Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Гравитационный 4-потенциал

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Гравитационный 4-потенциал представляет собой четырёхмерную векторную функцию (4-вектор), посредством которой определяются свойства гравитационного поля в лоренц-инвариантной теории гравитации, [1] а также в ковариантной теории гравитации. [2] В состав гравитационного 4-потенциала входят скалярный и векторный потенциалы гравитационного поля. При калибровочном преобразовании потенциалы гравитационного поля могут изменять свой вид, вследствие чего одному и тому же гравитационному полю могут соответствовать не совпадающие друг с другом 4-потенциалы, отличающиеся разной зависимостью от координат и времени.

Определение[править]

Гравитационный 4-потенциал, как и любой 4-вектор, состоит из скалярной и векторной частей, дающих в сумме 4 компоненты:

~D_{\mu }=\left({\frac  {\psi }{c_{{g}}}},-{\mathbf  {D}}\right)=\left({\frac  {\psi }{c_{{g}}}},-D_{x},-D_{y},-D_{z}\right).

Временной компонентой 4-потенциала является скалярный потенциал ~\psi , делённый на скорость гравитации ~c_{{g}}. Пространственную компоненту 4-потенциала представляет векторный потенциал гравитационного поля ~{\mathbf  {D}}, имеющий три компоненты.

Определение 4-потенциала ~D_{\mu } в ковариантном представлении с нижним индексом оказывается предпочтительным по сравнению с контравариантным представлением (с верхним индексом), так как это облегчает решение уравнений.

При переходе из одной системы отсчёта в другую 4-потенциал преобразуется в соответствии с аксиомами метрической теории относительности. В случае пространства Минковского специальной теории относительности преобразования 4-потенциала осуществляются из одной инерциальной системы отсчёта в другую с помощью преобразований Лоренца.

В международной системе единиц СИ гравитационный 4-потенциал ~D_{\mu } измеряется в м/с, в системе физических единиц СГС – в см/с.

Связь с напряжённостью гравитационного поля и полем кручения[править]

Через гравитационный 4-потенциал определяется тензор гравитационного поля, для чего используется четырёхмерный ротор:

~\Phi _{{\mu \nu }}=\nabla _{\mu }D_{\nu }-\nabla _{\nu }D_{\mu }=\partial _{\mu }D_{\nu }-\partial _{\nu }D_{\mu }={\frac  {\partial D_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac  {\partial D_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.\qquad (1)

Антисимметричный тензор ~\Phi _{{\mu \nu }} содержит лишь 6 компонент, три из которых связаны с вектором напряжённости гравитационного поля ~{\mathbf  {\Gamma }}, а другие три компоненты – с вектором поля кручения ~{\mathbf  {\Omega }}. В декартовых координатах данные вектора получаются в следующем виде:

~{\mathbf  {\Gamma }}=-\nabla \psi -{\frac  {\partial {\mathbf  {D}}}{\partial t}}.
~{\mathbf  {\Omega }}=\nabla \times {\mathbf  {D}}.

Из последнего соотношения видно, что поле кручения зависит только от векторного потенциала. В то же время вклад в напряжённость гравитационного поля делает не только градиент скалярного потенциала, но и скорость изменения во времени векторного потенциала.

Калибровка 4-потенциала[править]

Наиболее удобной является калибровка, при которой 4-дивергенция 4-потенциала равна нулю:

~\nabla _{\mu }D^{\mu }=\nabla ^{\mu }D_{\mu }=0.

В специальной теории относительности ковариантная производная ~\nabla _{\mu } превращается в частную производную ~\partial _{\mu }. Это позволяет представить калибровочное условие в явном виде так:

~\partial _{\mu }D^{\mu }={\frac  {1}{c_{g}^{2}}}{\frac  {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf  {D}}=0.\qquad (2)

В лоренц-инвариантной теории гравитации уравнения Хевисайда для гравитационного поля представляются в четырёхмерной форме:

~\partial ^{k}\Phi _{{ik}}={\frac  {4\pi G}{c_{{g}}^{2}}}J_{i},\qquad (3)
~\partial _{n}\Phi _{{ik}}+\partial _{i}\Phi _{{kn}}+\partial _{k}\Phi _{{ni}}=0.\qquad (4)

Можно показать, что условие калибровки 4-потенциала (2) вытекает из определения тензора гравитационного поля (1) и уравнений поля (3) и (4). Если применить к (4) частную производную ~\partial ^{k}, то её действие в первых двух членах в (4) на тензор ~\Phi _{{ik}} можно учесть с помощью соотношения (3). Для третьего члена в (4) получается соотношение ~\partial ^{k}\partial _{k}=\Box , где ~\Box обозначает четырёхмерный оператор Д’Аламбера :

~\Box ={\frac  {1}{c_{g}^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta ,

здесь применяется оператор Лапласа, в декартовых координатах имеющий вид ~\Delta ={\frac  {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac  {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac  {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.

Заменяя ещё в (4) ~\Phi _{{ni}} его выражением согласно (1), из (4) как наиболее простое решение получается волновое уравнение для 4-потенциала, источником для которого служит массовый 4-ток ~J_{i} : [3]

~\Box D_{i}=-{\frac  {4\pi G}{c_{{g}}^{2}}}J_{i},\qquad (5)

где ~Gгравитационная постоянная.

С другой стороны, если в (3) заменить ~\Phi _{{ik}} его выражением согласно (1), то получается снова волновое уравнение (5) для 4-потенциала, но только при выполнении условия калибровки 4-потенциала (2). Тем самым можно считать, что в силу симметрии полей данная калибровка позволяет упростить уравнения поля.

Заметим, что если взять частную производную ~\partial ^{i} от обеих частей в (3), то с учётом (1) левая часть будет равна нулю. Тогда из равенства нулю правой части вытекает уравнение непрерывности для массового 4-тока:

~\partial ^{i}J_{i}=0.

Если из гравитационного 4-потенциала ~D_{i} вычесть калибровочный 4-вектор вида ~\chi _{i}=\nabla _{i}\chi , зависящий от некоторой скалярной калибровочной функции ~\chi , то при условии, что функция ~\chi удовлетворяет волновому уравнению

~\Box \chi =0,

для нового 4-потенциала ~D_{i}^{\prime }=D_{i}-\chi _{i} останется в силе условие калибровки (2), а тензор гравитационного поля согласно (1) не изменит свой вид. Таким образом, в лоренц-инвариантной теории гравитации и в построенной на её основе ковариантной теории гравитации проявляется калибровочная инвариантность.

В ковариантной теории гравитации уравнения Хевисайда (3) и (4) для гравитационного поля обобщаются для искривлённого пространства-времени и записываются так: [2]

~\nabla ^{k}\Phi _{{ik}}={\frac  {4\pi G}{c_{{g}}^{2}}}J_{i},
~\nabla _{n}\Phi _{{ik}}+\nabla _{i}\Phi _{{kn}}+\nabla _{k}\Phi _{{ni}}=0.

Уравнение непрерывности для массового 4-тока становится зависящим от тензора Риччи R_{{\mu \alpha }}: [4]

~R_{{\mu \alpha }}\Phi ^{{\mu \alpha }}=-{\frac  {4\pi G}{c_{g}^{2}}}\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}.

Волновое уравнение вместо (5) выглядит следующим образом:

~g^{{ik}}\partial _{i}\partial _{k}D^{s}+g^{{ik}}(\Gamma _{{kr}}^{s}\partial _{i}D^{r}-\Gamma _{{ik}}^{r}\partial _{r}D^{s}+\Gamma _{{ri}}^{s}\partial _{k}D^{r}+D^{r}\partial _{r}\Gamma _{{ki}}^{s})=-{\frac  {4\pi G}{c_{g}^{2}}}J^{s}.

В искривлённом пространстве-времени в данном уравнении происходит перемешивание компонент векторов. В частности, скалярный потенциал гравитационного поля становится функцией не только от плотности вещества ~\rho , но и от плотности массового тока ~{\mathbf  {J}}=\rho {\mathbf  {V}}, где ~{\mathbf  {V}} – скорость движения вещества.

Решение волнового уравнения для 4-потенциала[править]

В специальной теории относительности коэффициенты Кристоффеля \Gamma _{{kr}}^{s}равны нулю и тогда решение волнового уравнения можно представить в следующем виде: [2]

~D_{i}({\mathbf  {r}},t)=-{\frac  {G}{c_{g}^{2}}}\int {\frac  {J_{i}({\mathbf  {r}}^{\prime },t_{r})}{\left|{\mathbf  {r}}-{\mathbf  {r}}^{\prime }\right|}}{\mathrm  {d}}^{3}x^{\prime },

где гравитационный 4-потенциал ~D_{i} в момент времени ~t в точке пространства, определяемой радиус-вектором ~{\mathbf  {r}}, находится путём интегрирования по объёму, содержащему в себе массовый 4-ток (4-вектор плотности тока массы) ~J_{i}. При этом интегрирование по объёму осуществляется для более раннего момента времени ~t_{r}=t-{\frac  {\left|{\mathbf  {r}}-{\mathbf  {r}}'\right|}{c_{g}}}, где ~{\mathbf  {r}}^{\prime } есть радиус-вектор, задающий расположение массового 4-тока в ранний момент времени, ~c_{g} – скорость гравитации.

Из приведённого решения для временных компонент 4-векторов видно, что скалярный потенциал зависит от плотности вещества некоторой движущейся массы в ранний момент времени и от расстояния от этой массы до точки, где измеряется потенциал. В свою очередь, векторный потенциал зависит ещё от скорости движения массы в ранний момент времени. Наличие интеграла по объёму подразумевает, что для потенциалов гравитационного поля выполняется принцип суперпозиции, и для вычисления суммарного 4-потенциала следует учитывать все источники поля.

4-потенциал собственного гравитационного поля одиночной твёрдой материальной точки может быть получен по-другому – путём умножения скалярного гравитационного потенциала ~\psi _{0} вокруг этой точки, вычисленного в сопутствующей этой точке системе отсчёта, на 4-скорость движения материальной точки:

~D_{i}={\frac  {\psi _{0}}{c_{{g}}^{2}}}u_{i}=\left({\frac  {\psi _{0}}{c_{g}{\sqrt  {1-V^{2}/c_{g}^{2}}}}},-{\frac  {\psi _{0}{\mathbf  {V}}}{c_{g}^{2}{\sqrt  {1-V^{2}/c_{g}^{2}}}}}\right).

Для наблюдателя, относительно которого движется материальная точка, согласно преобразованиям Лоренца скалярный потенциал изменяется за счёт движения точки: ~\psi ={\frac  {\psi _{0}}{{\sqrt  {1-V^{2}/c_{g}^{2}}}}}, а также появляется векторный потенциал, равный ~{\mathbf  {D}}={\frac  {\psi _{0}{\mathbf  {V}}}{c_{g}^{2}{\sqrt  {1-V^{2}/c_{g}^{2}}}}}={\frac  {\psi {\mathbf  {V}}}{c_{g}^{2}}}. Это даёт обычное определение гравитационного 4–потенциала в виде

~D_{i}=\left({\frac  {\psi }{c_{g}}},-{\mathbf  {D}}\right).

Действительно, 4-потенциал любого векторного поля для одной частицы, внутри которой векторные потенциалы полей отсутствуют, может быть представлен так: [5] [6]

~L_{\mu }={\frac  {k_{f}\varepsilon _{p}}{\rho _{0}c^{2}}}u_{\mu },

где ~k_{f}={\frac  {\rho _{0}}{\rho _{{0q}}}} для электромагнитного поля и ~k_{f}=1 для остальных полей, ~\rho _{{0}} и ~\rho _{{0q}} – плотность массы и соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта, ~\varepsilon _{p} – плотность энергии поля частицы, ~u_{\mu } – ковариантная 4-скорость.

Для гравитационного поля ~\varepsilon _{p}=\psi _{0}\rho _{0}, ~k_{f}=1, и полагая равенство скорости света и скорости гравитации ~c=c_{g}, приходим к формулам для 4-потенциала ~D_{i}, представленным выше.

В системе из множества материальных точек, составляющих материальные тела, для нахождения общего 4-потенциала следует суммировать 4-потенциалы всех материальных точек, с учётом различия их 4-скоростей и разного их расположения в пространстве. В результате суммарный векторный потенциал системы точек лишь косвенно отражает суммарный скалярный потенциал данной системы точек, в отличие от прямой связи между скалярным и векторным потенциалом отдельной материальной точки. В случае вычисления суммарного 4-потенциала массивного твёрдого тела, с учётом различных расстояний от частей тела до точки, где определяется 4-потенциал, получаются гравитационные потенциалы Лиенара-Вихерта. [7] [8]

Лагранжиан и действие[править]

Гравитационный 4-потенциал входит в лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном поле, что позволяет записать соответствующую функцию действия: [9] [4]

~S=\int {Ldt}=\int (kR-2k\Lambda -{\frac  {1}{c}}D_{\mu }J^{\mu }+{\frac  {c}{16\pi G}}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}-{\frac  {1}{c}}A_{\mu }j^{\mu }-{\frac  {c\varepsilon _{0}}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}-
~-{\frac  {1}{c}}u_{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}-{\frac  {1}{c}}\pi _{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}d\Sigma ,

где ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени используемой системы отсчёта, ~k – некоторый коэффициент, ~R – скалярная кривизна, ~\Lambda – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, электромагнитный 4-потенциал ~A_{\mu }=\left({\frac  {\varphi }{c}},-{\mathbf  {A}}\right), где ~\varphi есть скалярный потенциал, а ~{\mathbf  {A}} является векторным потенциалом, ~j^{\mu } – электрический 4-ток, ~\varepsilon _{0} – электрическая постоянная, ~F_{{\mu \nu }} – тензор электромагнитного поля, ~u_{\mu } – 4-потенциал поля ускорений, ~u_{{\mu \nu }}тензор ускорений, ~\eta и ~\sigma – постоянные, подлежащие определению, ~\pi _{\mu } – 4-потенциал поля давления, ~f_{{\mu \nu }}тензор поля давления, ~{\sqrt  {-g}}d\Sigma ={\sqrt  {-g}}cdtdx^{1}dx^{2}dx^{3} – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~dx^{0}=cdt, через произведение ~dx^{1}dx^{2}dx^{3} дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~{\sqrt  {-g}} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

В интеграле действия гравитационный 4-потенциал присутствует внутри инварианта ~D_{\mu }J^{\mu }, а также в составе тензора гравитационного поля ~\Phi _{{\mu \nu }} и его инварианта ~\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}. В первом случае 4-потенциал задаёт функцию энергии связи вещества с полем, а во втором случае – энергетическую функцию поля как самостоятельного объекта. Варьирование функции действия приводит к определению тензора энергии-импульса гравитационного поля, задаёт уравнения гравитационного поля (3) и (4), уравнение движения вещества в поле и выражение для гравитационной 4-силы.

Роль 4-потенциала в теории гравитации[править]

В классической механике вместо полного 4-потенциала используют его скалярную компоненту в виде гравитационного потенциала. Это позволяет находить потенциальную гравитационную энергию тел и уравнения их движения. Для вычисления скалярного гравитационного потенциала применяется уравнение Пуассона вида: ~\Delta \psi =-4\pi G\rho , где ~\Delta есть оператор Лапласа, ~\rho – объёмная плотность распределения массы в рассматриваемой точке. Однако получающиеся выражения для потенциала, сил и энергий оказываются не лоренц-ковариантными, то есть возникает проблема при пересчёте результатов из одной инерциальной системы отсчёта в другую.

Гравитационный 4-потенциал практически не рассматривается и в общей теории относительности (ОТО). Это связано с тем, что в ОТО гравитационное поле отождествляется с метрическим полем, причём в качестве гравитационных потенциалов выступают компоненты метрического тензора, а вместо напряжённости поля используются символы Кристоффеля. В слабом поле может быть установлена связь между компонентой ~g_{{00}} метрического тензора пространства-времени и значением гравитационного скалярного потенциала классической механики: ~g_{{00}}\approx 1+{\frac  {2\psi }{c^{2}}}, где ~c – скорость света. Векторный потенциал гравитационного поля ~{\mathbf  {D}}, используемый в лоренц-инвариантной теории гравитации, также может быть выражен через компоненты метрического тензора ОТО.

С другой стороны, при аксиоматическом построении лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ) именно 4-потенциал ~D_{\mu } представляет гравитационное поле, тогда как в отношении вещества это делает массовый 4-ток ~J^{\mu }. Пятая аксиома ЛИТГ утверждает, что даламбертиан от 4-потенциала равен 4-току с соответствующим постоянным множителем. [2] Этого оказывается достаточным, чтобы вывести все соотношения лоренц-инвариантной теории гравитации. Аксиоматика ЛИТГ оказывается той же самой и для ковариантной теории гравитации (КТГ), поскольку КТГ является обобщением ЛИТГ на искривлённое пространство-время, в котором у метрического тензора появляется зависимость от времени и координат.

Гравитационный 4-потенциал, как и электромагнитный 4-потенциал, действуя на пробные тела, оказывает влияние на скорость течения времени в этих телах. [10] Это приводит к тому, что одинаковые процессы, протекающие в телах, находящихся в разных 4-потенциалах, перестают совпадать по фазе. Для гравитационного фазового сдвига между двумя одинаковыми частицами с массой ~m и зарядом ~q, одна из которых находится в некотором гравитационном (электромагнитном) поле, получается:

~\theta _{1}-\theta _{2}={\frac  {m}{\hbar }}\int \limits _{{1}}^{{2}}D_{\mu }dx^{\mu },
~\theta _{1}-\theta _{2}={\frac  {q}{\hbar }}\int \limits _{{1}}^{{2}}A_{\mu }dx^{\mu },

здесь ~\hbar постоянная Дирака, ~A_{\mu } – электромагнитный 4-потенциал, ~dx^{\mu } – 4-перемещение частицы во времени и пространстве.

Последнее соотношение для сдвига фаз в электромагнитном поле подтверждается эффектом Ааронова-Бома.

Теорема энергии поля, имеющая тот же смысл для полей, что и теорема вириала для частиц, применима к векторному гравитационному полю в искривлённом пространстве-времени. В формулировке теоремы присутствует гравитационный 4-потенциал: [11]

~-\int {\left(-{\frac  {8\pi G}{c^{2}}}D_{\alpha }J^{\alpha }+\Phi _{{\alpha \beta }}\Phi ^{{\alpha \beta }}\right){\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={\frac  {2}{c}}{\frac  {d}{dt}}\left(\int {D^{\alpha }\Phi _{\alpha }^{{\ 0}}{\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)+2\iint \limits _{S}{D^{\alpha }\Phi _{\alpha }^{{\ k}}n_{k}{\sqrt  {-g}}dS}.

См. также[править]

Ссылки[править]

  1. Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  3. Федосин С.Г. Современные проблемы физики, М: Эдиториал УРСС, 2002, ISBN 5-8360-0435-8. 192 стр., Ил.26, Библ. 50 назв.
  4. 4,0 4,1 Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  5. Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, no. 18, pp. 771-779 (2014). http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.
  6. Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.
  7. Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body. Preprints 2017, 2017040150. http://dx.doi.org/10.20944/preprints201704.0150.v1; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела.
  8. Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body in the Light of Gravitomagnetic Theory. Canadian Journal of Physics, Vol. 92, No. 10, pp. 1074-1081 (2014). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2013-0683; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела в свете теории гравитомагнетизма.
  9. Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, Vol. 35, No. 1, pp. 35-70 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889804; статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.
  10. Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, Vol. 5, No. 4, pp. 55-75 (2012). http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.
  11. Fedosin S.G. The Integral Theorem of the Field Energy. Gazi University Journal of Science. Vol. 32, No. 2, pp. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783. // Интегральная теорема энергии поля.

Внешние ссылки[править]

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: