Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Вариационное исчисление

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Вариационное исчисление

- История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII столетия многие знаменитые геометры, как, например, Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода - вопрос о виде брахистохроны, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Меthod u s inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Th é orie des Fonctions analytiques" и "Le çons sur le Calcul des Foncti ons"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations).


Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от x, которая, будучи подставлена вместо у в данную функцию F от х, у, dy/dx, d2y/dx2..., дала бы интегралу



b10_523-1.jpg



наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что х 1 и x2, а также и соответствующие им у 1 и у 2 имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет



b10_523-2.jpg



где x1 и x2 суть абциссы данных точек.


Другой пример: требуется провести такую кривую y = f(x) между двумя точками (х 1, у 1) и (x2, y2) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси X -ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет:



b10_523-3.jpg



Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: вариация и вариирование. Предположим, что искомая функция f(x) найдена и что проведена кривая линия y = f(x), делающая интеграл S наибольшим или наименьшим. В функции f(x), кроме x заключается один или несколько параметров, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под вариацией от у подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты у есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через δ у. Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры f(x) суть α, β, γ; бесконечно малые приращения их означим через δα, δβ, δγ . Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить δ у так:


δ y = [df(x)/d α ] δα + [df(x)/d β ] δβ + [df(x)/d γ ] δγ .

Следовательно, варьирование ординаты у, или f(х) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой.


При варьировании f(х) производные у', y" … от функции по x также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: δ у, δ y", Эти вариации производных можно представить так, например, δ у:


δ y' = (ddy/d α dx) δα + (ddy/d β dx) δβ + (ddy/d γ dx) δγ


а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс x, то можно переменить порядок действий получения производных по x и по параметрам; самые приращения δα, δβ, δγ от x не зависят, а потому:


δ y' = d/dx[(dy/d α) δα + (dy/d β) δβ + (dy/d γ) δγ ] = d δ y/dx (A).

Точно так же можно показать, что:


δ y" = d2 δ y/dx2 ,…(A1) и т. д.


При варьировании у, функция F(x, y, у', у",... ) получает приращение, равное:


Δ F = F(x, y + δ y, y' + δ y,…) - F(x, y, y,…).

Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций δ y, δ y, δ y". Вариацией первого порядка функции F называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций δ у, δ y, δ y" … Эта вариация первого порядка от F обозначается также знаком δ, так что


δ F = (dF/dy) δ y + (dF/dy') δ y' + (dF/dy") δ y" +


Удвоенную сумму тех членов приращения F, которые заключают вторые степени и произведения вариаций δ у, δ у, δ у"… по две, называют вариацией второго порядка от функции F и обозначают ее так: δ 2F.

Если составить выражение приращения, получаемого интегралом (S), при варьировании ординаты у , то найдем, что оно равняется интегралу от Δ F и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла S:



b10_524-1.jpg



Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка:



b10_524-2.jpg



Составленное выражение δ S может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только δ у, но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (А), (А 1) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по x от δ у. Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что δ у 1 = 0 и δ у 2 = 0 (так как y1 и у 2 имеют данные постоянные значения), получим:



b10_524-3.jpg



где


(F) = dF/dy - d/dx(dF/dy') + d2/dx2(dF/dy")


Для того, чтобы интеграл S был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы δ S была равна нулю, какою бы функцией от x ни была δ у; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций δ у возможно только тогда, когда (F) = 0. Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция у = f(x), делающая S наибольшим или наименьшим.


Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению:



b10_524-4.jpg



из которого следует, что у' = С и у = Сх + С 1, где С и C1 - постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия - прямая.


Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией.


С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл S наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс ("Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", "Gesammelte Werke" Bd. V); Пуассон (в "M émoires de l'Acadé mie des Sciences", vol. 12, 1833) - в применении к двойным интегралам; Остроградский ("M é moire sur le calcul des variations des integrales multiples", в "Mem. de l'Acad. des Sciences de S-P é tersb." 1838; "Crelle's Journal", vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби ("Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen", в "Gesam. Werke", т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариационного исчисления может служить: "Calcul des Variations р. Moigno et Lindel ö f" (1861, четвертый том "Le ç ons de Calcul differentiel et integral p. Moigno"). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: "A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century", 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона.

Д. Бобылев.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: