Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Матрицы вращения

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

1. В правой прямоугольной системе координат радиус-вектор {\vec  {r}} с декартовыми координатами (x, y, z) приобретает координаты (x', y', z') после поворота этого вектора на положительный угол \alpha вокруг оси OX.

При повороте вектора {\vec  {r}} на положительный угол \alpha вокруг оси OX, проекция вектора {\vec  {r}} в плоскости YOZ поворачивается против часовой стрелки на угол \alpha .

Координаты (x', y', z') вектора {\vec  {r}} после поворота на угол \alpha вокруг оси OX связаны с координатами (x, y, z) этого вектора [до поворота на угол \alpha вокруг оси OX] следующими высказываниями:

(1.1.1)\ \ \ \ \ \left[{\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\0&\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z\\0\cdot x+\cos(\alpha )\cdot y+-\sin(\alpha )\cdot z\\0\cdot x+\sin(\alpha )\cdot y+\cos(\alpha )\cdot z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}x\\\cos(\alpha )\cdot y-\sin(\alpha )\cdot z\\\sin(\alpha )\cdot y+\cos(\alpha )\cdot z\end{matrix}}\right]
(1.1.2)\ \ \ \ \ \ x'=x\ \land \ y'=\cos(\alpha )\cdot y-\sin(\alpha )\cdot z\ \land \ z'=\sin(\alpha )\cdot y+\cos(\alpha )\cdot z
(1.1.3)\ \ \ \ \ \left[x'\ \ y'\ \ z'\right]=\left[x\ \ y\ \ z\right]\ \cdot \left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos(\alpha )&\sin(\alpha )\\0&-\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{matrix}}\right]
(1.1.4)\ \ \ \ \ \ x'\cdot {\mathrm  {i}}+y'\cdot {\mathrm  {j}}+z'\cdot {\mathrm  {k}}=(\cos({\frac  {\alpha }{2}})+\sin({\frac  {\alpha }{2}})\cdot {\mathrm  {i}})\ \cdot \ (x\cdot {\mathrm  {i}}+y\cdot {\mathrm  {j}}+z\cdot {\mathrm  {k}})\ \cdot \ (\cos({\frac  {\alpha }{2}})-\sin({\frac  {\alpha }{2}})\cdot {\mathrm  {i}})

Координаты (x, y, z) вектора {\vec  {r}} до поворота на угол \alpha вокруг оси OX связаны с координатами (x', y', z') этого вектора [после поворота на угол \alpha вокруг оси OX] следующими высказываниями:

(1.2.1)\ \ \ \ \ \left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos(-\alpha )&-\sin(-\alpha )\\0&\sin(-\alpha )&\cos(-\alpha )\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos(\alpha )&\sin(\alpha )\\0&-\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}x'\\\cos(\alpha )\cdot y'+\sin(\alpha )\cdot z'\\-\sin(\alpha )\cdot y'+\cos(\alpha )\cdot z'\end{matrix}}\right]
(1.2.2)\ \ \ \ \ \ x=x'\ \land \ y=\cos(\alpha )\cdot y'+\sin(\alpha )\cdot z'\ \land \ z=-\sin(\alpha )\cdot y'+\cos(\alpha )\cdot z'
(1.2.3)\ \ \ \ \ \left[x\ \ y\ \ z\right]=\left[x'\ \ y'\ \ z'\right]\ \cdot \left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\0&\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{matrix}}\right]


2. В правой прямоугольной системе координат радиус-вектор {\vec  {r}} с декартовыми координатами (x, y, z) приобретает координаты (x', y', z') после поворота этого вектора на отрицательный угол −\beta вокруг оси OY.

При повороте вектора {\vec  {r}} на отрицательный угол −\beta вокруг оси OY, проекция вектора {\vec  {r}} в плоскости XOZ поворачивается по часовой стрелке на угол \beta .

Координаты (x', y', z') вектора {\vec  {r}} после поворота на угол −\beta вокруг оси OY связаны с координатами (x, y, z) этого вектора [до поворота на угол −\beta вокруг оси OY] следующими высказываниями:

(2.1.1)\ \ \ \ \ \left[{\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(-\beta )&0&-\sin(-\beta )\\0&1&0\\\sin(-\beta )&0&\cos(-\beta )\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\beta )&0&\sin(\beta )\\0&1&0\\-\sin(\beta )&0&\cos(\beta )\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\beta )\cdot x+sin(\beta )\cdot z\\y\\-\sin(\beta )\cdot x+\cos(\beta )\cdot z\end{matrix}}\right]
(2.1.2)\ \ \ \ \ \ x'=\cos(\beta )\cdot x+\sin(\beta )\cdot z\ \land \ y'=y\ \land \ z'=-\sin(\beta )\cdot x+\cos(\beta )\cdot z
(2.1.3)\ \ \ \ \ \left[x'\ \ y'\ \ z'\right]=\left[x\ \ y\ \ z\right]\ \cdot \left[{\begin{matrix}\cos(\beta )&0&-\sin(\beta )\\0&1&0\\\sin(\beta )&0&\cos(\beta )\end{matrix}}\right]
(2.1.4)\ \ \ \ \ \ x'\cdot {\mathrm  {i}}+y'\cdot {\mathrm  {j}}+z'\cdot {\mathrm  {k}}=(\cos({\frac  {\beta }{2}})+\sin({\frac  {\beta }{2}})\cdot {\mathrm  {j}})\ \cdot \ (x\cdot {\mathrm  {i}}+y\cdot {\mathrm  {j}}+z\cdot {\mathrm  {k}})\ \cdot \ (\cos({\frac  {\beta }{2}})-\sin({\frac  {\beta }{2}})\cdot {\mathrm  {j}})

Координаты (x, y, z) вектора {\vec  {r}} до поворота на угол −\beta вокруг оси OY связаны с координатами (x, y, z) этого вектора [после поворота на угол −\beta вокруг оси OY] следующими высказываниями:

(2.2.1)\ \ \ \ \ \left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(-\beta )&0&\sin(-\beta )\\0&1&0\\-\sin(-\beta )&0&\cos(-\beta )\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\beta )&0&-\sin(\beta )\\0&1&0\\\sin(\beta )&0&\cos(\beta )\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\beta )\cdot x'-sin(\beta )\cdot z'\\y'\\\sin(\beta )\cdot x'+\cos(\beta )\cdot z'\end{matrix}}\right]
(2.2.2)\ \ \ \ \ \ x=\cos(\beta )\cdot x'-\sin(\beta )\cdot z'\ \land \ y=y'\ \land \ z=\sin(\beta )\cdot x'+\cos(\beta )\cdot z'
(2.2.3)\ \ \ \ \ \left[x\ \ y\ \ z\right]=\left[x'\ \ y'\ \ z'\right]\ \cdot \left[{\begin{matrix}\cos(\beta )&0&\sin(\beta )\\0&1&0\\-\sin(\beta )&0&\cos(\beta )\end{matrix}}\right]


3. В правой прямоугольной системе координат радиус-вектор {\vec  {r}} с координатами (x, y, z) приобретает координаты (x', y', z') после поворота этого вектора на положительный угол \gamma вокруг оси OZ.

При повороте вектора {\vec  {r}} на положительный угол \gamma вокруг оси OZ, проекция вектора {\vec  {r}} в плоскости XOY поворачивается вокруг точки O против часовой стрелки на угол \gamma .

Координаты (x', y', z') вектора {\vec  {r}} после поворота на угол \gamma вокруг оси OZ связаны с координатами (x, y, z) этого вектора [до поворота на угол \gamma вокруг оси OZ] следующими высказываниями:

(3.1.1)\ \ \ \ \ \left[{\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\gamma )&-\sin(\gamma )&0\\\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\gamma )\cdot x-\sin(\gamma )\cdot y\\\sin(\gamma )\cdot x+\cos(\gamma )\cdot y\\z\end{matrix}}\right]
(3.1.2)\ \ \ \ \ \ x'=\cos(\gamma )\cdot x-\sin(\gamma )\cdot y\ \land \ y'=\sin(\gamma )\cdot x+\cos(\gamma )\cdot y\ \land \ z'=z
(3.1.3)\ \ \ \ \ \left[x'\ \ y'\ \ z'\right]=\left[x\ \ y\ \ z\right]\ \cdot \left[{\begin{matrix}\cos(\gamma )&\sin(\gamma )&0\\-\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]
(3.1.4)\ \ \ \ \ \ x'\cdot {\mathrm  {i}}+y'\cdot {\mathrm  {j}}+z'\cdot {\mathrm  {k}}=(\cos({\frac  {\gamma }{2}})+\sin({\frac  {\gamma }{2}})\cdot {\mathrm  {k}})\ \cdot \ (x\cdot {\mathrm  {i}}+y\cdot {\mathrm  {j}}+z\cdot {\mathrm  {k}})\ \cdot \ (\cos({\frac  {\gamma }{2}})-\sin({\frac  {\gamma }{2}})\cdot {\mathrm  {k}})

Координаты (x, y, z) вектора {\vec  {r}} до поворота на угол \gamma вокруг оси OZ связаны с координатами (x', y', z') этого вектора [после поворота на угол \gamma вокруг оси OZ] следующими высказываниями:

(3.2.1)\ \ \ \ \ \left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(-\gamma )&-\sin(-\gamma )&0\\\sin(-\gamma )&\cos(-\gamma )&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\gamma )&\sin(\gamma )&0\\-\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\gamma )\cdot x'+\sin(\gamma )\cdot y'\\-\sin(\gamma )\cdot x'+\cos(\gamma )\cdot y'\\z\end{matrix}}\right]
(3.2.2)\ \ \ \ \ \ x=\cos(\gamma )\cdot x'+\sin(\gamma )\cdot y'\ \land \ y=-\sin(\gamma )\cdot x'+\cos(\gamma )\cdot y'\ \land \ z=z'
(3.2.3)\ \ \ \ \ \left[x\ \ y\ \ z\right]=\left[x'\ \ y'\ \ z'\right]\ \cdot \left[{\begin{matrix}\cos(\gamma )&-\sin(\gamma )&0\\\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]
Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: