Полезное знание под угрозой удаления из Википедии или другого сайта?
Сохраните его на Викизнании или Вавилон-wiki!

Кватернион

→ 
Материал из Викизнание
(перенаправлено с «Кватернионы»)
Перейти к: навигация, поиск

Кватернион (от. лат. quaterni — по четыре) — один из примеров гиперкомплексных чисел; образуют 4-мерную ассоциативную (но не коммутативную) алгебру над полем {\mathbf  {R}} действительных чисел, причём это — единственная ассоциативная некоммутативная алгебра над {\mathbf  {R}} без делителей нуля.

Кватернионы возникли при попытках построить n-мерный аналог поля {\mathbf  {C}} комплексных чисел. В 1843 У. Гамильтоном была предложена такая система чисел — алгебра кватернионов, содержащая поле {\mathbf  {C}}, 4-мерная над {\mathbf  {R}} и обладающая всеми свойствами поля, кроме коммутативности умножения (т. е. являющаяся телом). Вскоре были найдены применения кватернионов к электродинамике и механике. В середине 19 в. кватернионы воспринимались как обобщение понятия числа, призванное играть в науке столь же значительную роль, как и комплексные числа. Со временем, однако, стало ясно, что роль кватернионов ни в какой мере не может быть сравнима с ролью комплексных чисел, имеющих многочисленные и разнообразные приложения.

См.также[править]

Кватернион (Брокгауз и Ефрон)[править]

Кватернион - Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (см.), представляет собою теорию векторов (см.), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i, j, k - символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:


A) Квадраты их равны минус единице, т. е. i2= -1, j2= -1, k2= -1.


B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или -, в зависимости от порядка множителей, а именно:

ij = k, ji = -k jk = i, kj = -i ki = j, ik = -j.

Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (см.) векторов, а через умножение вектора α = xi + yj + zk на другой вектор α 1 = х 1i + y1j + z1k получается на основании свойств А и B следующее выражение:

s + fi + gj + hk..... (С)


в котором:

s = - (хх 1 + yy1 + zz1) f = уz 1 - 1

g = zx1 - xz1 h = xy1 - yx1

Означим через r и r, длины обоих векторов, через Θ угол между их направлениями; представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол Θ до совмещения с направлением r1 казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m, n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.


Известно, что хх 1 + yy1 + zz1 = rr1cos Θ и что

f = -lrr1sin Θ g = - тrr 1sin Θ h = -nrr1sin Θ

поэтому

αα 1 = -rr1cos Θ - λ rr1sin Θ, где


λ = li+ mj + nk.

Следовательно, произведение αα 1 есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение (rr1cos Θ) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r1, отложенного от конца вектора r. Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К.; первый, невекториальный член s кватерниона наз. scalar, сумма остальных трех членов наз. вектором. В учении о К. рассматриваются различные действия над К. и делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, "Elemente der Quaternionen" (нем. излож. Paul Glаn, Лпц., 1882); Tait, "An Elementary Treatise on Quaternions"; P. Kelland and P. G. Tait, "Introduction to Quaternions".

Д. Б.

Хочешь уточнить, добавить или исправить текст?
Редактировать статью Подписаться на обновления