Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Инвариантная энергия

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Инвариантная энергия произвольной системы есть положительная величина, состоящая из всех видов энергии системы, и равная релятивистской энергии, измеренной неподвижным относительно центра импульсов системы наблюдателем. В состав инвариантной энергии как правило входят энергия покоя вещества; потенциальная энергия собственных электромагнитных и гравитационных полей, связанных с системой; внутренняя энергия частиц системы; энергия системы во внешних полях; энергия излучения, взаимодействующего с системой. Инвариантная энергия частицы ~E_{0} равна её энергии покоя и в силу принципа эквивалентности массы и энергии связана с инвариантной массой ~M частицы соотношением:

~E_{0}=Mc^{2},

где ~cскорость света.

Порядок вычисления инвариантной энергии через различные виды энергии системы определяется принципом суммирования энергий.

Связь с другими физическими переменными[править]

Одна частица[править]

В рамках специальной теории относительности инвариантная энергия частицы может быть вычислена либо через её релятивистскую энергию ~E и импульс ~{\mathbf  {p}}, либо через релятивистскую энергию и скорость ~v :

~E_{0}={\sqrt  {E^{2}-p^{2}c^{2}}}=E{\sqrt  {1-{\frac  {v^{2}}{c^{2}}}}}.

Для фотона справедливо соотношение ~E=pc, так что инвариантная энергия фотона равна нулю.

В четырёхмерном формализме в пространстве Минковского энергия ~E_{0} может быть вычислена через 4-импульс ~p^{{\mu }}=Mu^{{\mu }} частицы:

~E_{0}=c{\sqrt  {\eta _{{\mu \nu }}p^{{\mu }}p^{{\nu }}}}=Mc{\sqrt  {u_{{\mu }}u^{{\mu }}}}=Mc^{2},

где ~\eta _{{\mu \nu }} есть метрический тензор пространства Минковского, ~u^{\mu }=\left(\gamma c,\gamma {{\mathbf  {v}}}\right)4-скорость, ~\gamma ={\frac  {1}{{\sqrt  {1-({\frac  {v}{c}})^{2}}}}}фактор Лоренца.

В результате 4-импульс может быть представлен через инвариантную энергию: [1]

~p^{\mu }={\frac  {E_{0}u^{\mu }}{c^{2}}}=\left({\frac  {\gamma E_{0}}{c}},\gamma M{{\mathbf  {v}}}\right)=\left({\frac  {\gamma E_{0}}{c}},{\mathbf  {p}}\right),

где ~{\mathbf  {p}} – 3-вектор релятивистского импульса.

В искривлённом пространстве-времени с метрическим тензором ~g_{{\mu \nu }} инвариантная энергия частицы находится так:

~E_{0}=c{\sqrt  {g_{{\mu \nu }}p^{{\mu }}p^{{\nu }}}}=Mc{\sqrt  {g_{{\mu \nu }}u^{{\mu }}u^{{\nu }}}}.

Если учесть определение 4-скорости: ~u^{{\mu }}={\frac  {dx^{{\mu }}}{d\tau }}, где ~dx^{{\mu }} есть 4-вектор сдвига, ~d\tau – дифференциал собственного времени, а также определение интервала: ~ds={\sqrt  {g_{{\mu \nu }}dx^{{\mu }}dx^{{\nu }}}}=cd\tau , то снова получается равенство: ~E_{0}=Mc^{2}.

Система частиц[править]

В физике элементарных частиц часто рассматривается взаимодействие нескольких частиц, их слияния и распады с образованием новых частиц. Сохранение суммы 4-импульсов свободных частиц до и после реакции приводит к законам сохранения энергии и импульса рассматриваемой системы частиц. Инвариантная энергия ~E_{{0c}} системы частиц вычисляется как их полная релятивистская энергия в системе отсчёта, в которой центр импульсов системы частиц неподвижен. При этом ~E_{{0c}} может отличаться от суммы инвариантных энергий частиц системы, поскольку вклад в ~E_{{0c}} делают не только энергии покоя частиц, но и кинетические энергии частиц и их потенциальная энергия. [2] Если наблюдать частицы до или после взаимодействия на больших расстояниях друг от друга, когда их взаимной потенциальной энергией можно пренебречь, инвариантная энергия системы определяется соотношением:

~E_{{0c}}={\sqrt  {E_{c}^{2}-p_{c}^{2}c^{2}}},

где ~E_{c}=\sum _{i}E_{i} – сумма релятивистских энергий частиц системы, ~{\mathbf  {p}}_{c}=\sum _{i}{\mathbf  {p}}_{i} – векторная сумма импульсов частиц.

Массивное тело[править]

Общая теория относительности[править]

При определении инвариантной энергии массивного тела в общей теории относительности (ОТО) возникает проблема с вкладом энергии гравитационного поля, [3] поскольку тензор энергии-импульса гравитационного поля однозначно не определён, а вместо него используется псевдотензор [1]. В случае асимптотически плоского пространства-времени на бесконечности для оценки инвариантной энергии может быть применено приближение АДМ массы-энергии тела, [4] смотри также [2]. Для стационарной метрики пространства-времени определяется масса-энергия Комара. [5] [3] Существуют и другие подходы к определению массы-энергии, например, энергия Бонди, [6] и энергия Хокинга [4].

В приближении слабого поля инвариантная энергия неподвижного тела в ОТО оценивается следующим образом: [7]

~E_{{0}}=Mc^{2}=m_{b}c^{2}+E_{k}-{\frac  {6Gm_{b}^{2}}{5a}}+{\frac  {3q_{b}^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}a}}+E_{p},

где масса ~m_{b} и заряд ~q_{b} тела получаются путём интегрирования соответствующей плотности по объёму, ~E_{k} – энергия движения частиц внутри тела, ~Gгравитационная постоянная, ~a – радиус тела, ~\varepsilon _{0} – электрическая постоянная, ~E_{p} – упругая энергия.

Для масс получается соотношение:

~M=m_{g}<m_{b}<m',

где инертная масса системы ~M равна гравитационной массе ~m_{g}, масса ~m' обозначает суммарную массу частиц, из которых составлено тело.

Ковариантная теория гравитации[править]

В ковариантной теории гравитации (КТГ) при вычислении инвариантной энергии учитывается разбиение энергии на 2 основные части – на компоненты энергии самих полей и на компоненты, связанные с энергией частиц в этих полях. Подсчёт показывает, что сумма компонент энергии поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитных полей, для тела сферической формы равна нулю. [8] Остаётся сумма энергий частиц в четырёх полях, которая в итоге равна:

~E_{{0}}=Mc^{2}\approx m_{b}c^{2}\gamma _{s}-{\frac  {3Gm_{b}^{2}}{10a}}+{\frac  {3q_{b}^{2}}{40\pi \varepsilon _{0}a}}+m_{b}\wp _{s},

где ~\gamma _{s} есть фактор Лоренца частиц, а ~\wp _{s} – скалярный потенциал поля давления вблизи поверхности системы.

Соотношение для масс выглядит следующим образом: ~m'=M<m_{b}=m_{g}. При этом инертная масса системы ~M получается равной суммарной массе частиц ~m', масса ~m_{b} равна гравитационной массе ~m_{g}, а превышение ~m_{b} над ~M происходит за счёт того, что частицы внутри тела двигаются и находятся под давлением в гравитационном и электромагнитном полях.

Более точное выражение для инвариантной энергии представлено в следующей статье: [9]

~E_{{0}}=Mc^{2}\approx m_{b}c^{2}\gamma _{s}-{\frac  {Gm_{b}^{2}}{2a}}+{\frac  {q_{b}^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a}}+m_{b}\wp _{s}.

Для случая релятивистской однородной системы инвариантную энергию можно выразить так: [10] [11]

~E_{{0}}=Mc^{2}\approx m_{b}c^{2}-{\frac  {1}{10\gamma _{c}}}\left(7-{\frac  {27}{2{\sqrt  {14}}}}\right)\left({\frac  {Gm_{b}^{2}}{a}}-{\frac  {q_{b}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}a}}\right).

Это приводит к изменению соотношения для масс:

~m'<M<m<m_{b}=m_{g}.

Здесь калибровочная масса ~m' связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; ~M есть инертная масса системы; вспомогательная масса ~m равняется произведению плотности массы частиц на объём вещества системы; масса ~m_{b} есть сумма инвариантных масс (масс покоя) частиц системы, равная по величине гравитационной массе ~m_{g} системы.

В лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ), в которую переходит КТГ в приближении слабого поля и при постоянной скорости движения, для инвариантной энергии остаётся справедливой формула:

~E_{{0}}={\sqrt  {E^{2}-p^{2}c^{2}}},

где ~E – релятивистская энергия движущегося тела с учётом вклада энергии гравитационного и электромагнитного поля, а также энергии поля ускорений и поля давления; ~p – суммарный импульс системы в виде тела и его полей.

Указанные формулы остаются в силе и на уровне атомов с тем отличием, что обычная гравитация заменяется на сильную гравитацию. В ковариантной теории гравитации с учётом принципа наименьшего действия показывается, что гравитационная масса ~m_{g} системы увеличивается за счёт вклада массы-энергии гравитационного поля и уменьшается за счёт вклада электромагнитной массы-энергии. Это является следствием того, что в ЛИТГ и в КТГ точно определён тензор энергии-импульса гравитационного поля, являющийся одним из источников для определения метрики, энергии и уравнений движения вещества и поля. Также определены ковариантным способом тензор энергии-импульса поля ускорений, тензор энергии-импульса поля диссипации и тензор энергии-импульса поля давления.

Такие векторные поля, как гравитационное и электромагнитное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поля сильного и слабого взаимодействий являются компонентами общего поля. Это приводит к тому, что инвариантная энергия системы из частиц и полей может быть вычислена как интеграл по объёму в системе центра импульсов: [12]

~E=\int {(s_{0}J^{0}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \varpi }}s_{{\mu \nu }}s^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

где ~s_{0} и ~J^{0} обозначают временные компоненты 4-потенциала ~s_{{\mu }} общего поля и массового 4-тока ~J^{{\mu }}, соответственно, ~s_{{\mu \nu }} – тензор общего поля.

Ссылки[править]

  1. McGlinn, William D. Introduction to relativity. JHU Press, 2004. С. 43. ISBN 0-801-87047-X, Extract of page 43.
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  3. Misner, Charles W.; Kip. S. Thorne & John A. Wheeler (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
  4. Arnowitt, Richard; Stanley Deser & Charles W. Misner (1962), "The dynamics of general relativity", in Witten, L., Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, pp. 227-265.
  5. Komar, Arthur (1959). "Covariant Conservation Laws in General Relativity". Phys. Rev. 113 (3): 934–936. Bibcode 1959PhRv..113..934K. doi:10.1103/PhysRev.113.934
  6. Bondi H, van de Burg M G J, and Metzner A W K, Proc. R. Soc. London Ser. A 269:21-52 Gravitational waves in General Relativity. VII. Waves from axi-symmetric isolated systems (1962).
  7. Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.
  8. Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1-16, (2015); статья на русском языке: Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.
  9. Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.
  10. Fedosin S.G. The binding energy and the total energy of a macroscopic body in the relativistic uniform model. Middle East Journal of Science, Vol. 5, Issue 1, pp. 46-62 (2019). http://dx.doi.org/10.23884/mejs.2019.5.1.06. // Энергия связи и полная энергия макроскопического тела в релятивистской однородной модели.
  11. Fedosin S.G. The Mass Hierarchy in the Relativistic Uniform System. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol. 38 D (Physics), No. 2, pp. 73-80 (2019). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2019.00012.5. // Иерархия масс в релятивистской однородной системе.
  12. Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, P. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.

См. также[править]

Внешние ссылки[править]

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: