Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

БТФ и классы вычетов по mod n

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

БТФ и классы вычетов по mod n


Необходимо доказать, что для любого натурального ~n>2 уравнение ~a^{3}+b^{3}=c^{3}; 1) не имеет натуральных решений.

Доказательство построено на анализе степенного выражения, остающегося после деления разности точных кубов на величину

~3D_{b}=3(c-a) (2.0)

Как известно, частное от деления разности точных степеней на величину (2.0) всегда есть величина, относящаяся к первому классу вычетов по mod 3.

Можно записать равенство:

~6(b/p_{i}(p_{i}^{3}-p_{i})+p_{i}^{3}[(b/p_{i})^{3}-b/p_{i}]+D_{b}=bp_{i}^{2}+p_{i}^{3}(b^{3}/p_{i}^{3}-b/p_{i})=b^{3} ; (2.1)

Где: p_i- пенал, набор сомножителей.

Принимаем обозначение:

~Q_{b}=(b^{3}-b)/6; (2.2)

На основании чего выражение (2.1) можно записать:

~b^{3}=b*p_{i}^{2}+p_{i}^{3}*Q_{{b/p_{i}}}; (2.3)

В качестве пенала может использоваться при рассмотрении точного куба любой набор сомножителей, и тех сомножителей, которые присутствуют в основании степени, и тех, которые не присутствуют.

В доказательстве используется пенал, равный ~b_{i} при условии, что ~b=b_{i}*b_{x}. Для того, чтобы получить возможность выражать разность точных степеней через единый пенал, в приводимом доказательстве, используем приведение оснований ~c и ~a к основаниям, например:

~c_{p}=y00001_{3}*2-2 ; (2.4)

и

~a_{p}=x00002_{3}*2-2; (2.5)

Приведение к такому виду при использовании ~n -ого счисления осуществляется посредством умножения оснований равенства (1) на дополнительные сомножители, обеспечивающие возникновение в основаниях идеального штампа ...y00001_3.

Идеальный штамп – это набор младших нулевых разрядов, завершающихся единицей. Умножение оснований с идеальными штампами на два (2) и вычетанием 2-ки завершают используемую корректировку оснований. Следует отметить, что при наличии в основании ~b двух нулевых сомножителей и более, возникает возможность использования в качестве дополнительных сомножителей, используемых для приведения оснований ~a и ~c к величинам с идеальными штампами, точные кубы. Действительно, так как ~(a+b)=(c_{i})^{3}, при условии, что ~c=c_{i}*c_{x}, основание ~a изначально, как и основание ~c, должны иметь идеальные штампы ~01. Что и позволяет использовать в качестве дополнительных множителей точные кубы. Эта возможность позволяет нам утверждать, что разность точных кубов посмле деления её на величину (2.0) должна обеспечивать частное, являющееся точным кубом. А значить принадлежать к первому классу вычетов по mod n. Итак, выражаем разность точных кубов с приведёнными основаниями:

~(2D_{b}*(2b_{i})^{2}+(2b_{i})^{3}[c_{p}^{3}/(2b_{i})^{3}-a_{p}^{3}/(2b_{i})^{3}-c_{p}/b_{i}+a_{p}/2b_{i}]; (2.7.1)


Однако при этом остаётся величина, не учтённая в полученной разности по сравнению с разностью степеней с заданными основаниями с учётом сомножителя 2. Эту неучтённую величину мы именуем резервом ~R. Чему равен резерв? В данном варианте.

Известно, что ~Q в таком выражении при чётном основании:

\1^2+\3^2 +\...+\(b-1)^2; (3.1)


Известно, что ~Q в таком выражении при нечётном основании:

\1^2+\2^2+\...+\(b-1)/2*(b-1)/2; (3.2)

Поэтому, если скорректированные нами основания уменьшаются на 2 (два), величина резерва равна:

~R=6[(c_{p}+1)^{2}-(a_{p}+1)^{2}]; (3.3)

Чтобы завести резерв за квадратные скобки во второе слагаемое выражения (2.7.1) необходимо выражение (3.3) разделить на ~{2b_{i}}^{3} .

~D_{b}*b_{i}^{2}+b_{i}^{3}(c_{p}^{3}/{2b_{i}}^{3}-a_{p}^{3}/{2b_{i}}^{3}-c_{p}/2b_{i}+a_{p}/2b_{i}+6[(c_{p}+1)^{2}-(a_{p}+1)^{2}]/{2b_{i}}^{3}; (2.7.2)


Теперь. упростив наши рассуждения, можем записать:

~(c_{p}^{3}/{2b_{i}}^{3}+6[(c_{p}+1)^{2}-(a_{p}+1)^{2}]/{2b_{i}}^{3}; (2.7.2)

Первое слагаемое в выражении (2.7.2) после деления на знаменатель в троичном счислении обеспечивает частное с девятью нулевыми разрядами. Поэтому принадлежность к классу вычетов по mod 3 выражения (2.7.2) зависит от принадлежности к классу вычетов второго слагаемого этого выражения. На основании выражения (2.7.2) можно утверждать, что умножением разности точных кубов на степень можно изменять и принадлежность разности степеней, и принадлежность рассматриваемого частного, получаемого от деления разности степеней на величину (2.0), а значить и изменять принадлежность анализируемой величины к различным классам вычетов по mod n, что не должно иметь место. Это и является утверждением того, что утверждение БТФ справедливо. Что и требовалось доказать.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: