Полезное знание под угрозой удаления из Википедии или другого сайта?
Сохраните его на Викизнании или Вавилон-wiki!

Максвеллоподобные гравитационные уравнения

→ 
Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

В приближении слабого гравитационного поля, максвеллоподобные гравитационные уравнения составляют систему из четырех уравнений в частных производных, которые описывают свойства двух компонент гравитационного поля, и связывают их с источниками поля – плотностью массы и плотностью массового тока. Эти уравнения имеют ту же самую форму, что и в гравитоэлектромагнетизме и в лоренц-инвариантной теории гравитации. Следствием этого является подобие свойств гравитационных и электромагнитных волн, а также близость значений скорости гравитации и скорости света.

История[править]

Согласно Макдональду, [1] первым, кто использовал уравнения Максвелла при описании гравитации, был Оливер Хевисайд.[2] [3] Дело в том, что в слабом гравитационном поле стандартная теория гравитации может быть сведена к простым уравнениям типа Максвелла с двумя гравитационными константами. [4] [5] В 80-е годы эти уравнения были использованы в монографии Валда по общей теории относительности.[6] В 90-е годы этот подход использовал Саббата ,[7] [8] Лано, [9] Федосин. [10] [11] [12] [13] Пути по экспериментальному определению свойств гравитационных волн разрабатывает также Раймонд Чиао, используя холловские жидкости электронов при низких температурах. [14] [15] [16] [17] [18]

Уравнения поля[править]

Уравнения поля в лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ), и в слабом гравитационном поле согласно уравнениям Эйнштейна в общей теории относительности (ОТО) имеют форму:

~\nabla \cdot {\mathbf  {\Gamma }}=-4\pi G\rho ,
~\nabla \times {\mathbf  {\Gamma }}=-{\frac  {\partial {\mathbf  {\Omega }}}{\partial t}},
~\nabla \cdot {\mathbf  {\Omega }}=0,
~\nabla \times {\mathbf  {\Omega }}={\frac  {1}{c_{{g}}^{2}}}\left(-4\pi G{\mathbf  {J}}+{\frac  {\partial {\mathbf  {\Gamma }}}{\partial t}}\right)={\frac  {1}{c_{{g}}^{2}}}\left(-4\pi G\rho {\mathbf  {v}}_{{\rho }}+{\frac  {\partial {\mathbf  {\Gamma }}}{\partial t}}\right),

где:

Из данных уравнений можно прийти к волновым уравнениям: [11]

~\nabla ^{2}{\mathbf  {\Gamma }}-{\frac  {1}{c_{{g}}^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}{\mathbf  {\Gamma }}}{\partial t^{2}}}=-4\pi G\nabla \rho -{\frac  {4\pi G}{c_{{g}}^{2}}}{\frac  {\partial {\mathbf  {J}}}{\partial t}},
~\nabla ^{2}{\mathbf  {\Omega }}-{\frac  {1}{c_{{g}}^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}{\mathbf  {\Omega }}}{\partial t^{2}}}={\frac  {4\pi G}{c_{{g}}^{2}}}\nabla \times {\mathbf  {J}}.

Как и в гравитоэлектромагнетизме, уравнения гравитационного поля подобны уравнениям Максвелла в электродинамике.

Гравитационные константы[править]

Исходя из аналогии уравнений гравитации и электромагнетизма, можно ввести следующие величины: ~\varepsilon _{g}={\frac  {1}{4\pi G}}=1,192708\cdot 10^{9} кг∙ с2 ∙м–3 – гравитоэлектрическая константа (подобно электрической постоянной);

~\mu _{g}={\frac  {4\pi G}{c_{{g}}^{2}}} – гравитомагнитная константа (подобно магнитной постоянной). Если скорость гравитации равна скорости света, ~c_{{g}}=c, то [19] ~\mu _{g}=9,328772\cdot 10^{{-27}} м / кг, и :~{\frac  {1}{{\sqrt  {\mu _{g}\varepsilon _{g}}}}}=c=2,99792458\cdot 10^{8} м/с.

Гравитационный характеристический импеданс вакуума для гравитационных волн может быть определён так:

~{\sqrt  {{\frac  {\mu _{g}}{\varepsilon _{g}}}}}=\rho _{{g}}={\frac  {4\pi G}{c_{g}}}.

Если ~c_{{g}}=c, то гравитационный характеристический импеданс пустого пространства будет равен: [17]

~\rho _{{g0}}={\frac  {4\pi G}{c}}=2\alpha \cdot {\frac  {h}{m_{{S}}^{2}}}={\frac  {2h}{m_{{P}}^{2}}}=2,796696\cdot 10^{{-18}} м2 /(с ∙ кг),

где ~\alpha ={\frac  {e^{2}}{2\varepsilon _{0}hc}} есть электрическая постоянная тонкой структуры для элементарного электрического заряда ~e, ~hпостоянная Планка, и

~m_{S}=e{\sqrt  {{\frac  {\varepsilon _{g}}{\varepsilon _{0}}}}}={\frac  {e}{{\sqrt  {4\pi G\varepsilon _{0}}}}}={\sqrt  {\alpha }}\cdot m_{P}

есть масса Стони. Здесь ~\varepsilon _{0}электрическая постоянная, m_{P}={\sqrt  {{\frac  {\hbar c}{G}}}}\ – планковская масса, ~\hbar ={\frac  {h}{2\pi }}постоянная Дирака.

Так же как и в электродинамике, характеристический импеданс играет доминирующую роль во всех процессах излучения и поглощения, с учётом необходимости согласования входного импеданса гравитационной антенны и импеданса свободного пространства. Численное значение этого импеданса очень мало и поэтому очень трудно сделать приемники гравитационного излучения с соответствующим согласованием импедансов.

Применения[править]

Волновые уравнения в вакууме[править]

Гравитационные вакуумные волновые уравнения являются уравнениями второго порядка в частных производных, которые описывают распространение гравитационных волн в свободном пространстве. В случае отсутствия масс и массовых токов мы получаем однородные дифференциальные уравнения для напряжённости гравитационного поля ~{\mathbf  {\Gamma }} и поля кручения ~{\mathbf  {\Omega }}:

~\nabla ^{2}{\mathbf  {\Gamma }}-{\frac  {1}{c_{{g}}^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}{\mathbf  {\Gamma }}}{\partial t^{2}}}=0,
~\nabla ^{2}{\mathbf  {\Omega }}-{\frac  {1}{c_{{g}}^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}{\mathbf  {\Omega }}}{\partial t^{2}}}=0.

Для волны, распространяющейся в одном направлении, общее решение гравитационного волнового уравнения является суперпозицией плоских волн:

~{\mathbf  {\Gamma }}({\mathbf  {r}},t)=f(\phi ({\mathbf  {r}},t))=f(\omega t-{\mathbf  {k}}\cdot {\mathbf  {r}}) и
~{\mathbf  {\Omega }}({\mathbf  {r}},t)=q(\phi ({\mathbf  {r}},t))=q(\omega t-{\mathbf  {k}}\cdot {\mathbf  {r}})

для произвольных хорошо ведущих себя функций ~f и ~q безразмерного аргумента ~\phi , где

~\omega есть угловая частота (в радианах за секунду), и
~{\mathbf  {k}}=(k_{x},k_{y},k_{z})волновой вектор (в радианах на метр), и ~\Gamma =c_{g}\Omega .

Учитывая следующие соотношения между индукциями и напряженностями гравитационного поля и поля кручения: [20]

~{\mathbf  {\Omega }}=\mu _{g}{\mathbf  {H_{g}}},\qquad \Omega ={\frac  {\Gamma }{c_{g}}},
~{\mathbf  {D_{g}}}=\varepsilon _{g}{\mathbf  {\Gamma }},

где ~{\mathbf  {D_{g}}} есть поле гравитационной индукции, ~{\mathbf  {H_{g}}} есть напряжённость поля кручения (гравитомагнитного поля), можно получить следующие взаимные соответствия между гравитационными напряженностями:

~{\sqrt  {\mu _{g}}}H_{g}={\sqrt  {\varepsilon _{g}}}\Gamma .

Это равенство определяет гравитационный характеристический импеданс вакуума (волновое сопротивление вакуума) в стандартном виде аналогично определению импеданса в электромагнетизме:

~\rho _{g}={\sqrt  {{\frac  {\mu _{g}}{\varepsilon _{g}}}}}=c_{g}\mu _{g}={\frac  {\Gamma }{H_{g}}}.

На практике всегда оказывается так, что полное дипольное гравитационное излучение каждой системы тел, рассматриваемое из бесконечности, стремится к нулю из-за взаимной компенсации излучений отдельных тел. В результате основным компонентом излучения системы становятся квадрупольное гравитационное излучение и более высокие гармоники. С учётом этого обстоятельства волновые уравнения в Лоренц-инвариантной теории гравитации, записанные в квадрупольном приближении, оказываются достаточно точным приближением к результатам общей теории относительности и ковариантной теории гравитации.

Если в системе тел имеются тела с электрическим зарядом и излучающие электромагнитным образом, баланс нарушается и возникает некоторое нескомпенсированное дипольное гравитационное излучение.

Гравитационный LC контур[править]

В качестве модели LC контура удобно взять идеальную жидкость в трубе в виде замкнутой цепи, движущуюся под действием гравитационных и некоторых других сил. В одном месте труба завивается в спираль, так что жидкость за счёт вращения создаёт поле кручения и имеет возможность обмениваться с этим полем энергией. Данная спираль играет ту же роль, что и индуктивность в электрической цепи. В другой части контура находится источник, аккумулирующий жидкость. Для обеспечения движения жидкости в разных направлениях от источника с двух его сторон в трубах имеются поршни с пружинами. Это позволяет периодически конвертировать кинетическую энергию движения жидкости в энергию сжатия той или иной пружины, приблизительно равную изменению гравитационной энергии жидкости. Поршни с пружинами эквивалентны конденсатору в электрической цепи. При этом гравитационное напряжение ~V_{g} определяется как разность гравитационных потенциалов, а массовый ток ~I_{g} – как масса жидкости, протекающая в единицу времени через данное сечение трубы в каком-либо направлении.

Гравитационное напряжение на гравитационной индуктивности ~L_{g} равно:

~V_{{gL}}=-L_{g}\cdot {\frac  {dI_{{gL}}}{dt}}.

Массовый ток через гравитационную ёмкость ~C_{g} равен:

~I_{{gC}}=C_{g}\cdot {\frac  {dV_{{gC}}}{dt}}.

Дифференцируя эти выражения по времени, можно получить:

~{\frac  {dV_{{gL}}}{dt}}=-L_{g}{\frac  {d^{2}I_{{gL}}}{dt^{2}}},\qquad {\frac  {dI_{{gC}}}{dt}}=C_{g}{\frac  {d^{2}V_{{gC}}}{dt^{2}}}.

Учитывая следующие соотношения для гравитационных напряжений и токов:

~V_{{gL}}=V_{{gC}}=V_{g};\qquad I_{{gL}}=I_{{gC}}=I_{g},

можно получить следующие дифференциальные уравнения для гравитационных колебаний:

~{\frac  {d^{2}I_{g}}{dt^{2}}}+{\frac  {1}{L_{g}C_{g}}}I_{g}=0,\qquad {\frac  {d^{2}V_{g}}{dt^{2}}}+{\frac  {1}{L_{g}C_{g}}}V_{g}=0.

Более того, учитывая следующие взаимосвязи между гравитационным напряжением и массой жидкости:

~m=C_{g}V_{g},

а также между массовым током и потоком поля кручения:

~\Phi =L_{g}I_{g},

уравнение колебаний для ~V_{g} может быть переписано в виде:

~{\frac  {d^{2}m}{dt^{2}}}+{\frac  {1}{L_{g}C_{g}}}m=0.

Это уравнение имеет частное решение:

~m(t)=m_{0}\sin(\omega _{{g}}t),

где ~\omega _{{g}}={\frac  {1}{{\sqrt  {L_{g}C_{g}}}}} есть резонансная частота в отсутствие потерь энергии, а

~\rho _{{LC}}={\sqrt  {{\frac  {L_{g}}{C_{g}}}}}={\frac  {V_{{g0}}}{I_{{g0}}}}

есть гравитационный характеристический импеданс LC контура, который равен отношению амплитуд гравитационного напряжения к массовому току.

Гравитационная индукция[править]

Согласно второму уравнению для гравитационных полей, изменение во времени поля кручения ~{\mathbf  {\Omega }} приводит к возникновению кругового гравитационного ускорения ~{\mathbf  {\Gamma }}, приводящего во вращение вещество: [10]

~\nabla \times {\mathbf  {\Gamma }}=-{\frac  {\partial {\mathbf  {\Omega }}}{\partial t}}.\qquad \qquad (1)

Если вектор кручения ~{\mathbf  {\Omega }} пересекает некоторую площадь ~S, то можно вычислить поток кручения через эту площадь:

~\Phi =\int {\mathbf  {\Omega }}\cdot {\mathbf  {n}}ds,\qquad \qquad (2)

где ~{\mathbf  {n}} – вектор нормали к элементу площади ~dS.

Возьмём частную производную в уравнении (2) по времени со знаком минус и проинтегрируем по площади с учётом уравнения (1):

~-\int {\frac  {\partial {\mathbf  {\Omega }}}{\partial t}}\cdot {\mathbf  {n}}ds=-{\frac  {\partial \Phi }{\partial t}}=\int [\nabla \times {\mathbf  {\Gamma }}]\cdot {\mathbf  {n}}ds=\int {\mathbf  {\Gamma }}{\vec  d}\ell .\qquad \qquad (3)

В данном выражении используется теорема Стокса, заменяющая интегрирование по площади от ротора вектора на интегрирование этого вектора по замкнутому контуру. В правой части (3) стоит член, равный работе по переносу единичной массы вещества по замкнутому контуру ~\ell , охватывающему площадь ~S. По аналогии с электромагнетизмом, эту работу можно было бы назвать гравитодвижущей силой. В середине (3) находится частная производная по времени от потока кручения ~\Phi . Согласно (3), гравитационная индукция возникает при изменении потока кручения через некоторую площадь и выражается в возникновении вращательных сил, действующих на частицы вещества.

Смотри также[править]

Ссылки[править]

  1. K.T. McDonald, Am. J. Phys. 65, 7 (1997) 591-2.
  2. O. Heaviside, Electromagnetic Theory (”The Electrician” Printing and Publishing Co., London, 1894) pp. 455-465.
  3. OLIVER HEAVISIDE. A GRAVITATIONAL AND ELECTROMAGNETIC ANALOGY, Part I, The Electrician, 31, 281-282 (1893).
  4. W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism (Addison-Wesley, Reading, MA, 1955), p. 168, 166.
  5. R. L. Forward, Proc. IRE 49, 892 (1961).
  6. R. M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, Chicago, 1984).
  7. V. de Sabbata and M. Gasperini, Introduction to Gravitation (World Scientific, Singapore,1985).
  8. V. de Sabbata and C.Sivaram, Spin and Torsion in Gravitation (World Scientific, Singapore,1994)
  9. R.P. Lano (1996-03-12). "Gravitational Meissner Effect". arXiv: hep-th 9603077.
  10. 10,0 10,1 Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, (544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв. ISBN 5-8131-0012-1).
  11. 11,0 11,1 Fedosin S.G. Electromagnetic and Gravitational Pictures of the World. Apeiron, 2007, Vol. 14, No. 4, P. 385 – 413; статья на русском языке: Электромагнитная и гравитационная картины мира.
  12. Fedosin S.G. Mass, Momentum and Energy of Gravitational Field. Journal of Vectorial Relativity, September 2008, Vol. 3, No. 3, P.30-35; статья на русском языке: Масса, импульс и энергия гравитационного поля.
  13. Fedosin S.G. Model of Gravitational Interaction in the Concept of Gravitons. Journal of Vectorial Relativity, March 2009, Vol. 4, No. 1, P.1-24; статья на русском языке: Модель гравитационного взаимодействия в концепции гравитонов.
  14. Raymond Y. Chiao. "Conceptual tensions between quantum mechanics and general relativity: Are there experimental consequences, e.g., superconducting transducers between electromagnetic and gravitational radiation?" arXiv:gr-qc/0208024v3 (2002). PDF
  15. R.Y. Chiao and W.J. Fitelson. Time and matter in the interaction between gravity and quantum fluids: are there macroscopic quantum transducers between gravitational and electromagnetic waves? In Proceedings of the “Time & Matter Conference” (2002 August 11-17; Venice, Italy), ed. I. Bigi and M. Faessler (Singapore: World Scientific, 2006), p. 85. arXiv: gr-qc/0303089. PDF
  16. R.Y. Chiao. Conceptual tensions between quantum mechanics and general relativity: are there experimental consequences? In Science and Ultimate Reality, ed. J.D. Barrow, P.C.W. Davies, and C.L. Harper, Jr. (Cambridge: Cambridge University Press, 2004), p. 254. arXiv:gr-qc/0303100.
  17. 17,0 17,1 Raymond Y. Chiao. "New directions for gravitational wave physics via “Millikan oil drops” arXiv:gr-qc/0610146v16 (2009). PDF
  18. Stephen Minter, Kirk Wegter-McNelly, and Raymond Chiao. Do Mirrors for Gravitational Waves Exist? arXiv:gr-qc/0903.0661v10 (2009). PDF
  19. Kiefer, C.; Weber, C. On the interaction of mesoscopic quantum systems with gravity. Annalen der Physik, 2005, Vol. 14, Issue 4, Pages 253 – 278.
  20. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

Внешние ссылки[править]

Хочешь уточнить, добавить или исправить текст?
Редактировать статью Подписаться на обновления