Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Задача определения оптимальной стратегии для мебельной компании

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Задача определения оптимальной стратегии для мебельной компании[править]

1.Введение[править]

В работе рассматривается применение метода двудольных множеств случайных событий к решению задачи определения мебельной компании с оптимальной стратегией.

Пусть для каждой мебельной компании определен ассортимент продукции, который она может выпускать, причем можно производить не только одно наименование продукта, а некоторый набор из всего ассортимента. Под стратегией компанией будем понимать эвентологическое распределение ассортимента компании – т.е. вероятности, с которыми она готова выпускать каждое подмножество продукции из всего ассортимента.

Если на рынке присутствует несколько конкурирующих мебельных фирм, то все фирмы образуют сложную систему. Поведение каждой фирмы характеризуется ее стратегией. Поскольку стратегия представляет собой множественный показатель, то анализа данной системы в работе будет использоваться метод двудольных множеств случайных событий, предложенный И.В. Барановой.


Идея метода заключается в представлении стратегий для мебельных компаний в виде двудольной эвентологической модели, в которой показатели распределения выпускаемой продукции характеризуются двудольным множеством случайных событий. В нашем случае числовая доля двудольного множества равна нулю.


Для решения задачи определения компании с оптимальной стратегией в работе вводится понятие идеальной наилучшей стратегией, который представляет собой такие значения вероятностей выпуска продукции, которое приведет к наилучшему значению прибыли. Для каждой реальной компании проводится сравнение ее стратегии с реальной (с помощью расстояния между соответствующими двудольными множествами). Компания с наименьшим значением расстояния от идеальной стратегии будет являться оптимальной.

В качестве практического примера в работе решается задача определения оптимальной стратегии для мебельной компании.

Данные представлены реальной статистикой мебельных компаний города Красноярска за 2003-2006гг .

2.Постановка задачи[править]

Решение задачи определения оптимальной стратегии для мебельной компании будет осуществляться с помощью метода двудольных множеств событий и заключаться в представлении стратегий предприятий с помощью двудольной эвентологической модели, где каждая компания будет характеризоваться двудольным множеством событий. Сравнением каждой стратегии с идеальной мы определим оптимальную.

Решение задачи будет заключаться в нахождении расстояний для каждой компании до идеальной с помощью вероятностей сет--операции по Минковскому эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Стратегия, лежащая на ближайшем расстоянии до идеальной, будет названа оптимальной стратегией для мебельной компании.

В данной работе, в качестве практического примера, рассматриваются четыри мебельных компании г.Красноярска. Решением поставленной задачи будет являться нахождение для них оптимальной стратегии.


3.Основные понятия эвентологии и теории вероятностей[править]

Определение Вероятностным пространством называется тройка \left(\Omega ,F,P\right), где \Omega -пространство элементарных событий, F- алгебра событий, P- вероятность, определенная на элементах алгебры F-случайных событиях x,y,\ldots \in F

Определение Конечное множество избранных событий {\mathfrak  {X}}\subseteq {\mathbf  {F}}, выбранных из алгебры вероятностного пространства \left(\Omega ,{\mathbf  {F}},{\mathbf  {P}}\right) и состоящее из N=|{\mathfrak  {X}}| событий, называется множеством случайных событий.

Определение Случайным множеством событий под {\mathfrak  {X}} называется измеримое отображение

K:\left(\Omega ,{\mathbf  {F}},{\mathbf  {P}}\right)\rightarrow \left(2^{{{\mathfrak  {X}}}},2^{{2^{{{\mathfrak  {X}}}}}}\right),

где {\mathfrak  {X}}\in {\mathbf  {F}}, - выделенное конечное множество событий, (состоящее из N=|{\mathfrak  {X}}| событий), 2^{{{\mathfrak  {X}}}}- множество всех подмножеств множества {\mathfrak  {X}}.

Определение Случайной величиной называется измеримое отображение \xi :\left(\Omega ,{\mathbf  {F}},{\mathbf  {P}})\rightarrow ({\mathbb  {R}},{\mathbf  {B}}\right),

где {\mathbb  {R}} - вещественная прямая, {\mathbf  {B}} - борелевская алгебра подмножеств {\mathbb  {R}}.

Определениее Множество случайных элементов \{{\mathbf  {\xi ,K}}\}, представимое в виде объединения двух этих долей, будем называть двудольным множеством случайных элементов. Двудольное множество случайных элементов представимо в следующем виде: \{{\mathbf  {\xi ,K}}\}={\mathbf  {\xi }}\cup {\mathbf  {K}}=\{\xi _{a},a\in {A},K_{\beta },\beta \in {B}\}.

И.В.Барановой было предложено двудольному множеству случайных элементов \{\xi ,{\mathbf  {K}}\} поставить в соответствие двудольное множество случайных событий: \{\xi ,{\mathbf  {K}}\}\Rightarrow \{{\mathcal  {Y}},{\mathfrak  {X}}\}.

Определение Двудольное множество случайных событий представляет собой объединение двух множеств - множества событий, которое определяется случайными величинами, и множества событий, которое определяется случайными множествами событий: \{{\mathcal  {Y}},{\mathfrak  {X}}\}=\{{\mathcal  {Y}}_{a},{\mathfrak  {X}}_{\beta },a\in A,\beta \in B\}.

Определение Двудольной эвентологической моделью сложной системы будем называть такую систему, для которой поведение каждого элемента характеризуется двудольным множеством случайных событий {{\mathcal  {Y}},{\mathfrak  {X}}}, первая доля {\mathcal  {Y}}, определяется случайными величинами {\mathbf  {\xi }}, а вторая доля {\mathfrak  {X}} - случайными множествами событий {\mathbf  {K}}.

Определение Произвольной сет–операцией по Минковскому над двумя двудольными множествами событий s^{i} и s^{j} называется теоретико-множественная операция, которая представляется как множество событий, полученных с помощью операций по Минковскому над соответствующими событиями из каждой доли. s^{1}({\mathcal  {O}})s^{2}=\left\{{\mathcal  {Y^{1}}}_{a}({\mathcal  {O}}){\mathcal  {Y}}_{a}^{2},\,{\mathfrak  {X}}_{{\beta }}^{1}({\mathcal  {O}}){\mathfrak  {X}}_{{\beta }}^{2},\,a\in A,\,\beta \in B\right\}=\left\{{\mathcal  {Y}}_{a}^{1}(r_{a}){\mathcal  {O}}{\mathcal  {Y}}_{a}^{2}(r_{a}),\,X_{{\beta }}^{1}{\mathcal  {O}}X_{{\beta }}^{2},\,X_{{\beta }}\subseteq {\mathfrak  {X}}_{{\beta }},\,r_{a}\in {{\mathcal  {R}}}_{a},\,a\in ,\,\beta \in B\right\}.

Здесь {\mathcal  {Y}}_{a}^{1},{\mathcal  {Y}}_{a}^{2}\subseteq {\mathcal  {Y}}_{a},{\mathfrak  {X}}_{{\beta }}^{1},{\mathfrak  {X}}_{{\beta }}^{2}\subseteq {\mathfrak  {X}}_{{\beta }}. Вероятность произвольной операции

{\mathbf  {P}}\left(s^{1}({\mathcal  {O}})s^{2}\right)={\frac  {1}{|A|}}\sum _{{a\in A}}{\frac  {1}{|{\mathcal  {Y}}_{a}|}}\sum _{{r_{a}\in {\mathcal  {R}}_{a}}}{\mathbf  {P}}\left({\mathcal  {Y}}_{a}^{1}(r_{a}){\mathcal  {O}}{\mathcal  {Y}}_{a}^{2}(r_{a})\right)+{\frac  {1}{|B|}}\sum _{{\beta \in B}}{\frac  {1}{|{\mathfrak  {X}}_{{\beta }}|}}\sum _{{X_{{\beta }}\subseteq {\mathfrak  {X}}_{{\beta }}}}{\mathbf  {P}}\left(X_{{\beta }}^{1}{\mathcal  {O}}X_{{\beta }}^{2}\right).


4.Задача нахождения наилучшего элемента системы[править]

Наилучшим элементом системы будет элемент i, у которого Э-распределение двудольного множества событий s^{i} наиболее близко к Э-распределению двудольного множества событий идеального <<наилучшего>> элемента s^{+}: {\mathbf  {P}}(s^{+}(\Delta )s^{{i_{*}}})=(1)\min _{{i=1,...,n}}{\mathbf  {P}}(s^{+}(\Delta )s^{{i}}), где (2) {\mathbf  {P}}(s^{+}(\Delta )s^{i})={\frac  {1}{|A|}}\sum _{{a\in A}}{\frac  {1}{{\mathcal  {Y}}_{a}}}\sum _{{r_{a}\in {\mathcal  {R}}_{a}}}{\mathbf  {P}}({\mathcal  {Y}}_{a}^{+}(r_{a})(\Delta ){\mathcal  {Y}}_{a}^{i}(r_{a}))++{\frac  {1}{B}}\sum _{{\beta \in B}}{\frac  {1}{{\mathfrak  {X}}}}\sum _{{X_{\beta }\subseteq {\mathfrak  {X}}_{\beta }}}{\mathbf  {P}}(X_{\beta }^{+}\Delta X_{\beta }^{i})


5.Применение метода двудольных множеств событий[править]

5.1.Метод двудольных множеств случайных событий для решения задачи определения мебельной компании с оптимальной стратегией[править]

Метод двудольных множеств случайных событий в задаче нахождения оптимальной стратегии для мебельной компании заключается в представлении стратегий мебельных компаний с помощью двудольной эвентологической модели, в которой поведение каждого элемента системы характеризуется двудольным множеством событий: его первая доля определяется случайными величинами, а вторая - случайными множествами событий, и сведению анализа поведения элементов системы к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.

Пусть система мебельных компаний состоит из n элементов. Каждая компания характеризуется показателями выпускаемой продукции, которые в данном случае являются множественными. Пусть

s^{1}=\left\{{\mathcal  {Y}}_{a}^{1},\,{\mathfrak  {X}}X_{{\beta }}^{1},\,a\in A,\,\beta \in B\right\},\ldots ,s^{{n}}=\left\{{\mathcal  {Y}}_{a}^{{n}},{\mathfrak  {X}}_{{\beta }}^{{n}},\,a\in A,\,\beta \in B\right\}

-двудольные множества событий, характеризующих поведение каждого элемента системы - стратегии мебельной компании.

|{\mathcal  {Y}}^{1}|=\ldots =|{\mathcal  {Y}}^{n}|,\;\;|{\mathfrak  {X}}^{{+}}|=|{\mathfrak  {X}}^{1}|=\ldots =|{\mathfrak  {X}}^{n}|.

{\mathcal  {Y}}=\bigcup \limits _{{a\in A}}{\mathcal  {Y}}_{a},\,\,\,{\mathfrak  {X}}=\sum \limits _{{\beta \in B}}{\mathfrak  {X}}_{{\beta }}.

Введем понятие идеальной <<наилучшей>> стратегии, которое представляет собой наилучшие значения всех своих показателей.

Пусть

s^{+}=\left\{{\mathcal  {Y}}_{a}^{+},\,{\mathfrak  {X}}_{{\beta }}^{+},\,a\in A,\,\beta \in B\right\},


- двудольные множества событий, характеризующие состояние идеальной <<наилучшей>> стратегии.


Э-распределения двудольных множеств случайных событий, характеризующие стратегии мебельных компаний, оцениваются из статистики.


Э-распределение двудольного множества случайных событий, соответствующее идеальной <<наилучшей>> стратегии (т.е. вероятности по всем показателям) задается экспертом.

Решение задачи определения оптимальной стратегии для мебельной компании представляет собой пример задачи нахождения наилучшего элемента системы, приведенной в четвертом разделе, и вычисляется по формулам:

{\mathbf  {P}}(s^{+}(\Delta )s^{{i*}})=\min \limits _{{i=1,\ldots ,n}}{\mathbf  {P}}\left(s^{+}(\Delta )s^{i}\right),

где

{\mathbf  {P}}\left(s^{+}(\Delta )s^{i}\right)={\frac  {1}{|A|}}\sum _{{a\in A}}{\frac  {1}{|{\mathcal  {Y}}_{a}|}}\sum _{{r_{a}\in {\mathbb  {R}}}}{\mathbf  {P}}\left({\mathcal  {Y}}_{a}^{+}(r_{a})\Delta {\mathcal  {Y}}_{a}^{i}(r_{a})\right)+{\frac  {1}{|B|}}\sum _{{\beta \in B}}{\frac  {1}{|{\mathfrak  {X}}_{{\beta }}|}}\sum _{{X_{{\beta }}\subseteq {\mathfrak  {X}}_{{\beta }}}}{\mathbf  {P}}\left(X_{{\beta }}^{+}\Delta X_{{\beta }}^{i}\right).


5.2.Решение задачи нахождения наилучшего элемента системы для практического примера[править]

Предлагается рассмотреть четыре мебельных компании. Для каждой компании определен следующий ассортимент продукции, который она может выпускать:

{x_{1}}={стол письменный},

{x_{2}}={диван},

{x_{3}}={шкаф-прихожая},

{x_{4}}={стул},

{x_{5}}={кровать детская},

{x_{6}}={стеллаж книжный}.


Представим данные стратегии в виде двудольной эвентологической модели, в которой показатели распределения выпускаемой продукции характеризуются двудольным множеством случайных событий. В нашем случае вторая доля двудольного множества равна нулю.


s^{1}=\{{\mathcal  {Y}}_{\alpha }^{1},\alpha \in A\},\ldots ,s^{n}=\{{\mathcal  {Y}}_{\alpha }^{n},\alpha \in A\}.

Статистические данные Э - распределения двудольных множеств случайных событий, характеризующие стратегии мебельных компаний, были взяты из реальной статистики четырех красноярских мебельных компаний. Статистика Э - распределение двудольного множества случайных событий, соответствующее идеальной <<наилучшей>> стратегии мебельной компании, была задана экспертом.

В результате для каждой стратегии получены вероятности отклонений от идеальной.

{\mathbf  {P}}(s^{+}(\Delta )s^{1})=0,0174025;

{\mathbf  {P}}(s^{+}(\Delta )s^{2})=0,005491563;

{\mathbf  {P}}(s^{+}(\Delta )s^{3})=0,004295938;

{\mathbf  {P}}(s^{+}(\Delta )s^{4})=0,002579063.

Если мы упорядочим по возрастанию полученные вероятности отклонений, то мы можем увидеть, на каком месте повыгодности находится каждая из предложенных мебельных компаний. Таким образом, в результате решения задачи было получено, что самой выгодной мебельной компанией является четвертая компания, потому что вероятность отклонения для нее составила наименшее значение, равное 0,002579063.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: