Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Оператор производной по собственному времени

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Оператор производной по собственному времени является дифференциальным оператором и релятивистским обобщением производной Лагранжа (субстанциональной производной) на четырёхмерное пространство-время. В координатной записи данный оператор записывается следующим образом: [1]

~{\frac  {D}{D\tau }}=u^{\mu }\nabla _{\mu },

где ~D – символ дифференциала в искривлённом пространстве-времени, ~\tau собственное время, измеряемое часами, движущимися с телом, ~u^{\mu }4-скорость тела или элемента объёма вещества, ~\nabla _{\mu }ковариантная производная.

В плоском пространстве-времени Минковского оператор производной по собственному времени упрощается, так как ковариантная производная переходит в 4-градиент (оператор дифференцирования с частными производными по координатам):

~{\frac  {d}{d\tau }}=u^{\mu }\partial _{\mu }.

Для доказательства данного выражения его можно применить к произвольному 4-вектору ~A^{\nu }:

~u^{\mu }\partial _{\mu }A^{\nu }={\frac  {c{}dt}{d\tau }}{\frac  {\partial A^{\nu }}{c{}\partial t}}+{\frac  {dx}{d\tau }}{\frac  {\partial A^{\nu }}{\partial x}}+{\frac  {dy}{d\tau }}{\frac  {\partial A^{\nu }}{\partial y}}+{\frac  {dz}{d\tau }}{\frac  {\partial A^{\nu }}{\partial z}}=
~={\frac  {dt}{d\tau }}\left({\frac  {\partial A^{\nu }}{\partial t}}+{\frac  {dx}{dt}}{\frac  {\partial A^{\nu }}{\partial x}}+{\frac  {dy}{dt}}{\frac  {\partial A^{\nu }}{\partial y}}+{\frac  {dz}{dt}}{\frac  {\partial A^{\nu }}{\partial z}}\right)={\frac  {dt}{d\tau }}{\frac  {dA^{\nu }}{dt}}={\frac  {dA^{\nu }}{d\tau }}.

Выше была использована производная Лагранжа в виде операторного равенства для произвольной функции ~F:

~{\frac  {dF}{dt}}={\frac  {\partial F}{\partial t}}+{\mathbf  {V}}\cdot \nabla F,

где ~{\mathbf  {V}} есть скорость движения элемента объёма вещества, ~\nabla оператор набла.

В свою очередь, производная Лагранжа вытекает из представления дифференциала функции ~F от координат и времени:

~dF(t,x,y,z)={\frac  {\partial F}{\partial t}}dt+{\frac  {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac  {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac  {\partial F}{\partial z}}dz.

Применение[править]

Оператор производной по собственному времени применяется к различным четырёхмерным величинам – к скалярным функциям, 4-векторам и 4-тензорам. Одним из исключений является 4-радиус, в четырёхмерных декартовых координатах имеющий вид ~x^{\mu }=(ct,x,y,z)=(ct,{\mathbf  {r}}), поскольку 4-вектором в искривлённом пространстве-времени является не 4-радиус, а его дифференциал (4-вектор сдвига) ~dx^{\mu }=(c{}dt,dx,dy,dz)=(cdt,d{\mathbf  {r}}). Действие левой части оператора на 4-радиус определяет 4-скорость: ~{\frac  {Dx^{\mu }}{D\tau }}=u^{\mu }, но правая часть оператора 4-скорость не даёт: ~u^{\nu }\nabla _{\nu }x^{\mu }\not =u^{\mu }.

В ковариантной теории гравитации оператор производной по собственному времени используется для определения плотности 4-силы в искривлённом пространстве-времени: [2]

~f^{\nu }={\frac  {DJ^{\nu }}{D\tau }}=u^{\mu }\nabla _{\mu }J^{\nu }={\frac  {dJ^{\nu }}{d\tau }}+\Gamma _{{\mu \lambda }}^{\nu }u^{\mu }J^{\lambda },

где ~J^{\nu }=\rho _{0}u^{\nu } есть 4-вектор плотности импульса вещества, ~\rho _{0} – плотность вещества в системе его покоя, ~\Gamma _{{\mu \lambda }}^{\nu }символ Кристоффеля.

В общей теории относительности свободно падающее в гравитационном поле тело движется по геодезической линии, причём 4-ускорение тела в этом случае считается равным нулю:[3]

~a^{\nu }={\frac  {Du^{\nu }}{D\tau }}=u^{\mu }\nabla _{\mu }u^{\nu }={\frac  {du^{\nu }}{d\tau }}+\Gamma _{{\mu \lambda }}^{\nu }u^{\mu }u^{\lambda }=0.

Так как интервал ~ds=cd\tau , то уравнение движения тела по геодезической в общей теории относительности можно переписать в эквивалентной форме:

~{\frac  {d}{ds}}\left({\frac  {dx^{\nu }}{ds}}\right)+\Gamma _{{\mu \lambda }}^{\nu }{\frac  {dx^{\mu }}{ds}}{\frac  {dx^{\lambda }}{ds}}=0.

Если вместо собственного времени использовать некоторый параметр ~p, а уравнение кривой задать выражением ~x^{\mu }(p), то может быть определён оператор производной по параметру вдоль кривой: [4]

~{\frac  {D}{Dp}}={\frac  {dx^{\mu }}{dp}}\nabla _{\mu }.

См. также[править]

Ссылки[править]

  1. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  2. Fedosin S.G. The General Theory of Relativity, Metric Theory of Relativity and Covariant Theory of Gravitation: Axiomatization and Critical Analysis. International Journal of Theoretical and Applied Physics (IJTAP), ISSN: 2250-0634, Vol. 4, No. I (2014), pp. 9 – 26. статья на русском языке: Общая теория относительности, метрическая теория относительности и ковариантная теория гравитации. Аксиоматизация и критический анализ.
  3. Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. –568 с.
  4. Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry, Addison Wesley, ISBN 0-8053-8732-3.

Внешние ссылки[править]

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: