Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Математика

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Матема́тика (от лат. μάθημα, означающего «науку, знание, изучение», и греч. μαθηματικός, означающего «любовь к познанию») — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, — о математических множествах и величинах; например, элементарная математика — наука о величинах числовых (арифметика) и пространственных (геометрия); теория множеств изучает множества как таковые; прикладная математика имеет дело с определимыми, измеримыми и исчислимыми явлениями, т. е. с именованными числами или множествами; чистая математика в состоянии вывести, просто «вычислить», свои результаты с помощью некоторых простых понятий и предположений, «аксиом», посредством чисто логических заключений, с правильностью которых должно согласиться каждое здравомыслящее существо («математическая» достоверность, строгая аргументация).

Математические построения относятся к сфере идеального бытия и априорного понимания; они становятся лишь носителями апостериорного познания, поскольку могут быть «применены» к эмпирическим взглядам (Кант). На развитие философии математики, т. е. вопроса о ее собственной сущности и ее действительно высших положениях (Аксиома) и вопроса о ее значении для теории познания и логики, в новейшее время влияли и влияют Фреге, Рассел, Гильберт, Брауэр, или т. н. (математическое) «исследование основ» (Логистика). Оно обнаруживает «кризис принципов», углублению которого препятствуют математический формализм (Гильберт) и математический интуитивизм (Брауэр); это исследование пространно объясняет кризис, но не устраняет его полностью. Оно способствует также важному пониманию того, что в математике существуют неразрешимые вопросы (теорема Гёделя). С др. стороны, для обширной области математики может быть приведено окончательное доказательство ее непротиворечивости (Гильберт, Генцен).

История математики по Колмогорову[править]

Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал; Период элементарной математики, начинающийся в VI—V вв. до н. э. и завершающийся в конце XVI в. («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII в., составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»); Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII вв., «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»; Период современной математики — математики XIX—XX вв., в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм». Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, годы. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверное, древние люди сначала выражали количество путем рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему веревочных узлов, так называемые кипу.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Цели и методы[править]

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. Однако все исследуемые математикой объекты имеют прообразы в реальном мире, более или менее похожие на свои математические модели. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — цель, к которой стремится математика.

Изучение объектов в математике происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируется список аксиом и вводятся необходимые определения, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают ценные теоремы.

Математика и образование[править]

В школе изучается элементарная математика — арифметика, функции, алгебра; в ВУЗе — высшая математика: дифференциальное, интегральное исчисления, топология, теория операторов и всё остальное, не включаемое в элементарную математику. Высшая математика, как правило, основана на высшем уровне абстракции, чем элементарная, и менее просто выводится из свойств окружающего мира.

Математикум в Гисене.

Натуральные числа[править]

— числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при :

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России). обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета… ) общепринято в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество натуральных чисел принято обозначать знаком .

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.

Аксиомы Пеано[править]

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано. Аксиомы Пеано основывались на построениях Грассмана , хотя именно Пеано придал им современный вид. Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства равенств вида 2 * 2 = 4, основных свойств натуральных и целых чисел, построение дробей и вещественных чисел.

Аксиомы Пеано: Введём функцию S, которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

(1 является натуральным числом) Если , то (Число, следующее за натуральным, также является натуральным) (1 не следует ни за каким натуральным числом) Если и , тогда (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b = c) Аксиома индукции. Пусть — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа . Тогда: если и , то (Если некоторое высказывание P верно для n = 1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n), верно и P(n+1) (индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n)

Теоретико-множественное определение[править]

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество. Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

Операции над натуральными числами[править]

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Сложение. Cлагаемое + Слагаемое = Сумма Умножение. Множитель * Множитель = Произведение Вычитание. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом) Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Если делимое = a, делитель = b, частное = p, остаток = q, то a = p*b + q. Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства[править]

Коммутативность сложения. Коммутативность умножения. Ассоциативность сложения. Ассоциативность умножения. Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Не знаю, как было у вас, а у меня в школе с математикой как-то не клеилось. Не то, чтобы мы не дружили, а старательно избегали друг друга. Довольно долго сохранялся священный трепет, перед неведомым и недоступным. Пока…Пока сын не пошел в школу. И тут оказалось, что я разбираюсь в математике, по крайней мере, на уровне средней школы. Это было так необычно и удивительно, что я решала за сына его примеры и задачи и хихикала от счастья. Слава Богу, вовремя остановилась.

А потом я столкнулась с другой математикой, не менее интересной и интригующей. Оказалось, что цифры - это своеобразный язык, на котором общаются все. И не только на Земле. И понимают его тоже все. О том, что у каждой цифры есть сакральный смысл, я писать не буду. Тема не для статьи. А про соотношение цифр и законов природы написать очень хочется.

Если у вас есть хоть капля эстетического чутья, впрочем, можно в этом не сомневаться, то вы наверняка замечали негармоничность, искусственность человеческих творений, окружающих нас. Только истинные таланты радуют нас своими удивительными творениями. А в природе даже потертая ветрами ветка или сорняк-замухрышка, всегда гармоничны и естественны.

В чем же дело?

Человеческие порождения часто плоды логических построений. А для гармонии нужны союз творчества и души. Но в обоих случаях правит бал математика. Точнее, язык цифр. Как сложится, так и положится. Можно вспомнить аналогичную ситуацию с буквами. Буквы одни, а слова….

Собираясь что-нибудь натворить, мы обзаводимся линейкой или сантиметром, или еще каким-либо хитрым измерительным прибором. Рассчитываем размеры, чтобы все сложилось и притерлось. Ну, в общих чертах, все. А у природы другая математика.

Немного заглянем в историю. Итальянский математик Леонардо Фибоначчи, который жил за 250 лет до своего тезки, да Винчи, любил гулять по лесу и размышлять. Как веточки растут, листики расположены и считал, считал. Родил в результате числовой ряд, каждое последующее число которого являлось суммой двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8,…

Эта закономерность проявляется во всем и везде, где приложила свою руку природа.

Понаблюдав, как прорастает из земли тысячелистник, ученый с удовлетворением обнаружил, что сначала появляется один листок, потом два, три, пять. Вот так Фибоначчи открыл один из законов мироздания. Опираясь на этот числовой ряд, можно поделить рядом стоящие числа друг на друга. При делении большего числа на меньшее результат будет стремиться к 1,618. Если наоборот, то будет стремиться к 0,618.

Не побоюсь сказать, что это один из универсальных кодов вселенной, который воспринимается человеческим сознанием во всей информационной и эмоциональной полноте. Если в творении присутствует число ФИ, по-другому, число ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ, то оно, это творение радует глаз и душу.

Наиболее интересно пропорция ФИ проявляется в спиральных структурах: в раковине улитки, цветке подсолнуха, сосновой шишке и даже в Галактике. Саморазвитие жизни происходит по спирали, которая стала символом эволюции.

Как оказалось, дотошные аналитики выяснили, что события, которые повлияют на нашу жизнь, появляются только тогда, когда совпадут время и амплитуда, уготованная им рядом Фибоначчи. Значит, открывая его проявления во Вселенной и в себе, мы сможем совершать удивительные открытия.

Дифференциальные уравнения[править]

[Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами]

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: