Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Задача Марковица (пример)

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск
Эвентология
Открытый Helgus~µастер~Kласс — H~µ~K
Это незавершённая статья из области эвентологии и её применений, редактируемая при участии Мастера

Начальный этап развития теории инвестиций, относится к 20-30-м годам ХХ-го столетия и является периодом зарождения теории портфельных финансов. Этот этап представлен основополагающими работами И. Фишера по теории процентной ставки и приведенной стоимости. Он доказал, что критерии оценки инвестиций никак не связаны с тем, предпочитают ли индивидуумы настоящее потребление потреблению в будущем. Это значит, что инвесторы пользуются одними и теми же инвестиционными критериями и поэтому могут скооперироваться и передать функции управления инвестициями профессиональному менеджеру. Менеджерам не обязательно знать личные вкусы акционеров, их задача - максимизировать чистую приведенную стоимость чтобы наилучшим образом обеспечить интересы своих клиентов. Эти теоретические положения во многом были подкреплены бурным расцветом индустрии первых взаимных фондов в США, активно спекулировавших в то время на американском биржевом рынке.

Важная особенность работ довоенного периода состоит в использовании гипотезы о полной определенности условий в процессе принятия финансовых решений. Математические средства, применяемые в анализе того времени, сводились к элементарной алгебре и началам фундаментального анализа. Совокупность этих средств, ориентированных на проведение финансовых расчетов в условиях определенности, получила название финансовой математики. Несмотря на детерминированный подход, важность факторов неопределенности и риска в финансовых проблемах сознавалась вполне четко.

Началом современной теории инвестиций считают 1952 г., когда появилась статья Г. Марковица под названием "Выбор портфеля". В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и методы построения таких портфелей при определенных условиях на основе теоретико-вероятностной формализации понятия доходности и риска. Лишь применение вероятностных методов позволило существенно продвинуться в исследовании влияния риска на принятие инвестиционных решений. Именно работы этого направления и получили название "современная теория инвестиций". Таким образом, понятие риска и его измерение (математическая модель) являются основой современной теории инвестиций.

Теоретические построения Марковица построены на ряде предположений, часть из которых относится к условиям принятия инвестиционных решений - к свойствам фондового рынка, другая часть - к поведению инвестора. Важнейшими из предположений первой группы являются следующие:

  1. Рынок состоит из конечного числа бесконечно делимых ликвидных активов , доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами (т.е. все активы - рисковые).
  2. Существуют открытые и достоверные исторические данные о доходности активов, позволяющие инвестору, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций.
  3. Инвестор при совершении операций с фондовыми активами свободен от транзакционных издержек и налогов.
  4. Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели, доходности которых являются также случайными величинами.

Относительно поведения инвестора выдвигаются две гипотезы - гипотеза ненасыщаемости и гипотеза несклонности к риску. Эти гипотезы означают, что:

  1. Инвестор всегда предпочитает более высокий уровень благосостояния, то есть при одинаковых прочих условиях всегда выбирает актив (портфель активов) с большей доходностью.
  2. Инвестор из двух активов с одинаковой доходностью обязательно предпочтет актив с меньшим риском.

Рассмотрим задачу.

!X={\begin{pmatrix}x_{{1}}\\x_{{2}}\\.\\.\\.\\x_{{n}}\\\end{pmatrix}} - вектор случайной величины

!m={\begin{pmatrix}EX_{{1}}\\EX_{{2}}\\.\\.\\.\\EX_{{n}}\\\end{pmatrix}}-вектор ожидаемой доходности

! есть V=(v_{{ij}}) i=1,..,n; j=1,..,n , где v_{{ij}} = E[(x_{{i}}-EX_{{i}})(x_{{j}}-EX_{{j}})]

Задача:Найти такое распределение портфеля y={\begin{pmatrix}y_{{1}}\\y_{{2}}\\.\\.\\.\\y_{{n}}\\\end{pmatrix}} при котором портфель имеет ожидаемую доходность M с минимальным риском.


P_{{y}}=y^{{T}}\cdot m= m^{{T}}\cdot y - доход, который мы получим.

EP_{{y}}=y^{{T}}\cdot m=m^{{T}}\cdot y - ожидаемая доходность портфеля.

DP_{{y}}=y^{{T}}Vy - риск(дисперсия) портфеля.

Задача сводится к задаче выпуклого программирования с линейными ограничениями.
Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin»): \left\{ \begin{aligned} y^{T}Vy-> min\\ I^{T}y=1\\ m^{T}y=M \\ \end{aligned} \right.

где I^{{T}}y=1 - показывает, что капитал должен быть задействован полностью.
m^{{T}}y=M - показывает, что мы зафиксировали уровень ожидаемой доходности.
I={\begin{pmatrix}1\\1\\.\\.\\.\\1\\\end{pmatrix}}

Решим эту задачу:
Составим функцию Лагранжа и найдем решение {\vec  y}

L=y^{{T}}Vy+\lambda ^{{T}}(By-b),где B={\begin{pmatrix}I^{{T}}\\M\\\end{pmatrix}},b={\begin{pmatrix}1\\M\\\end{pmatrix}} , \lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{{1}}\\\lambda _{{2}}\\\end{pmatrix}}

Продифференцируем по y и по \lambda

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin»): \left\{ \begin{aligned} L_{y}=2Vy+B^{T}\lambda=0\\ L_{\lambda}=By-b=0\\ \end{aligned} \right.

\Rightarrow  Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin»):  \left\{    \begin{aligned}    y=(-V^{-1}B^{T}\lambda)/2\\    -B(V^{-1}B^{T}\lambda)/2=b\\    \end{aligned}   \right.\\ 



\Rightarrow (BV^{{-1}}B^{{T}})\lambda =-2b

\Rightarrow \lambda =-2(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}}b

Чтобы BV^{{-1}}B^{{T}} была невырожденной, нужно что бы строки этой матрицы были линейно-независимы.

\Rightarrow y=-1/2\cdot V^{{-1}}B^{{T}}(-2(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}}b)=V^{{-1}}B^{{T}}(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}}b-решение

Доходность портфеля составит :

EP_{{y}}=m^{{T}}y=m^{{T}}V^{{-1}}B^{{T}}(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}}b

Риск портфеля составит :

DP_{{y}}=b^{{T}}(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}}BV^{{-1}}VV^{{-1}}B^{{T}}(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}}b=b^{{T}}(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}}b

Пример:
Рассмотрим модель рынка:
!X1={\begin{pmatrix}20\\20\\5\\\end{pmatrix}}-cлучайная величина(в процентах) = изменению стоимости актива X1 с вероятностями {\begin{pmatrix}0,3\\0,6\\0,1\\\end{pmatrix}}

!X2={\begin{pmatrix}30\\5\\-20\\\end{pmatrix}}-cлучайная величина(в процентах) = изменению стоимости актива X2 c вероятностями {\begin{pmatrix}0,3\\0,6\\0,1\\\end{pmatrix}}
!X3={\begin{pmatrix}-10\\15\\15\\\end{pmatrix}}-cлучайная величина(в процентах) = изменению стоимости актива X3 c вероятностями {\begin{pmatrix}0,3\\0,6\\0,1\\\end{pmatrix}}

Найдем мат.ожидание этих случайных величин и ковариации:

EX_{{1}}=20\cdot 0,3+20\cdot 0,6+5\cdot 0,1=18,5

EX_{{2}}=30\cdot 0,3+5\cdot 0,6-20\cdot 0,1=10

EX_{{3}}=-10\cdot 0,3+15\cdot 0,6+15\cdot 0,1=7,5

Матрица ковариаций симметрична \Rightarrow

посчитаем только Cov(X_{{1}},X_{{2}}) , Cov(X_{{1}},X_{{3}}) , Cov(X_{{2}},X_{{3}}) и Cov(X_{{1}},X_{{1}}) , Cov(X_{{2}},X_{{2}}), Cov(X_{{3}},X_{{3}})

Cov(X_{{1}},X_{{2}})=(1,5\cdot 20)\cdot 0,3+(1,5\cdot (-5))\cdot 0,6+(-13,5\cdot (-30))\cdot 0,1=45

Cov(X_{{1}},X_{{3}})=(1,5\cdot (-17,5))\cdot 0,3+(1,5\cdot 7,5))\cdot 0,6+(-13,5\cdot 7,5)\cdot 0,1=-11,25

Cov(X_{{2}},X_{{3}})=(20\cdot (-17,5))\cdot 0,3+((-5)\cdot 7,5))\cdot 0,6+((-30)\cdot 7,5)\cdot 0,1=150

Cov(X,X)=DX=EX^{{2}}-(EX)^{{2}} - Дисперсия случ.величины X

Cov(X_{{1}},X_{{1}})=DX_{{1}}=(400\cdot 0,3+400\cdot 0,6+25\cdot 0,1)-(18,5)^{{2}}=20,25

Cov(X_{{2}},X_{{2}})=DX_{{2}}=(900\cdot 0,3+25\cdot 0,6-400\cdot 0,1)-(10)^{{2}}=145

Cov(X_{{3}},X_{{3}})=DX_{{3}}=(-100\cdot 0,3+225\cdot 0,6+225\cdot 0,1)-(7,5)^{{2}}=71,25

\Rightarrow V={\begin{pmatrix}20.25&45&-11,25\\45&145&150\\-11.25&150&-71.25\\\end{pmatrix}} \Rightarrow V^{{-1}}={\begin{pmatrix}0.047&-0.002&-0.012\\-0.002&0.002&0.005\\-0.012&0.005&-0.001\\\end{pmatrix}}\\
m={\begin{pmatrix}EX_{{1}}\\EX_{{2}}\\EX_{{3}}\\\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}18.5\\10\\7.5\\\end{pmatrix}}

Задача: Найти вектор y={\begin{pmatrix}y_{{1}}\\y_{{2}}\\y_{{3}}\\\end{pmatrix}} : портфель имеет ожидаемую доходность M с минимальным риском.

Решение :

Задача Марковица сводится к задаче выпуклого программирования с линейными ограничениями :

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin»): \left\{ \begin{aligned} DP_{y}=y^{T}Vy-> min\\ I^{T}y=1\\ m^{T}y=M \\ \end{aligned} \right.

Дисперсия будет минимальна при y=V^{{-1}}B^{{T}}(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}}b

Найдем дисперсию такого распределения:

B={\begin{pmatrix}1&1&1\\18.5&10&7.5\\\end{pmatrix}} b={\begin{pmatrix}1\\M\\\end{pmatrix}}

BV^{{-1}}B^{{T}}= {\begin{pmatrix}1&1&1\\18.5&10&7.5\\\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}0.047&-0.002&-0.012\\-0.002&0.002&0.005\\-0.012&0.005&-0.001\\\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}1&18.5\\1&10\\1&7.5\\\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}0.03&0.6\\0.6&12.9\\\end{pmatrix}}

(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}} = {\begin{pmatrix}483.78&-22.5\\-22.5&1.12\\\end{pmatrix}}

DP_{{y}}=b^{{T}}(BV^{{-1}}B^{{T}})^{{-1}}b=(1;M){\begin{pmatrix}483.78&-22.5\\-22.5&1.12\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\M\\\end{pmatrix}}=(483.78-22.5M;-22.5+1.12M){\begin{pmatrix}1\\M\\\end{pmatrix}}=483.78-22.5M-22.5M+1.12M^{{2}}=1.12M^{{2}}-45M+483.78

Найдем при каком М достигается min риск:

(DP_{{y}})'_{{M}} = 2.24M - 45 = 0

2.24M=45

M=20

Найдем значение дисперсии при М=20

DP_{{y}}(M=20)=1.12\cdot 20^{{2}}-45\cdot 20+483.78=448-900+483.78=31.78

\Rightarrow при ожидаемой доходности в 20 процентов мы получили колличественную оценку риска = 31.78

Глядя на уравнение Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): DP_{y}=1.12m^{2}-45М+483.78

,можно сделать

вывод,что зависимость риска от доходности-квадратична.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: