Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Корень системы биномиальных уравнений

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск
Эвентология
Открытый Helgus~µастер~Kласс — H~µ~K
Это незавершённая статья из области эвентологии и её применений, редактируемая при участии Мастера

В теории гипергеометрических функций важно знать число корней системы биномиальных уравнений в комплексном торе ({\mathbb  {T}})^{{n}}=({\mathbb  {C}}\setminus 0)^{{n}}, а также кратность нуля такой системы в точке z=0. Основной факт данной заметки составляет следующая теорема.


Теорема 1 Число ненулевых решений системы уравнений

\left\{{\begin{matrix}z^{{\alpha ^{1}}}-z^{{\beta ^{1}}}=0,\\\ldots \\z^{{\alpha ^{{n}}}}-z^{{\beta ^{{n}}}}=0,\end{matrix}}\right.

где z^{{\alpha ^{{i}}}}=z_{1}^{{\alpha _{1}^{{i}}}}z_{2}^{{\alpha _{2}^{{i}}}}\cdot \ldots \cdot z_{{n}}^{{\alpha _{{n}}^{{i}}}}, z^{{\beta ^{{i}}}}=z_{1}^{{\beta _{1}^{{i}}}}z_{2}^{{\beta _{2}^{{i}}}}\cdot \ldots \cdot z_{{n}}^{{\beta _{{n}}^{{i}}}}, \alpha ^{{i}}\in {\mathbb  {Z}}^{{n}}, \beta ^{{i}}\in {\mathbb  {Z}}^{{n}}, i=\overline {1,n}, \alpha _{j}^{{i}}\geq 0, \beta _{j}^{{i}}\geq 0, i,j=\overline {1,n}, равно модулю определителя матрицы

\left({\begin{matrix}\alpha _{1}^{{1}}-\beta _{1}^{{1}}&\ldots &\alpha _{n}^{{1}}-\beta _{n}^{{1}}\\\dots &\dots &\dots \\\alpha _{1}^{{n}}-\beta _{1}^{{n}}&\ldots &\alpha _{n}^{{n}}-\beta _{n}^{{n}}\\\end{matrix}}\right).


Для доказательства нам потребуются некоторые определения.

Определение 1 Многогранником Ньютона полинома

f=\sum _{{\alpha \in A}}c_{{\alpha }}z^{{\alpha }}=\sum _{{\alpha \in A}}c_{{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}}z_{1}^{{\alpha _{1}}}\cdot \ldots \cdot z_{n}^{{\alpha _{n}}}

называется выпуклая оболочка \Delta _{f} множества A\subset {\mathbb  {Z}}^{n}\subset {\mathbb  {R}}^{n}.


Утверждение Если множества E_{1},\ldots ,E_{n} - выпуклые, то объем

Vol(\lambda _{{1}}E_{1}+\ldots +\lambda _{{n}}E_{n})=P(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})

является однородным полиномом от \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n} степени n.


Определение 2 Коэффициент V_{{k_{1}\ldots k_{n}}} в разложении

P(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})=\sum _{{k_{1}+\ldots k_{n}=n}}V_{{k_{1}\ldots k_{n}}}\lambda _{1}^{{k_{1}}}\cdot \ldots \cdot \lambda _{n}^{{k_{n}}}

называется смешанным объемом Минковского порядка k_{1},\ldots ,k_{n} семейства E_{1},\ldots ,E_{n}.


Также мы будем пользоваться известной теоремой Бернштейна.

Теорема (Бернштейн) Как правило, число корней в торе ({\mathbb  {T}})^{{n}}=({\mathbb  {C}}\setminus 0)^{{n}}

(т.е. корней с ненулевыми координатами) системы уравнений

\left\{{\begin{matrix}f_{1}(z)=0,\\\ldots \\f_{n}(z)=0\end{matrix}}\right.

равно смешанному объему Минковского V_{{1\ldots 1}} выпуклых многогранников \Delta _{{f_{1}}},\ldots ,\Delta _{{f_{n}}}.


Доказательство теоремы 1

Преобразуем исходную систему (1) к виду:

\left\{{\begin{matrix}z^{{\beta ^{1}}}(z^{{\alpha ^{1}-\beta ^{1}}}-1)=0,\\\ldots \\z^{{\beta ^{{n}}}}(z^{{\alpha ^{{n}}-\beta ^{{n}}}}-1)=0\end{matrix}}\right.

и поделим i-ое уравнение на z^{{\beta ^{{i}}}} (мы рассматриваем лишь ненулевые решения):

\left\{{\begin{matrix}z^{{\alpha ^{1}-\beta ^{1}}}-1=0,\\\ldots \\z^{{\alpha ^{{n}}-\beta ^{{n}}}}-1=0,\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}z_{1}^{{\alpha _{1}^{1}-\beta _{1}^{1}}}z_{2}^{{\alpha _{2}^{1}-\beta _{2}^{1}}}\cdot \ldots \cdot z_{{n}}^{{\alpha _{{n}}^{1}-\beta _{{n}}^{1}}}-z_{1}^{0}z_{2}^{0}\cdot \ldots \cdot z_{n}^{0}=0,\\\ldots \\z_{1}^{{\alpha _{1}^{{n}}-\beta _{1}^{{n}}}}z_{2}^{{\alpha _{2}^{{n}}-\beta _{2}^{{n}}}}\cdot \ldots \cdot z_{{n}}^{{\alpha _{{n}}^{{n}}-\beta _{{n}}^{{n}}}}-z_{1}^{0}z_{2}^{0}\cdot \ldots \cdot z_{n}^{0}=0.\end{matrix}}\right.(2)

Поставим в соответствие i-му уравнению системы (2) многогранник Ньютона - отрезок

\Delta _{{f_{i}}}=[\alpha ^{{i}}-\beta ^{{i}},0]=[(\alpha _{1}^{{i}}-\beta _{1}^{{i}},\ldots ,\alpha _{n}^{{i}}-\beta _{n}^{{i}}),(0,\ldots ,0)],

i=\overline {1,n} и рассмотрим множество

\Pi =\sum _{{i=0}}^{{n}}\lambda _{{i}}\Delta _{{f_{{i}}}}=\lambda _{{1}}\Delta _{{f_{{1}}}}+\ldots +\lambda _{{n}}\Delta _{{f_{{n}}}},

где \lambda _{{i}}\geq 0, i=\overline {1,n}. Это множество - n-мерный параллелепипед, построенный на векторах \overrightarrow {OM_{{i}}}=(\lambda _{{i}}(\alpha _{1}^{{i}}-\beta _{1}^{{i}}),\ldots ,\lambda _{{i}}(\alpha _{n}^{{i}}-\beta _{n}^{{i}})),\quad i=\overline {1,n}, где O(0,\ldots ,0).

По определению его объем равен:

Vol(\Pi )=\int \limits _{\Pi }dx_{1}\ldots dx_{n}.

Сделаем замену:

\left\{{\begin{matrix}x_{1}=y_{{1}}v_{{11}}+\ldots +y_{{n}}v_{{n1}},\\\ldots \\x_{n}=y_{{1}}v_{{1n}}+\ldots +y_{{n}}v_{{nn}},\end{matrix}}\right.

где v_{{ij}}=\alpha _{j}^{i}-\beta _{j}^{i}, i,j=\overline {1,n}, y\in M=\{y=(y_{1},\dots ,y_{n})\in {\mathbb  {R}}^{n}:0\leq y_{i}\leq \lambda _{i},i=\overline {1,n}\}.

Тогда

Vol(\Pi )=\int \limits _{{M}}\left|{\frac  {\partial (x)}{\partial (y)}}\right|dy_{1}\ldots dy_{n}=\int \limits _{{M}}\left|det(v_{1},\ldots ,v_{n})\right|dy_{1}\ldots dy_{n}=\left|det(v_{1},\ldots ,v_{n})\right|\cdot \int \limits _{{M}}dy_{1}\ldots dy_{n}=\left|det(v_{1},\ldots ,v_{n})\right|\cdot \lambda _{1}\cdot \ldots \cdot \lambda _{n} =\lambda _{1}\cdot \ldots \cdot \lambda _{n}\cdot \left|det\left({\begin{matrix}\alpha _{1}^{{1}}-\beta _{1}^{{1}}&\ldots &\alpha _{n}^{{1}}-\beta _{n}^{{1}}\\\dots &\dots &\dots \\\alpha _{1}^{{n}}-\beta _{1}^{{n}}&\ldots &\alpha _{n}^{{n}}-\beta _{n}^{{n}}\\\end{matrix}}\right)\right|(3)

Согласно теореме Бернштейна, число решений системы (2) в ({\mathbb  {C}}\setminus 0)^{{n}} равно смешанному объему Минковского V_{{1\ldots 1}} многогранников Ньютона \Delta _{{f_{1}}},\ldots ,\Delta _{{f_{n}}} полиномов f_{1}=z^{{\alpha ^{1}-\beta ^{1}}}-1, \ldots , f_{n}=z^{{\alpha ^{{n}}-\beta ^{{n}}}}-1, т.е. коэффиценту в выражении (3) при \lambda _{1}\cdot \ldots \cdot \lambda _{n}.

Таким образом, число решений с ненулевыми координатами исходной системы равно модулю определителя матрицы

\left({\begin{matrix}\alpha _{1}^{{1}}-\beta _{1}^{{1}}&\ldots &\alpha _{n}^{{1}}-\beta _{n}^{{1}}\\\dots &\dots &\dots \\\alpha _{1}^{{n}}-\beta _{1}^{{n}}&\ldots &\alpha _{n}^{{n}}-\beta _{n}^{{n}}\\\end{matrix}}\right),
что и требовалось доказать.
Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: