Арифметика

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск
Реклама на Викизнании


Арифметика, наука (от греч. слов άριθμος - число и τέχνη - искусство) - раздел математики, Наука изучающая простейшие свойства чисел, в первую очередь, натуральных.

А. можно делить на низшую и высшую, понимая под первой четыре основных действия с целыми и дробными числами и их практические применения, учение о пропорциях, возвышение в степень, извлечение квадратных и кубичных корней и решение численных уравнений, между тем как высшая А. занимается исследованием свойств чисел вообще, деления целых чисел на части, непрерывных дробей и пр. - А. находится в тесной, неразрывной связи с алгеброй, которую Ньютон называл "Общей арифметикой"; вот почему действия - возвышение в степени, извлечение корней и решения численных уравнений, относящиеся собственно к алгебре, - должны войти в состав А., рассматривая последнюю как техническую часть алгебры. Рассматривая возвышение в степень как частный случай умножения и принимая во внимание, что при извлечении корней и решении численных уравнений мы производим какое-либо из четырех основных действий, некоторые математики силились ограничить А. лишь основными действиями, а именно: сложения, вычитания, умножения и деления, но подобное ограничение несправедливо, так как три второстепенных действия А. производятся в известном порядке, который составляет существенную часть каждого действия. Многие писатели затруднялись разграничением алгебры от А., так как первая занимается теми же действиями, что и вторая. Приняв, однако, в соображение, что алгебра доказывает те правила, которыми А. руководствуется, и что алгебра имеет предметом преобразование действий одних в другие так, чтобы А. оставалось лишь исполнение самых простейших действий, можно, таким образом, утверждать, что алгебра есть обобщенная А., которая, в свою очередь, есть наука о числах и свойствах вполне определенных величин.

Арифметика1937.jpg

История Арифметики[править]

Арифметика1959.jpg

Трудно сказать что-либо положительное о времени и месте рождения А. Многочисленные исследователи этого вопроса приписывают открытие истин А. различным народностям и приурочивают его к разным эпохам. Историк Иосиф Флавий ("Древняя Иудея", кн. I, гл. 8) утверждает, что еще праотец Авраам в пребывании своем в Египте, во время голода, постигшего Ханаанскую землю, первый обучил египтян арифметике и астрономии. Платон (in Phaedro) и Диоген Лаэрций (i n Proemio) тоже считают Египет колыбелью А. и геометрии. Они говорят, что числа, числительное искусство и геометрия ниспосланы египтянам от их бога Тевта (Theut), или Тота (Thot), владевшего торговлею и числами, подобно греческому Меркурию. Другие, более позднейшие исследователи полагают, что А. открыта халдейцами, а Страбон в своей "Географии" говорит, что современники его приписывали изобретение А. финикиянам, так как они первые стали производить обширную торговлю, которая, без сомнения, требовала некоторых познаний в счетной науке. Оставляя, однако, в стороне подобные догадки, достоверным можно принять относительно исторического происхождения А., что люди начали считать с того самого отдаленного времени, когда, приходя во взаимное столкновение между собою, они стали группироваться в общества, ибо, без сомнения, они знали число членов своих семейств, считали свои стада и т. п. Таким образом, начало А. должно отнести к эпохе первого проявления гражданского строя среди людей; что же касается усовершенствования первобытных понятий о счислении, то они должны быть отнесены к гораздо позднейшим временам. Первыми историческими математиками, сознательно излагавшими А. как науку, должны быть признаны древние греки, а именно: Эвклид (7-10 книги его "Элементов"), Диофант - математик IV ст. до Р. Х. (оставил по себе 13 трактатов, из которых до нас дошло 6) и Никомах, живший в I веке до Р. Х. В их сочинениях мы встречаемся с двумя различными терминами: Λογιστική - логистика, так называемое "числительное искусство", и αριθμητική - арифметика, наука о свойствах чисел; очевидно, что древние греки различали особенными именами практическую часть А. от теоретической. Греки, обогатив А., заимствованную ими, вероятно, от египтян, передали ее через александрийскую школу римлянам и арабам, от которых она начинает проникать повсюду лишь в эпоху Возрождения. Открытие книгопечатания оказало немаловажную услугу распространению первоначальных истин А. Насколько медленно проникали во всеобщее сознание эти истины до эпохи Возрождения, видно из того факта, что даже у арабов, ревностных носителей "математической цивилизации", всякий знавший едва четыре основных действия А., считался ученым математиком; при всем том число подобных ученых было весьма ограничено. С открытия книгопечатания стали чаще появляться монографии и трактаты по А., которые хотя не вносили ничего нового в А., унаследованную от арабов и греков, но вместе с тем получался толчок к усовершенствованию древних методов. В 1478 г. было напечатано в С.-Альбанс одно из выдающихся сочинений по А., под заглавием "Rhetorica nova Gulielmi de Saona", в котором с особой ясностью изложены простейшие действия А., или "Алгоризма", как еще называли греки А-у. Почти одновременно, в 1484 году, вышло прекрасное сочинение итальянца Лукаса де Бурго "Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita", в котором А. посвящен длинный обзор состояния этой науки до конца XV-го столетия. С начала XVI-го века появляются все чаще мемуары по А., обогащенные новыми сведениями сравнительно с арабскими и унаследованными от Диофанта. Так, в 1586 г. вводятся десятичные дроби Симоном Стевином - весьма существенное прибавление к так называемому Алгоризму. Голландец Альберт Жирар почти одновременно распространяет наше письменное счисление на десятичные дроби, а англичанин Райт (Wright) в 1616 г. заключил даже в скобки сложные знаки; в следующем же году знаменитый Непир (Napier) доводит знакоположение А. до нынешнего ее состояния.

Одной из самых интересных страниц истории А. должно признать вопрос о счислении. Сведения, собранные различными исследователями этого важного вопроса, сводятся к тому заключению, что почти у всех народов спокон веков была принята система десятеричного счисления. Джордж Пикок (Peacock), проф. Кембриджского универ., приводит в своей статье об А. для "Encyclopedia metropolitana of pure mathematics" прекрасные данные о системах счисления даже у диких племен, и там мы встречаем десять различных слов у каждого наречия, которые служат основанием счисления. Объяснения подобного совпадения систем должно искать в факте наличности десяти пальцев у человека, который на первых ступенях своего развития естественно прибегал к своим пальцам для выражения числа. Письменное счисление десятью цифрами получило свое начало, как надо полагать, на Востоке, а именно у индусов, которые передали свое искусство для усовершенствования арабам, изучившим творения греков по "числительному искусству". Вполне достоверно на основании дошедших до нас памятников, что арабы еще в конце X века совершенно понимали употребление 1 0 цифр и не могли не сообщить своего знания всем народам, с которыми имели сношения. В начале XI века мавры, овладевшие Испанией, прилежно занимались там математикой и особенно "Логистикой" греков и послужили, таким образом, впоследствии такими же наставниками по математике для христианского мира, как египтяне для греков. С появлением цифр в переводе Птоломеева "Алмагеста", изданном в Испании в 1136 г., индийское (так назыв. ныне арабское) знакоположение делается употребительнейшим между учеными. В общежитии, однако, римские цифры господствовали до половины XV в., когда наступает некоторым образом эпоха смешения римских и арабских знаков; мало-помалу римские знаки уступают место арабским среди ученых, благодаря которым арабские и делаются всеобщим достоянием. Понятно, что весьма трудно проследить весь процесс преобразования нашего счисления; прибавим поэтому только, что А. достигла настоящей степени совершенства лишь благодаря гениальным трудам корифеев математики последних двух столетий; достаточно упомянуть имена Ньютона, Лейбница, Валлиса, Эйлера и др., чтобы представить себе, сколько трудов было потрачено, пока А. достигла той степени изящества и простоты, на которую она возведена в настоящее время.

Небезынтересно будет упомянуть, как постепенно распространялась А. в нашем отечестве. Карамзин полагает ("История Госуд. Рос.", т. X, стр. 259), что первая русская А. появилась в исходе XVI ст., под следующим названием: "Книга, рекома по гречески Арифметика, по-немецки Алгорисма, а по-русски - Цифирная счетная мудрость". В предисловии к этому сочинению, между прочим, сказано: "Сир, сын Амноров, муж мудр бысть; сий же написа численную сию философию финическими письмены, яко же он мудрый глаголет, яко безплотна сущи начала, телеса же преминующая.... Без сея книги ни един философ, ни дохтур не может быти; а хто сию мудрость знает, может быть у государя в великой чти и в жалованьи; по сей мудрости гости по государствам торгуют и во всяких товарех и в торгех силу знают, и во всяких весех и в мерах и в земном верстании и в морском течении зело искусны и счет из всякого числа перечню знают". Это витиеватое предисловие наглядно показывает, что ничего систематического нельзя ожидать от подобного арифметического курса. Действительно, мы тут имеем дело с обрывочными сведениями о 4-х первоначальных действиях, трактованных еще по древнему методу греков; при этом мы находим также римские цифры, а не арабские. С арабскими цифрами А. была впервые сочинена и опубликована у нас учителем математики на Сухаревой башне (в Москве) Леонтием Магницким, в 1703 г. По мнению другого исследователя русской старины, Голикова (см. "Дополнения к деяниям", кн. V, стр. 78), Петр Великий привез в 1698 г. из Лондона многих ученых морских офицеров, в числе коих был Фергарсон, который будто ввел впервые в России арабские цифры. Бесспорно, что со времени великого преобразователя России А. наравне с другими науками получает свое направление с Запада и совершенствуется сообразно состоянию А. у наших соседей. Благодаря же трудам знаменитого Эйлера, бывшего академиком нашей академии наук, и целой плеяды славных его учеников А. вместе с алгеброй получают самостоятельное направление и независимо от иностранных математиков движутся быстрыми шагами вперед, дойдя до той формы, которую А. сохранила до настоящего времени. Мы ограничились лишь кратким обзором истории А., отсылая читателя за подробностями к соответствующим статьям, составляющим содержание А., и к специальным сочинениям, перечисленным нами ниже (см. статьи: Дроби, Тройное правило, Проценты, Цепное правило, Товарищества и др.).

Содержание А. Низшая А. К этому отделу причисляют обыкновенно: четыре основные действия с целыми и дробными числами, учение об отношениях и пропорциях, тройное правило и основанные на нем: проценты, учет векселей и правила - цепное, товарищества и смешения. К высшей А. относят исследование свойств чисел вообще и деление целых чисел на части. Кроме того, различают еще практическую А. от теоретической, что подходит под деления А. на низшую и высшую. Надо еще упомянуть о так называемой политической А., под которой понимают применение общей А. к вычислению рент, лотерей, эмеритур и пр., хотя все эти вопросы основаны, собственно, на теории вероятностей (см. Политическая А.).

Литература А. Эвклида, "Elementa" - около конца IV стол.; Диофанта, "Arithmetica" (III в.); Никомаха, "Theologumena Arithmetices" (I в. до Р. Х.); Боэций (VI ст. после Р. Х.); Сакро-Боско (1226), "Algorithmus seu Arithmeticae introductio" (изд. в Венеции 1523); Иордан Немогарий (1524, напечатано готическим шрифтом); Стифелия, "Arithmetica Integra" (1544); Бернард Солиньяк (Solignac) (1580); Адам Риз (Reesse, 1610); Петр Апианий (1627); Альберт Жирар (1629); Валлиса, "Arithmetica infinitorum" (1655); Ньютона, "Opera" (1666); Лейбница, "Opera" (1677); Паппа, "Collectanea Ma t hematica"; Лесли, "Philosophy of Mathematics"; Эйлер, Абель, Лагранж, Де-Моавр, Гаусс, Коши и др. Учебники на русском языке, Малинин и Буренин, Буссе, Леве и мн. др.


См. также[править]

  • Теория чиселАрифметика (от греч. арьЭцо; - число) - наука о числах (в первую очередь о натуральных числах и рациональных дробях) и действиях над ними. Обычно под А. подразумевают учебный предмет в средней школе, имеющий целью ознакомить с числами целыми и дробными (положительными), научить выполнению действий над ними (сложение, вычитание, умножение и деление) и дать прочные навыки решения простейших задач, к к-рым приводит счёт и измерение. Обучение этому предмету развивает логическое мышление детей, их сообразительность, даёт необходимую подготовку к практической деятельности и является основой для всего дальнейшего изучения математики и физики.

Как наука А. отождествляется в наст, время с теорией чисел (см. Чисел теория), представленной в

школьном курсе лишьнемногими элементарными сведениями о делимости целых чисел. В теории чисел изучаются числа (не только рациональные и гл. обр. целые, но и иррациональные, и не только действительные, но и мнимые) с точки зрения строения чисел, возможности представлять одни числа через другие, более простые по споим свойствам. Изучение действий (простейшими и наиболее важными из к-рых являются арифметич. действия над целыми или дробными числами), применяемых и к числам более общей природы, а также к мате-матич. объектам, не являющимся числами (напр. к векторам идр.), относится к алгебре (см.). Практика выполнения действий А., в тех огромных, непосильных для отдельного вычислителя, масштабах, в к-рых они производятся для нужд банковского дела, статистики и нек-рых отраслей техники п науки, отошла от А. к т. п. машинной математике, где разрабатываются особые приёмы вычислений, наилучшим образом приспособленные к осуществлению их вычислительными машинами (см.) того или иного типа.

Исторический очерк. Возникнув в глубокой древности из практических потребностей счёта и простейших измерений, А. развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерения расстояний, времени, площадей и требованиями, к-рые предъявляли к ней другие науки. Ниже характеризуются важнейшие этапы происхождения и разлития гл. обр. тех элементов науки, из к-рых в настоящее время складывается школьный предмет А.

О возникновении счёта и о начальных стадиях образования арифметич. понятий судят обычно по наблюдениям, относящимся к процессу счёта у первобытных народов и, косвенным образом, путём изучения следов аналогичных стадий, сохранившихся в языках культурных народов и наблюдающихся при усвоении этих понятий детьми. Эти данные говорят о том, что развитие тех элементов мыслительной деятельности, к-рые лежат в основе процесса счёта, проходит ряд промежуточных этапов.

«Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1950, стр. 37). К числу элементов мыслительной деятельности, о которых идёт речь, относятся: умение узнавать один и тот же предмет и различать различные предметы в подлежащей счёту совокупности предметов; умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга и, вместе с тем, равноправные при счёте (пользование именованной «единицей» счёта); умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств, вначале непосредственно, а затем-путём сопоставления их с элементами раз навсегда упорядоченной совокупности объектов, т. о. совокупности объектов, расположенных в определённой последовательности. Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счёте предметов любой качественной природы и отвечающие образованию отвлечённого понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметич. понятий.

Сначала счёт оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, за пределами к-рого количественные различия осознаются смутно и характеризуются словами, являющимися синонимами слова «много»; при этом орудием счёта служат зарубки па дереве («бирочный» счёт), счётные камешки, чётки, пальцы рук и т. п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, например: «глаза» - как синоним числительного «два», кисть руки («пясть»)- - как синоним и фактическая основа числительного «пять» и т. п.

Словесный порядковый счёт (раз, два, три п т. д.), прямую зависимость к-рого от пальцевого счёта (последовательное произнесение названий пальцев, частей рук) в нек-рых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счётом групп, содержащих определенное число предметов. Это число образует основание соответствующей системы счисления (см.), обычно, в результате счёта по пальцам двух рук, равное 10; встречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80, «quatre-vingt» - 4x20), по 40 («сорок сороков»), по 12 («дюжина»), по 60 и даже по 11 (в Новой Зеландии). В эпоху развитых торговых сношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно обнаруживали тенденцию к единообразию у общавшихся между собой племён и народностей; это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в настоящее время системы нумерации, принципа поместного (поразрядного) значения цифр и способов выполнения арифметических действий. Повидимому аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имён числительных в различных языках: например два - dva (санскр.), ббо (греч.), duo (лат.), two (англ.).

Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметич. знаний в эпоху древних цивилизаций являются письменные документы Египта и прежде всего т. п. папирус Ринда (см. Папирусы математические), написанный приблизительно за 2 тыс. лет до п. э. п, возможно, имеющий в основе еще более древнее сочинение. Это - сборник задач с указанием их решения, правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами, без каких бы то пи было пояснений теоретического характера. Решение некоторых задач в этом сборнике производится, по существу, с помощью составления и решения уравнений; встречаются также арифметическая и геометрическая прогрессии. Особое внимание обращает насебя своеобразная техника обращениясдроб-ными числами, основанная на представлении дробей в виде суммы дробей с числителем единица (т. н. аликвотных дробей). Для таких разложений в папирусе приведены и нек-рые вспомогательные таблицы; так, например, дробь - - записана в

у

11 21

виде -+Y^; умножение -д-Ху осуществлялось так:

у -= 35" 2.5

6.5'

Сравнительно недавно исследованные глиняные плитки библиотеки ассирийского царя Ашшурбани-пала (7 в. до н. э.) позволяют судить о довольно высоком уровне арифметич. культуры вавилонян за 2 - 3 тысячи лет до н. э., объясняемом потребно стями торговли и управления в большом централизованном государстве, включая и выполнение астрономических расчётов, необходимых для упорядочения календаря и связанных с религиозным культом.

Письменная нумерация вавилонян в клинописных текстах представляет собой своеобразное соединение десятичной системы (для чисел, меньших 60) с шестидесятиричной, с разрядными единицами 60, 602 и т. д. Соответствующие клинописные цифры записываются в порядке старшинства слева направо, причём лишь в позднейших текстах появляется знак для отсутствующих промежуточных разрядов, а нули в конце, как правило, не выписываются. Наиболее существенным показателем высокого уровня А. является употребление шестидесятиричных дробей с распространением на них той же системы нумерации, аналогично современным десятичным дробям; разделительный знак, отвечающий нашей запятой, не употреблялся, так что выбор, например, между числами а.60 + Ь, а +

+ кп> ?7С +?«!>•••> обозначавшимися одинаково заданием «цифр» а и Ъ, должен был проводиться по смыслу текста.

Преимущества шестидесятиричной системы заключаются в большом числе делителей числа 60. Происхождение её связывалось с потребностями календарного деления года: этой цели отвечает замена числа дней в году числом 12 X 30 и соответствующее деление полной окружности (эклиптики), отвечающее делению на 60 частей дуги, опирающейся на хорду, равную радиусу круга. И сейчас еще в измерении времени и углов мы пользуемся этой системой счисления (деление суток на 24 часа, часа и градуса - на 60 минут, минуты - на 60 секунд). То обстоятельство, что ввиду частой необходимости делить на 2 и на 3 части, число 6 включается в качестве множителя в единичные отношения мер, можно наблюдать еще и сейчас в английской системе мер: деление фута на 12 дюймов, шиллинга на 12 пенсов, аптекарского (римского) фунта на 12 унций и т. н.

Техника выполнения арифметич. действий у вавилонян, в теоретическом отношении аналогичная обычным приёмам в десятичной системе счисления, осложнялась необходимостью прибегать к обширным таблицам умножения (для чисел от 1 до 59). В сохранившихся клинописных материалах, представлявших собой, невидимому, учебное пособие, мы находим, кроме того, и соответствующие таблицы обратных чисел (двузначные и трёхзначные, то есть с точностью до g7^H<nr»)>

применявшиеся при делении. В пособии помещены также задачи на «проценты» (в шестидесятых, а не в сотых долях) с краткими решениями и ряд довольно сложных задач числового и геометрического содержания, с современной точки зрения относящихся уже к алгебре (требующих извлечения квадратных и кубичных корней и решения уравнений 2-й и даже 3-й степени).

У греков практическая сторона А. не получила дальнейшего развития, система письменной нумерации с помощью букв алфавита (например 2 обозначалось буквой р, 20 - буквой х, 200-буквой о и т. п.) была значительно менее приспособлена для производства сложных вычислений, нежели вавилонская (показательно, в частности, что греческие астрономы предпочитали пользоваться шестидесятиричной системой). С другой стороны, греческие математики положили начало теоретической разработке А. в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций, измерения величин н - в неявной форме - также и теории иррациональных чисел. В «Началах» Эвклида мы находим сохранившее своё значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (см. Алгоритм Эвклида); доказательство несуществования рационального числа, квадрат которого равен 2 (иррациональность числа У"2), и изложенную в геометрической форме теорию пропорций, включающую положения, логически равносильные современной теории иррациональных чисел по Дедекинду. К рассматривавшимся теоретико-числовым задачам относятся задачи о совершенных числах (Эвклид), о пифагоровых числах (удовлетворяющих соотношению x2-f-+ I/2 = zs), а также - уже в более позднюю эпоху - алгоритм для выделения простых чисел («решето Эратосфена»), учение о фигурных числах (Нико-мах, 1 в. н. э.) и решение ряда неопределённых уравнений 2-й и более высоких степеней (Диофант, 3 в. н. э.). Сочинение Никомаха «Введение в арифметику» является первым известным нам систематическим руководством по А.; оно сыграло значительную роль в развитии европейской математики в средние века.

Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл «Псаммит» Архимеда (3 в. до н. э.), в к-ром доказывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. С именем Архимеда связывается и одна из первых известных нам задач неопределённого анализа, задача о быках, наименьшее решение к-рой выражается 206 545-значным числом. Сочинения Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближённых значений искомых величин (извлечение корня и многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел:

. 153

{° <1т < 3| и т. п.).

Римляне не продвинули вперёд технику вычислений, оставив, однако, в наследство последующим векам дошедшую до нашего времени систему нумерации (римские цифры), мало приспособленную для производства действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел. Помимо пальцевого счёта, римляне широко применяли в качестве вспомогательного прибора при выполнении действий счётную доску - абак (см.), отражавшую, как и система римской нумерации, своеобразное сплетение десятичной, пятеричной и - для дробей - дне-надцатиричной системы счисления. Аналогичным, но конструктивно более удобным прибором (сван-пан или соробан)с исключительной виртуозностью пользуются с давних пор в Китае и Японии. Различные формы абака (в особенности счётная доска, посыпаемая песком, применявшаяся также индусами и греками) в средние века долго конкурировали с письменным производством вычислений. Из простейших счётных приборов бесспорно наиболее совершенным являются издавна известные в России («дощаный счёт») русские счёты (см.); с практической точки зрения они представляют ряд преимуществ по сравнению с нек-рыми позднейшими механическими приборами для сложения и вычитания.

Трудно проследить преемственность в развитии математики в отношении предыдущих, .более древних, культур; однако чрезвычайно важные этапы в развитии А. связываются с культурой Индии, оказавшей влияние как на Западные страны, так и на страны Востока (Китай, Япония). Помимо применения алгебры к решению задач арифметического (в частности и теоретико-числ'оного) содержания, наиболее существенной заслугой индусов является введение позиционной системы нумерации (с применением десяти цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), вытеснившей с течением времени все остальные способы записи чисел и сделавшей возможной разработку сравнительно простых правил выполнения 'основных арифметических действий. Может быть прослежена-связь цифр (см.), называемых нами «арабскими», с первоначальными индусскими начертаниями; нужно, однако, заметить, что обозначения для первых четырёх порядковых чисел, употреблявшиеся египетскими жрецами («гис-ратическое письмо»), мало отличаются от современных.

Учёные средневекового Востока, влияние к-рых распространялось на огромную территорию средиземноморских стран и Зап. Азию вплоть до Индии, не только сохранили Б переводах наследие греческих математиков, по и содействовали распро--странению и- дальнейшему развитию достижений индусов. Методы выполнения арифметических действий, в значительной части еще далёкие от современных, но уже использующие преимущества позиционной системы счисления, с-начала 2-го тыся--челетия н. э. стали постепенно проникать в Европу, раньше всего в Италию и Испанию, положив на--ч-ало длительной борьбе -между а б а ц и с т а м и н сторонниками новых методов - алгоритм и-к а м и. Последнее название ведёт своё начало-от имени знаменитого хорезмского математика Мухаммеда сына Мусы из Хорезма (Аль-Хорезми), к-рому принадлежит также одно из лучших руководств того времени по А., сохранившееся в переводе на.латинский язык.

Средневековые'методы производства вычислений до сих пор применяются в нек-рых магометанских (религиозных) школах, в к-рых несколько десятков различных способов производства действий умножения и деления составляют особый предмет преподавания. Среди этих способов - интересные образцы применения индусского приёма умножения, при к-ром группируются и в конечном итоге суммируются цифры частных произведений, отвечающие различным разрядам произведения (умножение «коим»):

4 2 2

24 • 6 7 3

324 4 9 9 3

32 2 2 6

3 3 1 4

Здесь множители 324 и 143 пишутся сначала вне вертикальных черт (снизу вверх). Затем 324 умножается на 1, причём цифры пишутся снизу вверх справа от левой черты; далее цифры множимого слева от черты поднимаются на одну строку вверх, его цифры умножаются на вторую цифру множителя (4), а результаты записываются на одну строку выше; наконец, множимое записывается третий раз ещё строчкой выше, производится умножение его

W5248

цифр на единицы множителя (3), результаты записываются строкой выше; затем цифры в каждой строке внутри черт складываются, результат 46332 читается снизу вверх. Если сложение в промежуточных разрядах производить в уме, то мы придём к индусскому способу «молния», известному и италь- 2 янским алгоритмикам. В руководстве Луки Начисли («Suinma de arithmetica», 1494) мы находим под названием «крестик без клетрк» такую запись умножения 416x253 (см. схему): сначала перемножают 6x3-18 и пишут 8; затем составляют, следуя последовательно вычерчиваемым линиям, фигуры 1x3+5x6 + 1=34 и пишут 4; далее 1 х'5 + 4x3+2x6 +3=32 и. записывают 2, и т. д.

Большинство средневековых способов записи отличается громоздкостью, частично объяснимой перенесением на бумагу методов записи чисел на песке абака,гдё ненужные цифры без труда сглаживались. В особенности большим разнообразием отличались способы производства и записи .действия деления,, за умение выполнять к-рое в раннем ередневековьа присуждалось даже нечто вроде учёной стенали (доктор абака). . ,;

Большое распространение имело «верхнее» деле-, ние («галера», или «метод помарок»), встречающееся и в русских арифметических руководствах; 18 века, а ,в среднеазиатских республиках известное и сейчас под названием деления «сатх». Здесь последовательные кратные , цифр делителя вычи-. таются из делимого, начиная со старших разрядов; изменённая цифра делимого, надписывается, сверху, нуль спереди обозначается точкой., (заме-, нявшей ранее кружок, обозначающий нуль), Цифры, делителя для ориентировки в разрядах носледова-, цельно сдвигают направо (внизу). Остаток читают наверху. "Пример: 46 468 :: 324 (остаток 136, частное 143).

136 .

i 13

14006 46468

143 .

324 . 324 324

Сравнительно медленный, прогресс А. в средние пека сменяется к началу 17 в. быстрым усовершенствованием приёмов вычисления, в связи с возросшими практическими запросами к технике вычислений (задачи мореходной астрономии, механики, усложнившиеся коммерческие расчёты и т. п.). Дроби со знаменателем 10, употреблявшиеся еще индусами (при извлечении квадратных корней). и неоднократно обращавшие на себя внимание и европейских учёных, применялись сначала в неяв- , ной форме в тригонометрических таблицах (в форме' целых чисел, выражающих длины линий синуса, тангенса и т. д. при радиусе, принятом за 105)... Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинении Симона Стевина (из Брюгге) в 1585 и с этого времени получает новсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов (в начале 17 в. Непером и .Бюрги) и счётной линейки (Гунтер). Пепер пользовался для отделения дробной части точкой, удержавшейся до сих пор в, англо-саксонских .странах^ между тем .как на.

континенте устапопилось нринычиое нам употребление занятой. В начале 18. и. приемы выполнения и заниси вычислений приобретают соиременную форму. Первые попытки конструироиапия вычисли-тельных машин относятся к 17 в. (Паскаль, Лейбниц). В середине 19 в. лучшей была вычислительная машина (арифмометр, см.) П. Л. Чебышева. В настоящее время при выполнении расчётов пользуются либо счётной линейкой (см. Логарифмическая линейка), либо - в более сложных случаях - таблицами и счётными машинами различных конструкций.

В Росcии до начала 17 в. применялась нумерация, сходная с греческой;хорошо и своеобразно была разработана система устной нумерации («великий счёт и перечень»), доходившая до 50-го разряда. Из русских арифметнч. руководств начала 18 в. наибольшее значение имела высоко оценённая Ломоносовым «Арифметика» Магницкого (1703). В ней содержится следующее определение А.: «Арифметика или числитсльници, есть художество честное, независтное, и всем удобопонятное, многополезнейшее, и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших наряднейших арифметиков, изобретенное, и изложенное». Наряду с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в т. ч. и десятичными) и соответствующими задачами, в этом руководстве содержатся и элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, а также ряд практических сведений, относящихся к коммерческим расчётам и задачам навигации. Изложение А. приобретает уже более или менее современный вид у .11. Эйлера и его учеников.

Теоретическая разработка вопросов, касающихся учения о числе и учения об измерении величин, не может быть оторвана от развития математики в целом: решающие этапы её связаны с моментами, определявшими в равной мере и развитие алгебры, геометрии и анализа. Наиболее важным надо считать создание общего учения о величинах, соответствующего абстрактного учения о числе (целом, рациональном и иррациональном) и буквенного аппарата алгебры.

Фундаментальное значение А. как науки, достаточной для изучения непрерывных величин различного рода, было осознано лишь к концу 17 в. в связи со включением и А. понятия иррационального числа, определяемого последовательностью рациональных приближений. Немаловажную роль ири этом сыграл аппарат десятичных дробей и применение логарифмов, расширивших область осуществляемых с требуемой точностью операций над действительными числами (иррациональными наравне с рациональными).

Ньютон, впервые высказавший общее определение числа как отношения двух значений какой-либо величины, всё еще избегал, однако, записывать найденные им законы в виде формул, выражающих значение одной из величин через значения других, неоднородных с ней, и предпочитал придавать такого рода соотношениям форму пропорций (напр.

- = -- вместо соответствующей формулы y-kx"*) '*" х I

Современная точка зрения, согласно к-рой все буквы в формулах означают просто числи и действия производятся над числами, равноправными между собой, независимо от их конкретного происхож дення, еще и сейчас в эл_емеша-рном препрдаддшщ иногда осознаётся не недостаточной степени (это!

сказывается в наименованиях при записи действий, в избыточной осторожности ири определении производных физических величин и т. п.).

ШН ДФА'ШША •

. . ..

MTO рсть д(| A

-*. / '

чимнтсдннцд

TfHHOf т И Н3ложен|<°' •

есть ti^MiTlK» nftKTiK* ;

Из книги «Арифметика» Л. Магницкого. Гравюра М. KapiioucKoro.

Начало следующего этапа - аксиоматического построения А. - относится уже к 19 в, и связано с общим процессом критического пересмотра логических основ математики, в котором важнейшую роль сыграли, в частности, работы гениального русского математика Лобачевского (см.) по геометрии Самая простота и очевидная бесспорность начальных положений А. затрудняли выделение основных положений - аксиом и определений, к-рые могли бы служить исходным пунктом построения теории. Первые намёки на возможность такого построения имеются уже в доказательстве соотношения 2-2=4, данном Лейбницем (см. ниже).

Лишь в середине 19 века немецкому математику Г. Грасмалу (см.) удалось выбрить систему основных аксиом, определяющих действия сложения и умножения, так, чтобы остальные положения арифметики вытекали из неё как логическое следствие. Если иметь в виду натуральный ряд чисел, начиная от 1, и оиредслить 2 как 1 + 1, 3 как 2+1, 4 как 3+1 и т. д., то одного обще 3 в. с. э. т. з.

|.

го положения а+(Ь+1) = (а+Ь) +1, принимаемого в качестве аксиомы или определения сложения, оказывается достаточно для того, чтобы не только вывести формулы частного типа, как, например,

Фронтиспис книги «Арифметика» Л. Магницкого. Граыора Ы. Карновсиого.

3+2=5, но, пользуясь методом математической индукции (см. Индукция математическая), доказать и общие свойства сложения, верные для любых натуральных чисел, - переместительный и сочетательный законы. Подобную же роль для умножения играют формулы а-1 = а и а(6 + 1) = аЬ+а. Так, упомянутое выше доказательство соотношения 2-2 = 4 можно представить в виде цепочки равенств, вытекающей из приведённых здесь формул и определения чисел 2, 3 и 4, именно: 2-2=2(1 + 1)= =2-1 + 2-1=2+ 2 =2+ (1 + 1)= (2+1) +1= 3+1 = 4.

После доказательства нереместительного, сочетательного и распределительного (по отношению к сложению) законов действия умножения дальнейшее построение теории арифметич. действий над натуральными числами не представляет уже принципиальных затруднений. Если оставаться на том же уровне абстракции, то дробные числа приходится вводить как пары целых чисел (числитель и знаменатель), подчинённые определённым законам сравнения и действий (см. Дроби).

Построение Грасмана было завершено в дальнейшем работами итальянского математика Пеано (см.),

в которых отчётливо выделена система основных (не определимых через другие понятия) понятий, именно: понятие натурального числа, понятие следования одного числа непосредственно за другим в натуральном ряду и понятие начального члена натурального ряда (за к-рый можно принять 0 или 1). Эти понятия связаны между собой пятью аксиомами, к-рые можно рассматривать как аксиоматическое определение указанных основных понятий. Одна из этих аксиом- аксиома полной индукции-даёт возможность в дальнейшем пользоваться грасмановскими определениями действий и доказывать общие свойства натуральных чисел.

Аксиомы Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число а следует за натуральным числом Ъ и за натуральным числом с, то Ъ и с тождественны; 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа п, вытекает, что оно верно для следующего за п натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Эти построения, дающие решение задачи обоснования формальных положений А., оставляют в стороне вопрос о логической структуре А. натуральных чисел в более широком смысле слова, со включением тех операций, к-рые определяют собой приложения А. как в рамках самой математики, так и в практической жизни. Анализ этой стороны вопроса, выяснив содержание понятия количественного числа (см. Число), вместе с тем показал, что вопрос об обосновании А. тесно связан с более общими принципиальными проблемами методоло-гич. анализа математических дисциплин. Если простейшие предложения А., относящиеся к элементарному счёту объектов и являющиеся обобщением многовекового опыта человечества, естественно укладываются в простейшие логические схемы, то А. как математическая дисциплина, изучающая бесконечную совокупность натуральных чисел, требует исследования непротиворечивости соответствующей системы аксиом и более детального анализа смысла вытекающих из неё общих предложений.

А. в школе. В школьном курсе А. логический анализ, естественно, не доводится до конца, а начальные определения и утверждения носят описательный характер и апеллируют к непосредственным представлениям, относящимся к совокупностям конкретных объектов. Таковы, в частности, элементарные определения действия сложения (и вычитания). Основные свойства (переместительный и сочетательный законы) здесь не доказываются, а принимаются в качестве очевидного обобщения повседневного опыта. Дальнейшее изложение допускает уже выводы логического характера: опираясь на свойства сложения и обычное определение умножения, можно доказать переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения, причём самые доказательства могут быть проведены на частных числовых примерах, если применяемые при этом рассуждения носят общий характер. Именно таковы объяснения правил производства действий и свойств действий в систематическом элементарном курсе А.

Несколько сложнее обстоит дело с дробными числами. Необходимость введения этих последних обусловлена потребностью выразить числом отно шение значения Ь какой-либо величины к другому значению а той же величины (принимаемому, например, за единицу измерения). Если 6 = па (га целое), то коэфициентом га как раз ц выражается искомое отношение. Если же пя<Ь<(п+1)я, то для характеристики величины 6 приходится вводить дробные числа, служащие для выраже I М

I -- I исходной единицы измерения и

р

ния долей

сумм таких долей I --). Это позволяет подобрать

дробь- так, что Ь будет либо точно равно - я,

либо с той степенью точности, к-рая в каждом данном случае считается достаточной.

Действия над дробными числами - , понимаемыми как сумма fl-тых долей данной величины (принимаемой за единицу), не представляют затруднений для наглядного истолкования, поскольку речь идёт о сравнении таких дробей между собой и о сложении и вычитании их. Однако, ввиду того

что при этом с символом - связывается представление об именованностн (доли какой-то единицы), затруднения возникают при осмысливании и конкретном истолковании действий умножения и деления на дробь, требующих придания множителю отвлечённого смысла. Это необходимое при переходе к дробным числам обобщение легче всего осуществляется, если условиться множитель нисать как коэфиционт на нервом месте и читать записи Типа 2V2-6 = lo, 1/а-6=3, 1/2-1/4=1/8 так: две с половиной шестёрки =15, полошша шести =3, половина одной четверти равна восьмой и т. и. Дробь как множитель играет здесь ту же роль,

что и коэфнциент -- в формуле Ь---?- а.

Деление как обратное действие может иметь целью определение отношения двух чисел (с тем же истолкованием, что и выше) или определение числа но заданному отношению к нему нек-рого другого данного числа. Конкретные задачи, сюда относящиеся, легко решаются способом «приведения к единице», в особенности при использовании обладающего большей наглядностью выражения отношения днух величин в процентах. Непосредственное применение действий умножения и деления требует уже специальной тренировки, так же как и носящее алгебраический характер применение пропорций.

Под десятичными дробями понимают согласованное с общим принципом поместного значения цифр обозначение дробей со знаменателями 10, 102, 103 и т. д. Аналогия с обычной записью целых чисел и лёгкость выполнения операции увеличения или уменьшения в 10, 102 и т. д. раз обусловливают исключительную простоту относящихся сюда правил, а также самой техники выполнения действий. Согласование системы мер с понимаемой п широком смысле слопа десятичной системой нумерации, т. е. распространение указанных преимуществ на все те случаи, когда приходится иметь дело с числами, полученными в результате измерения каких-либо величин (длина, площадь, объём, масса и т.п.), - привело к метрической системе мер.

Старинные западноевропейские и русские учебники обычно содержали правила производства действий над целыми и дробными числами, задачи, связанные с измерением величин («именованные числа»), и рнд «текстовых» задач, условия к-рых

отвечали либо практически встречавшимся случаям, либо придуманным ситуациям, представлявшимся авторам интересными по фабуле или по характеру и сложности решения. Задачи довольно своеобразно классифицировались по внешним признакам (в русских учебниках 17 в.: «статья ростовая и добытош-ная», «статья о нечисти во всяких овощах и в товарах», «статья складная торговля с нрикащики гостей», «девичье правило», «о хождении юношей», «о деньгах в куче ведати» и т. п.). Особый интерес представляет впоследствии исчезнувшее из арифметического обихода «фальшивое правило» (regula falsi, пли ложного положения правило, см.), сохранившееся сейчас в форме линейной интер полиции (см.), а в то время служившее для решения целого ряда сложных арифметических задач, сводившихся, по существу, к решению системы линейных уравнений.

В позднейших учебниках изложение постепенно приобретало большую систематичность, правила производства действий пояснялись на примерах, так же как и ход решения задач, тематика к-рых, однако, не выходила в большинстве случаев за пределы уже в значительной степени потерявших ак-туалыше практическое значение задач на смешение, наполнение бассейнов, встречи путешественников и курьеров, тройное правило и пропорциональное деление.

С методической точки зрения наиболее детальной обработке подверглись проблемы начального обучения А. В русской методике конца 19 в. существенным этапом явился отказ от замедлявших развитие детей методов немецких педагогов в изучении чисел и переход к построению начального курса А. на более естественной оенове изучения действий. В дореволюционной русской методике А, уделялось большое внимание, и вопросы преподавания в начальной школе были разработаны с большой основательностью силами ряда квалифицированных методистов (Евтушевский, Гольденберг, Житков, Егоров, Арженников и др.). В советской школе было осуществлено многое из того, что было невозможно сделать раньше. Наиболее существенным является освобождение преподавания от постоянной, громоздкой и отнимавшей много сил и времени у учащихся возни с «составными именованными числами», соответствовавшими старой русской системе мер; с переходом к метрической системе все относящиеся сюда вопросы отпадают, так как дело сводится просто к перемене места запятой в соответствующих десятичных дробях. Устранены также не имеющие практического значения разделы, относящиеся к периодическим десятичным дробям, и излишние в наших условиях задачи «коммерческой арифметики» (учёт векселей и т. п.), а также чрезмерно громоздкие (составные) и искусственные задачи.

Область приложений арифметических сведений к конкретным вопросам (тематика текстовых задач) определяется, с одной стороны, практическими потребностями (денежные расчёты, измерение длин, площадей, объёмов, выражение отношения двух величин в процентах и т, п.), а с другой - простотой соответствующих зависимостей между величинами, позволяющей решать относящиеся к ним задачи «арифметическим» путём, при к-ром псе выполняемые для решения действия допускают конкретное и естественное истолкование (прямая и обратная пропорциональная зависимость, линейные и нек-рые другие зависимости).

Общеобразовательная и практическая ценность решения арифметич. задач в школе определяется гл. обр. тем, насколько самостоятельно и сознательно учащиеся ориентируются в основных «арифметических ситуациях», определяемых условиями залач; существенна также и забота о том, чтобы постановка вопроса в задаче была интересна и реальна, так же как и числовые данные. В настоящее время наблюдается тенденция относить к курсу алгебры те более сложные задачи, к-рые естественнее и проще всего решаются с помощью уравнении, и, вообще, установить возможно более тесный контакт алгебры с соответствующими разделами А.

Наиболее актуальными проблемами методики преподавания А. в советской школе являются:

а) задача наиболее целесообразного использования времени, о i ведённого А. в начальной школе;

б) обеспечение развития отчётливых представлений учащихся в вопросах, связанных с умножением и делением дробей и понятиями «отношение» и «пропорциональность»^) закрепление и усовершенствование навыков в выполнении устных н письменных вычислений (в т. ч. приближённых и сокращённых) в средних и старших классах школы.

Лит.: К э д ж о р и Ф., История элементарной математики. 2 изд., Одесса. 1917; Архимед, Исчисление песчинок. (Псаммит). М.-Л., 1932; Бобынин В. В., Очерни истории развития Физико-математических знаний в России, «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем», т. 1-2, 1885-86; Беллю-с т и н В.. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. М.. 1940; Гнедеико Б. В.. Очерки по истории математики в России. М.-Л., 1946; II е и г е-б а у е р О.. Лекции по истории античных математических наук. т. 1, М.-Л.. 1937; Выгодский М. Н., Арифметика и алгебра в древком мире, М.- Л., 1941; его же. Математика древних вавилонян, «Успехи математических паук», 1940, вып. 7. 1941, вып. 8; Юсупов Н. В.. Очерки по истории развития арифметики на Ближнем Востоке, Казань, 1932; Арнольд И. В.. Теоретическая арифметика, 2 изд.. М.. 1939; Беленовский П. Д., Основы теоретической арифметики, М., 1938; Клей н Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1. ;) изд.. М.-Л.. 1935; Снегирев В. Т. и Чекмарев Я. Ф.. Методика арифметики, 7 изд.. М., 1948; Березанская Е. С., Методика арифметики, 4 изд., М.. 1947; П ч е л к о А. С.. Методика преподавания арифметики л начальной школе, 2 изд., М.. 1947; Гребенча М. К., Арифметика, М.-Л.. 1947; Гончаров В. Л..Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика, М.-Л.. 11)47.


Требуется проверка викификации!
Шаблон:Проверить источники


Статья из Большой советской энциклопедии

Эта статья подлежит модернизации и корректировке!

Если Вы заметили неточность — Вы можете исправить её с помощью ссылки редактировать (или править) на этой странице.


Требуется сведение текстов!

Эта статья фактически состоит из нескольких не связанных между собой фрагментов. Требуется исправить ее так, чтобы она была однородной! Вы можете сделать это с помощью ссылки редактировать или править.

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться на обновления 📩 Переслать ссылку 💬 Обсудить тут
Позвать друзей 

Только ваши пожертвования и спонсорская поддержка позволяют Викизнанию жить и развиваться!