}dy{}dz – элемент 4-объёма, ~{\mathbf  {v}} – скорость движения частицы, ~\varphi и ~{\mathbf  {A}} – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля соответственно, ~E и ~Bнапряжённость электрического поля и магнитная индукция соответственно.

В данном случае в лагранжиан входят три компоненты с размерностью энергии, связанные с релятивистской энергией частицы, с энергией частицы в электромагнитном поле, и с энергией самого электромагнитного поля. Выражения для компонент энергии и знаки перед ними выбраны таким образом, чтобы в результате варьирования функционала действия получались уравнения движения частицы в поле и уравнения Максвелла для напряжённостей поля.

Аналогично записывается лагранжиан для одной частицы в гравитационном поле в лоренц-инвариантной теории гравитации: [2]

~{\mathcal  {L}}=-Mc_{g}{\frac  {ds}{dt}}-M{\frac  {D_{\mu }dx^{\mu }}{dt}}+{\frac  {c_{g}}{16\pi G}}\int {\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}{\frac  {dx^{4}}{dt}}}=

=-Mc_{g}^{2}{\sqrt  {1-v^{2}/c_{g}^{2}}}-M(\psi -{\mathbf  {D\cdot v}})-{\frac  {1}{8\pi G}}\int {(\Gamma ^{2}-c_{g}^{2}\Omega ^{2})}dx^{3},

где ~c_{g}скорость гравитации, близкая по величине к скорости света, ~D_{\mu }=\left({\frac  {\psi }{c_{{g}}}},-{\mathbf  {D}}\right)гравитационный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, ~Gгравитационная постоянная, ~\Phi _{{\mu \nu }}тензор гравитационного поля, ~\psi и ~{\mathbf  {D}} – скалярный и векторный потенциалы гравитационного поля соответственно, ~\Gamma и ~\Omega напряжённость гравитационного поля и поле кручения соответственно, а масса ~M не только учитывает сумму масс нуклонов вещества, но и вклад от массы-энергии всех полей, взаимодействующих с веществом и изменяющих величину массы частицы.

После варьирования функционала действия получаются уравнения движения частицы в гравитационном поле и максвеллоподобные гравитационные уравнения для гравитационного ускорения и поля кручения. Для того, чтобы лагранжиан можно было использовать в любых системах отсчёта, его следует записать в ковариантном виде. В искривлённом пространстве-времени интервал можно выразить через метрический тензор ~g_{{\mu \nu }}:

~ds={\sqrt  {g_{{\mu \nu }}\ dx^{{\mu }}\ dx^{{\nu }}}},

а вместо элемента 4-объёма ~dx^{4} при интегрировании по 4-объёму следует использовать произведение ~{\sqrt  {-g}}dx^{4}, где ~g есть детерминант метрического тензора.

Функция Гамильтона[править]

В классической механике функция Гамильтона или гамильтониан системы частиц может быть определён через лагранжиан: ~H=\sum _{i}{{\vec  p}_{i}}\cdot {\dot  {{\vec  q}_{i}}}-{\mathcal  {L}},

где ~{\vec  p}_{i} — обобщённый импульс i-ой частицы, а ~{\dot  {{\vec  q}_{i}}} — её обобщённая скорость.

Для консервативных систем, в которых сохраняется энергия, функция Гамильтона как функция от обобщённых координат и импульсов оказывается равной полной энергии ~E системы и имеет следующий вид:

~H=E=T+V.

В этом случае видно, что различие между функциями Лагранжа и Гамильтона заключено в разных знаках перед потенциальной энергией ~V системы.

Инвариантная энергия[править]

Инвариантная энергия ~E_{0} тела определяется как релятивистская энергия, измеренная неподвижным относительно центра инерции тела наблюдателем. Стандартный подход предполагает суммирование всех видов энергии тела:

~E_{0}=E_{m}+E_{p}+E_{T}+U+W+E_{L},

где ~E_{m}энергия покоя отдельных частиц вещества, ~E_{p} – энергия давления (сжатия) вещества, понимаемая как потенциальная энергия межатомных взаимодействий, ~E_{T}тепловая энергия, дающая в сумме с ~E_{p} внутреннюю энергию, ~U – полная гравитационная энергия тела, включающая энергию собственного поля в веществе тела и за его пределами, и гравитационную энергию в поле от внешних источников, ~W – полная электромагнитная энергия тела, ~E_{L}энергия излучения, взаимодействующего с веществом тела.

В общей теории относительности это приводит к тому, что нагретое тело должно увеличивать свою массу, а масса гравитационно-связанного тела должна быть меньше, чем суммарная масса частиц вещества, из которого образуется данное тело.

Существует альтернативная точка зрения, согласно которой компоненты энергии входят в равенство для инвариантной энергии с отрицательными знаками: [3] [4] [5] [6] [7]

~E_{0}=E_{m}-E_{p}-E_{T}-U-W-E_{L}.

Как следствие, нагретые тела должны иметь меньшую массу, чем холодные, а масса звезды должна быть больше массы рассеянного вещества, из которого она образовалась в ходе гравитационного коллапса.

Третий подход связан с переосмыслением сущности и порядка суммирования энергий в ковариантной теории гравитации (КТГ). Способ вычисления инвариантной энергии существенно зависит от того, каким образом учитывается в гамильтониане скалярная кривизна и космологическая постоянная. В частности, космологическая постоянная может калиброваться таким образом, чтобы исключить скалярную кривизну и тем самым найти однозначное выражение для гамильтониана. [8] Другое нововведение заключается в том, что вместо стандартного тензора энергии-импульса вещества с учётом скалярного давления в рассмотрение вводятся два новых векторных поля – поле ускорений и поле давления, с соответствующими тензорами энергии-импульса. Если добавить сюда электромагнитное и гравитационное поля, получаются 4 поля, симметрично входящие в лагранжиан и в гамильтониан. При вычислении инвариантной энергии для сферического тела в равновесии оказывается, что компоненты энергии всех четырёх полей взаимно сокращаются. Поэтому вклад в инвариантную энергию системы делают лишь потенциальные энергии частиц, находящихся под действием полей. [9] Эти энергии также частично сокращаются, и для инвариантной энергии можно записать:

~E_{{0}}=Mc^{2}=m_{b}c^{2}-{\frac  {3Gm_{b}^{2}}{10a}}+{\frac  {3q_{b}^{2}}{40\pi \varepsilon _{0}a}}.

Соотношение для масс выглядит следующим образом: ~m'=M<m_{b}=m_{g},

где масса ~m_{b} и заряд ~q_{b} вычисляются интегрированием соответствующей плотности по объёму тела радиуса ~a, масса системы ~M равна суммарной массе частиц ~m', масса ~m_{b} равна гравитационной массе ~m_{g}, а превышение ~m_{b} над ~M происходит за счёт того, что частицы внутри тела двигаются и находятся под давлением в гравитационном и электромагнитном полях.

Более точный результат находится в статьях, [10] [11] где для энергии и масс получается следующее:

~E_{{0}}=Mc^{2}\approx m_{b}c^{2}-{\frac  {1}{10\gamma _{c}}}\left(7-{\frac  {27}{2{\sqrt  {14}}}}\right)\left({\frac  {Gm_{b}^{2}}{a}}-{\frac  {q_{b}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}a}}\right).
~m'<M<m<m_{b}=m_{g}.

Здесь калибровочная масса ~m' связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; ~M есть инертная масса системы; вспомогательная масса ~m равняется произведению плотности массы частиц на объём вещества системы; масса ~m_{b} есть сумма инвариантных масс (масс покоя) частиц системы, равная по величине гравитационной массе ~m_{g} системы.

Релятивистская энергия[править]

В отличие от инвариантной энергии, релятивистская энергия в общем случае содержит дополнительные компоненты энергии, связанные с движением системы как целого. В результате в формулах для энергии может быть определена зависимость от скорости, например от скорости движения центра инерции системы ~v. Если в пространстве Минковского известна инвариантная энергия ~E_{0}, то релятивистская энергия в произвольной инерциальной системе отчёта находится с помощью преобразования Лоренца по формуле:

~E={\frac  {E_{0}}{{\sqrt  {1-{\frac  {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Уравнения для определения метрики[править]

Уравнения Эйнштейна-Гильберта[править]

Уравнения Эйнштейна-Гильберта в общей теории относительности (ОТО) предназначены для поиска метрики в искривлённом пространстве-времени и записываются в тензорном виде:

R_{{\mu \nu }}-{R \over 2}g_{{\mu \nu }}+\Lambda g_{{\mu \nu }}={8\pi \beta G \over c^{4}}T_{{\mu \nu }},

где ~Gгравитационная постоянная Ньютона, ~R_{{\mu \nu }}тензор Риччи, ~Rскалярная кривизна, ~\Lambda космологическая постоянная, а ~T_{{\mu \nu }} представляет собой тензор энергии-импульса с размерностью объёмной плотности энергии,.

В ОТО ~\beta =1 и в состав тензора ~T_{{\mu \nu }} как правило входят тензор энергии-импульса вещества ~\phi _{{\mu \nu }} и тензор энергии-импульса электромагнитного поля ~W_{{\mu \nu }}:

~T_{{\mu \nu }}=\phi _{{\mu \nu }}+W_{{\mu \nu }}.

Отсутствие тензора энергии-импульса гравитационного поля как источника, влияющего на метрику, связано в ОТО с тем, что гравитационное поле отождествляется с геометрическим полем в виде метрического поля, причём это поле не порождает само себя (отсутствие самодействия метрического поля).

Уравнения КТГ[править]

В ковариантной теории гравитации (КТГ) уравнения для метрики имеют следующий вид: [8]

R_{{\mu \nu }}-{R \over 4}g_{{\mu \nu }}={8\pi \beta G \over c^{4}}T_{{\mu \nu }},

где коэффициент ~\beta находится из уравнений движения частиц и волн в каждой заданной форме метрики, а тензор ~T_{{\mu \nu }} является суммой четырёх тензоров:

~T_{{\mu \nu }}=B_{{\mu \nu }}+W_{{\mu \nu }}+U_{{\mu \nu }}+P_{{\mu \nu }},

где ~U_{{\mu \nu }}тензор энергии-импульса гравитационного поля, ~B_{{\mu \nu }}тензор энергии-импульса поля ускорений, и ~P_{{\mu \nu }} есть тензор энергии-импульса поля давления.

Это означает, что в КТГ гравитационное поле является физическим полем и наряду с электромагнитным полем, с полем ускорений и полем давления, является источником, формирующим метрику пространства-времени.

В случае непрерывно распределённого вещества для космологической постоянной получается равенство:

~\Lambda ={16\pi \beta G \over c^{4}}(D_{\kappa }J^{\kappa }+A_{\kappa }j^{\kappa }+U_{\kappa }J^{\kappa }+\pi _{\kappa }J^{\kappa }),

где ~J^{\kappa } и ~j^{\kappa } являются массовым и электромагнитным 4-током, соответственно, ~U_{\kappa } и ~\pi _{\kappa } – 4-потенциалы поля ускорений и поля давления.

Ковариантная производная левой части уравнения для метрики в силу калибровки космологической постоянной и скалярной кривизны даёт нуль. Это позволяет записать уравнение движения вещества как равенство нулю ковариантной производной от суммы тензоров в правой части, взятых с контравариантными индексами:

~\nabla _{\nu }(B^{{\mu \nu }}+W^{{\mu \nu }}+U^{{\mu \nu }}+P^{{\mu \nu }})=0.

Общее поле[править]

В концепции общего поля предполагается, что компонентами этого поля являются все векторные поля, связанные с веществом. 4-потенциал общего поля ~s_{\mu } равен сумме 4-потенциалов частных полей. [12] В результате сумма членов в объёмной плотности лагранжиана, ответственных за энергию вещества в различных полях, с точностью до знака равна просто произведению ~s_{\mu }J^{\mu }. Что касается энергии самих частных полей, то эти энергии включаются в лагранжиан через тензор общего поля ~s_{{\mu \nu }}, получаемый как 4-ротор от 4-потенциала общего поля. Для лагранжиана получается соотношение:

~{\mathcal  {L}}=\int (kcR-2kc\Lambda -s_{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c^{2}}{16\pi \varpi }}s_{{\mu \nu }}s^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3},

где ~k и ~\varpi – постоянные, подлежащие определению, ~{\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3} – инвариантный 3-объём, выражаемый через произведение ~dx^{1}dx^{2}dx^{3} дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~{\sqrt  {-g}} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Релятивистская энергия системы равна:

~E=\int {(s_{0}J^{0}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \varpi }}s_{{\mu \nu }}s^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

где ~s_{0} и ~J^{0} обозначают временные компоненты 4-векторов ~s_{{\mu }} и ~J^{{\mu }}.

Особенностью выражения для энергии является то, что в нём энергия общего поля в тензорном произведении ~s_{{\mu \nu }}s^{{\mu \nu }} включает в себя не только энергии частных полей, но и перекрёстные члены в виде суммы произведений напряжённостей частных полей в различных сочетаниях. Можно сказать, что энергия частиц в частных полях входит в энергию системы линейно, а энергия самих полей – приблизительно квадратичным образом.

Ссылки[править]

  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  2. Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.
  3. Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body. Preprints 2017, 2017040150. http://dx.doi.org/10.20944/preprints201704.0150.v1; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела.
  4. Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body in the Light of Gravitomagnetic Theory. Canadian Journal of Physics, Vol. 92, No. 10, pp. 1074-1081 (2014). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2013-0683; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела в свете теории гравитомагнетизма.
  5. Fedosin S.G. The Principle of Proportionality of Mass and Energy: New Version. Caspian Journal of Applied Sciences Research, Vol. 1, No. 13, pp. 1-15 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.890753; статья на русском языке: Принцип пропорциональности массы и энергии: новая версия.
  6. Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, Vol. 35, No. 1, pp. 35-70 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889804; статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.
  7. Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, Vol. 5, No. 4, pp. 55-75 (2012). http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.
  8. 8,0 8,1 Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  9. Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8, No. 1, pp. 1-16 (2015). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889210; статья на русском языке: Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.
  10. Fedosin S.G. The binding energy and the total energy of a macroscopic body in the relativistic uniform model. Middle East Journal of Science, Vol. 5, Issue 1, pp. 46-62 (2019). http://dx.doi.org/10.23884/mejs.2019.5.1.06. // Энергия связи и полная энергия макроскопического тела в релятивистской однородной модели.
  11. Fedosin S.G. The Mass Hierarchy in the Relativistic Uniform System. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol. 38 D (Physics), No. 2, pp. 73-80 (2019). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2019.00012.5. // Иерархия масс в релятивистской однородной системе.
  12. Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, pp. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.

См. также[править]

Внешние ссылки[править]

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: