Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

О целочисленных многогранниках с минимальным числом целых точек

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск
Эвентология
Открытый Helgus~µастер~Kласс — H~µ~K
Это незавершённая статья из области эвентологии и её применений, редактируемая при участии Мастера

Сравнительно недавно в статье Форсберга, Пассаре и Циха было обнаружено, что целочисленные многогранники несут в себе много информации об алгебраических множествах. Расположение алгебраических поверхностей можно исчерпывающе описать, если многогранник Ньютона не содержит целых точек, отличных от своих вершин. Поэтому хотелось бы знать, какие многогранники обладают этим свойством.

Определение. Точку будем называть целой, если все ее координаты целые.

Определение. Выпуклый многогранник будем называть элементарным, если все его вершины целые и он не содержит ни одной целой точки, кроме своих вершин.

Рассмотрим случайный отрезок AB в R^{2}, такой что точки A и B - целые и других целых точек он не содержит. Возьмем прямую α, содержащую AB. Двигаем ее в направлении, перпендикулярном AB (в обе стороны), пока не наткнемся на любую целую точку. Полученные прямые обозначим β и γ.


Лемма 1. Третья вершина элементарного треугольника со стороной АВ может лежать только на одной из прямых β и γ.

Доказательство. Возьмем целую точку C∊β. По теореме Фробениуса вектора AB и AC задают базис на Z^{2}. Далее будем работать в этом базисе. Требуется доказать, что если точка E имеет вторую координату более 1 (или менее -1), то треугольник ABE не будет элементарным. Пусть точка E имеет координаты (m,n) |n|>1. Рассмотрим точки пересечения AE и EC с прямой y=1 K и L. Точка K имеет координаты ({\frac  {m}{n}},1). Заметим, что расстояние от нее, до точки D([{\frac  {m}{n}}],1) 1/(|n|)DK≤1 (либо равно 0, но в таком случае треугольник ABE содержит целую точку К и доказательство завершено). При этом KL=(n-1)/n. Но в таком случае DL=DK+KL\geq 1 и следовательно ∃ H(h,1) ∊ KL : h∊Z. То есть точка Н - целая. Что и требовалось доказать.


Лемма 2. Любой элементарный четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство. Для доказательства достаточно доказать, что элементарный треугольник можно достроить до элементарного четырехугольника только одним способом, и что в этом случае мы получим параллелограмм. Рассмотрим треугольник ABE в системе координат заданной в лемме 1. Согласно лемме 1 точка E может быть выбрана только на одной из прямых β или γ. Пусть для определенности E(m,1)∊β, m>0. Тогда очевидно, что четвертая точка должна быть выбрана на прямой γ. Обозначим эту точку F(f,-1). Причем -f<m, -f+1>m-1 (иначе полученный четырехугольник не будет выпуклым). Т.е. m-2<f<m. Но таким условиям удовлетворяет только одно целое число f=-m+1. Осталось заметить, что полученный четырехугольник является параллелограммом. Лемма доказана.


Утверждение. Невозможно построить элементарный пятиугольник.

Доказательство. Докажем, что к элементарному четырехугольнику нельзя добавить вершину так, чтобы полученный пятиугольник тоже был элементарным. Рассмотрим элементарный четырехугольник ABCD. По лемме 2 он является параллелограммом. Тогда для того, чтобы полученный пятиугольник был выпуклым, пятая вершина должна лежать внутри одной из полос α, β, γ, δ. Каждую из этих полос можно разбить на параллелограммы, равные ABCD. Но они - элементарные, а значит не содержат целых точек. То есть внутри этих полос нет ни одной целой точки. Следовательно подходящую точку выбрать невозможно, а значит, элементарный пятиугольник построить не возможно. Что и требовалась доказать.



Теорема.[править]

Теорема. В пространстве R^{n} можно построить элементарный многогранник с 2^{n} вершинами, причем такой многогранник обязательно будет параллелепипедом, и нельзя построить элементарный многогранник с большим количеством вершин.

Доказательство. Докажем по индукции.
База индукции. Для n=2 доказано.
Предположение индукции. Пусть утверждение справедливо для R^{{n-1}}.
Шаг индукции. Рассмотрим гиперплоскость α в R^{n}. Ее размерность n-1, а значит для нее справедливо предположение индукции. Построим в ней элементарный n-1-мерный параллелепипед. Обозначим его 𝕬. Для доказательства утверждения достаточно показать, что мы можем добавить к 𝕬 2^{{n-1}} вершин так, чтобы полученный многогранник был параллелепипедом, причем элементарным, но не можем добавить больше вершин с тем же условием.
Ортогональным дополнением к данной гиперплоскости будет прямая. Двигаем α вдоль этой прямой (в обе строны) пока не наткнемся на целые точки. Обозначим полученные гиперплоскости β и γ. Чтобы получить элементарный n-мерный многогранник, вершины, которые мы добавляем к 𝕬 должны принадлежать β или γ.
Рассмотрим точку A∊𝕬. Из нее выходит n-1 ребро 𝕬 AA_{{i}} (i=1,2,…,n-1), причем эти ребра задают базис α. Выберем целую точку B∊β (для γ доказательство аналогично) и соединим ее с A. Вектором AB можно дополнить систему векторов AA_{i} до базиса всего пространства. Далее будем работать в этом базисе. Рассмотрим точку C, с последней координатой (по AB) больше 1. Соединим каждую вершину 𝕬 с C. В пересечение с β мы получим n-1-мерный параллелепипед A^{'}. Точка A перейдет в A^{'}, A_{i} в A_{{i}}^{'}. Причем A^{'}=A^{'}A_{{1}}^{'}×A^{'}A_{{2}}^{'}×… ×A^{'}A_{{n-1}}^{'}. Но согласно лемме 1 все A^{'}A_{{i}}^{'} содержат точку, с целой i-той координатой, n-тая координата равна 1 по построению, а значит данное произведение содержит хотя бы одну целую точку.
Вектор АВ будет целочисленным. Сдвинем 𝕬 на AB. Получим элементарный многогранник 𝕭∊β. Так как между α и β целых точек нет, то соединив соответствующие точки 𝕬 и 𝕭 мы получим элементарный многогранник с 2^{n} вершинами, который будет параллелепипедом.
Осталось доказать, что нельзя добавить к 𝕬 больше, чем 2^{n} вершин.
Чтобы многогранник был n-мерным каждая вершина должна принадлежать n ребрам. Каждая из вершин 𝕬 уже принадлежит n-1 ребру. То есть из каждой из них надо провести по одному ребру. Достаточно увидеть, что все добавленные точки должны соединяться ребром хотя бы с одной вершиной 𝕬.
В самом деле, предположим, что существует точка, не соединяющаяся ребром ни с одной из вершин 𝕬. Пусть для определенности она принадлежит β. Но в β она может соединяться ребрами только с n-1 вершиной, а значит она должна соединяться ребром хотя бы с одной точкой из γ. Но тогда полученный многогранник не будет выпуклым. Противоречие.
Таким образом в пространстве R^{n} можно построить элементарный n-мерный параллелепипед и нельзя построить элементарный многогранник с большим, чем 2^{n} количеством вершин.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: