Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Парадокс совпадения и различия событий

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск
Эвентология
Открытый Helgus~µастер~Kласс — H~µ~K
Это незавершённая статья из области эвентологии и её применений, редактируемая при участии Мастера

Мерой совпадения двух событий считается вероятность их пересечения, а мерой различия — вероятность их симметрической разности.

Парадокс[править]

Существует парадокс:

"Наиболее совпадающие события не обязательно наименее отличаются".

что на эвентологическом языке звучит так::

"Пара событий, имеющих наибольшую вероятность пересечения среди пар событий, выбранных из некоторого множества событий,
не обязана иметь еще и наименьшую среди тех же пар событий вероятность симметрической разности"

Действительно, пусть

  1. {\mathfrak  {X}}\subseteq {\mathcal  {F}} — произвольное конечное множество {\mathcal  {F}}-измеримых событий вероятностного пространства (\Omega ,{\mathcal  {F}},{\mathbf  {P}}), из которого выбираются пары событий \{x,y\}\in {\mathfrak  {X}}\times {\mathfrak  {X}};
  2. выбранные пары образуют некоторое произвольное подмножество {\mathcal  {A}}\subseteq {\mathfrak  {X}}\times {\mathfrak  {X}}.

Тогда, если

{\mathbf  {P}}(x^{{\circ }}\cap y^{{\circ }})=\max _{{\{x,y\}\in {\mathcal  {A}}}}{\mathbf  {P}}(x\cap y)

— наибольшую вероятность пересечения имеет пара событий \{x^{{\circ }},y^{{\circ }}\}, и

{\mathbf  {P}}(x_{{\circ }}\Delta y_{{\circ }})=\min _{{\{x,y\}\in {\mathcal  {A}}}}{\mathbf  {P}}(x\Delta y)

— наименьшую вероятность симметрической разности имеет пара событий \{x_{{\circ }},y_{{\circ }}\}, то, в общем случае, \{x^{{\circ }},y^{{\circ }}\}\neq \{x_{{\circ }},y_{{\circ }}\}.

Пример[править]

Для иллюстрации парадокса рассмотрим триплет событий {\mathfrak  {X}}=\{x,y,z\}. Множество всех дуплетов из {\mathfrak  {X}} в данном случае есть множество {\mathcal  {A}}={\Big \{}\{x,y\},\{y,z\},\{x,z\}{\Big \}}.


Диаграмма Венна для триплета событий {x,y,z} из примера с указанием событий-террасок и их вероятностей

Эвентологическое распределение {\mathfrak  {X}} задается таблицей:

Подмножества событий
{X}\subseteq {\mathfrak  {X}}
Вероятности
соответствующих событий-террасок
{\mathbf  {P}}({{\rm {ter}}}({X}))
\{x,y,z\}
0,1
\{y,z\}
0,2
\{x,z\}
0,1
\{x,y\}
0,1
\{z\}
0,3
\{y\}
0,1
\{x\}
0,1
\{\emptyset \}
0

Вероятности парных пересечений и симметрических разностей:

Дуплеты из
{\mathcal  {A}}
Вероятности совпадения
{\mathbf  {P}}(x\cap y)
Вероятности различия
{\mathbf  {P}}(x\Delta y)
\{x,y\}
0,2
0,5
\{x,z\}
0,2
0,7
\{y,z\}
0,3
0,6

Очевидно, максимальное совпадение достигается в данном случае дуплетом событий \{y,z\}, а минимального различия — дуплетом \{x,y\}.

Эвентологическое распределение дуплета событий[править]

Как известно, эвентологическое распределение дуплета событий \{x,y\}\subseteq {\mathfrak  {X}} можно задать с помощью трех независимых параметров, которыми, например, могут служить вероятность пересечения (совпадения) p_{{xy}}={\mathbf  {P}}(x\cap y), вероятность симметрической разности (различия) p_{{\Delta }}={\mathbf  {P}}(x\Delta y) и парная ковариация {\mathrm  {Kov}}_{{xy}}, связанные с вероятностями событий

p_{x}={\mathbf  {P}}(x),p_{y}={\mathbf  {P}}(y)

соотношениями:

p_{x}+p_{y}=p_{{\Delta }}+2p_{{xy}}
p_{x}p_{y}=p_{{xy}}-{\mathrm  {Kov}}_{{xy}}.

Фазовая плоскость[править]

Эвентологическая фазовая плоскость [u,w]=[{\mathbf  {P}}(x\cap y),{\mathbf  {P}}(x\Delta y)] — плоскость для отображения эвентологического симплекса распределений дуплета событий \{x,y\}; служит полезным инструментом для визуализации изменения вероятностей совпадения и различия дуплета событий при фиксированной парной корреляции Фреше, а также при изменении самой корреляции Фреше в пределах стандартного интервала [-1,1].

Для любого эвентологического распределения дуплета событий его проекция на фазовую плоскость представляет собой одну точку внутри или на границе треугольника: 0\leq u\leq 1;0\leq w\leq 1-u.

Проиллюстрируем это на вершинах, ребрах и гранях симплекса {\mathcal  {S}}^{3}. Значения вероятностей соответствуют всем 2^{{|X|}}=2^{2}=4-м возможным терраскам: {\mathbf  {P}}({\mathrm  {ter}}(\emptyset )),{\mathbf  {P}}({\mathrm  {ter}}(\{x\})),{\mathbf  {P}}({\mathrm  {ter}}(\{y\})),{\mathbf  {P}}({\mathrm  {ter}}(\{x,y\})),.

Вершины[править]

  • {1,0,0,0}, {\mathbf  {P}}({\mathrm  {ter}}(\emptyset ))=1. На фазовой плоскости это будет точка (0,0).
  • {0,1,0,0} и {0,0,1,0}, {\mathbf  {P}}({\mathrm  {ter}}(\{x\}))=1 либо {\mathbf  {P}}({\mathrm  {ter}}(\{y\}))=1. На фазовой плоскости это будет точка (0,1).
  • {0,0,0,1}, {\mathbf  {P}}({\mathrm  {ter}}(\{x,y\}))=1. На фазовой плоскости это будет точка (1,0).

Ребра[править]

Всего у 3-симлекса будет C_{4}^{2}=6 ребер, для них, при a\in (0;1):

  • {a,1-a,0,0} и {a,0,1-a,0}. На фазовой плоскости это точки вида (0;1-a), то есть отрезок u=0,w\in (0;1).
  • {a,0,0,1-a}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a;0), то есть отрезок u\in (0;1);w=0.
  • {0,a,1-a,0}. На фазовой плоскости это одна точка (0;1).
  • {0,a,0,1-a} и {0,0,a,1-a}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a;a), то есть отрезок прямой w=1-u,u,w\in (0;1).

Грани[править]

Всего у 3-симлекса будет C_{4}^{3}=4 грани, для них, при a,b\in (0;1):

  • {a,b,1-a-b,0}. На фазовой плоскости это точки вида (0;1-a), то есть отрезок u=0,w\in (0;1).
  • {a,b,0,1-a-b} и {a,0,b,1-a-b}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a-b;b), то есть отрезок прямой w=1-a-u,u,w\in (0;1-a).
  • {0,a,b,1-a-b}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a-b;a+b), то есть отрезок прямой w=1-u,u,w\in (0;1).

Любые точки 3-симплекса[править]

Фазовая плоскость для отображения всего эвентологического симплекса S3 дуплета событий {x,y}

Если учесть, что

u={\mathbf  {P}}(x\cap y)={\mathbf  {P}}({\mathrm  {ter}}(\{x,y\})), то
w=1-{\mathbf  {P}}(x\cap y)-{\mathbf  {P}}(\emptyset )=1-{\mathbf  {P}}(\emptyset )-u,u,w\in [0;1].

То есть каждое эвентологическое распределение дуплета {x,y} из симплекса распределений {\mathcal  {S}}^{3}, проецируемого на фазовую плоскость [u,w] представляет собой одну точку, попадающую в треугольник 0\leq u\leq 1;0\leq w\leq 1-u (включая его границы, см.рис).

Отображение на фазовой плоскости предельных распределений дуплета событий[править]

Рассмотрим три случая:

1) x и y не пересекаются, т.е. u={\mathbf  {P}}(x\cap y)=0 и w={\mathbf  {P}}(x\Delta y)={\mathbf  {P}}(x)+{\mathbf  {P}}(y)

— на фазовой плоскости при любых значениях вероятностей моноплетов это будет прямая u=0;w\in [0;1]

В остальных двух случаях

2) вложенные события, x\subseteq y:u={\mathbf  {P}}(x\cap y)={\mathbf  {P}}(x) и w={\mathbf  {P}}(x\Delta y)={\mathbf  {P}}(y)-{\mathbf  {P}}(x)={\mathbf  {P}}(y)-u

3) x и y независимы, т.е. u={\mathbf  {P}}(x\cap y)={\mathbf  {P}}(x)\cdot {\mathbf  {P}}(y) и w={\mathbf  {P}}(x\Delta y)={\mathbf  {P}}(x)+{\mathbf  {P}}(y)-2{\mathbf  {P}}(x)\cdot {\mathbf  {P}}(y)={\mathbf  {P}}(x)+{\mathbf  {P}}(y)-2u

— на фазовой плоскости при любых значениях вероятностей моноплетов точки будут заполнять треугольную область, приведенную на рисунке (для второго случая это прямые вида w=a-u; для третьего — w=b-2u; прямые с разным угловым коэффициентом).

Эллипс[править]

В предположении, что дуплеты событий \{x,y\} выбираются из множества событий, определяемого эллиптической моделью эвентологического креста Маршалла, соответствующие им точки фазовой плоскости [u,w] попадут внутрь эллипса «совпадение — различие» со смещенным центром и повернутого на некоторый угол. Параметры этого эллипса — смещение и угол, являются функциями этих эвентологических распределений дуплетов событий \{x,y\}.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: