Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Алгебра (раздел математики)

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

«Алгебра» имеет и другие значения...(?)


Алгебра - алгебра вместе с арифметикой есть наука о числах и через посредство чисел - о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких-нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин как таковых, независимо от того, к каким конкретным приложениям они способны. Различие между арифметикой и алгеброй состоят в том, что первая наука исследует свойства данных, определенных величин, между тем как алгебра занимается изучением общих величин, значение которых может быть произвольное, а следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые общи всем величинам независимо от их значений. Таким образом, алгебра есть обобщенная арифметика. Это подало повод Ньютону назвать свой трактат об алгебре,общей арифметикой. Гамильтон, полагая, что, подобно тому, как геометрия изучает свойства пространства,алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру наукой чистого времени, - название, которое Деморган предлагал изменить в ,исчисление последовательности. Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни исторического ее развития. Алгебру можно определить как науку о количественных соотношениях.

В настоящее время отчасти из педагогических соображений, отчасти вследствие исторического развития этой науки, алгебру делят на низшую и высшую, причем в последнее время под названием новой алгебры развилось учение о инвариантах преобразований алгебраических форм.Алгебра. Содержание:

I. Общие сведения................... 53

II. Исторический очерк................ 54

III. Современное состояние алгебры.......... 58

IV. Алгебра в средней школе.............. 61

I. Общие сведения.

Алгебра - один из больших разделов математики (см.), принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А., отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. А. возникла под прямым влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются, обычно, в ('.оставлении и решении уран-пений. В соответствии с этим А. долго восприни малась в первую очередь как наука об уравнениях. Вопрос о возможности решения данного уравнения (или уравнений), методы разыскания всех возможных решений (всех корней уравнения), различные вопросы, относящиеся к свойствам корней уравнений,- всё это на протяжении многих столетни составляло основное содержание А.

Задачи решения и исследования уравнений оказали большое влияние на развитие первоначального арифметич. понятия числа (см.). С возникновением отрицательных, иррациональных, комплексных чисел общее исследование свойств этих различных числовых систем тоже отошло к А. Таким образом, А. отграничилась от арифметики: А. изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретно заданными числами, а в своих более высоких областях (см. Чисел теория)-более тонкими индивидуальными свойствами чисел, начиная с разложения чисел па простые сомножители.

С другой стороны, развитие А., её методов и символики оказало очень большое влияние на развитие новых областей математики, подготовив, в частности, появление анализа (см. Анализ математический). Тесная связь А. с анализом находит своё отражение в том, что до настоящего времени элементы анализа (понятие функции, изучение показательной и логарифмич. функции, теория пределов) в средней школе изучаются в курсе А. Линия раздела между А. и математич. анализом проводится так, что к чистой А., в строгом смысле слова, относятся лишь вопросы, не требующие рассмотрения бесконечных, предельных процессов. Таким образом, А. противополагается анализу как наука о дискретном, конечном. Хотя это противоположение и не имеет (как можно видеть и из дальнейшего содержания этой статьи) абсолютного характера, его всё же можно рассматривать как завершение формирования классической А.

Аппарат классической А. содержал в себе, однако, в скрытой форме возможности значительно более широкого применения. Его применение возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Эти операции могут производиться при этом и не над числами, а над объектами самой различной природы. Наиболее известным примером такого расширенного применения алгебраич. методов является векторная А. (см. Векторное исчисление). Векторы можно складывать, умножать на числа и множить друг на друга двумя различными способами. Свойства этих операций над векторами во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел, но в некоторых отношениях отличаются от этих последних. Например, векторное произведение двух векторов А ч В не коммутативно, т. е. вектор С=[АВ] может не равняться вектору D=[BA\\ наоборот, в векторном исчислении действует правило: [АВ]=-[-64].

Следом за векторной А. возникла А. тензоров (см. Тензорное исчисление), ставших одним из основных вспомогательных средств современной физики. В пределах самой классической А. возникла А. матриц [см. Матрицы, а татоко ниже-Исторический очерк (конец)]. Обобщающая алгебру матриц А. операторов (см. Операторное исчисление) тоже превратилась в самостоятельную ветвь математики, имеющую большое значение в физике и технике.

Таким образом, А. в более широком, современном понимании может быть определена как паука о си стемах объектов той или иной природы, в к-рых установлены операции, по своим свойствам более или менее сходные со сложением и умножением чисел. Такие операции называются алгебраическими. А. классифицирует системы с заданными на них алгебраич. операциями по их свойствам (см. ниже, раздел III, о полях, кольцах, группах) и изучает различные задачи, возникающие естественно в этих системах, включая и задачу решения и исследования уравнений, к-рая в новых системах объектов получает новый смысл (решением уравнения может быть вектор, матрица, оператор и т. д.). Этот новый взгляд на А., вполне оформившийся лишь в 20 в., способствовал дальнейшему расширению области применения алгебраич. методов, и том числе и за пределами математики, в частности в физике. Вместе с тем он укрепил связи А. с другими отделами математики и весьма усилил влияние А. на их дальнейшее развитие.

II. Исторический очерк.

Начальное развитие. Алгебре предшествовала арифметика (см.), как собрание постепенно налепленных практических правил для решения повседневных житейских задач. Эти правила арифметики сводились к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел, вначале только целых, а затем - в постепенном и очень медленном развитии - н дробных. Характерное отличие А. от арифметики заключается в том, что в А.вводится неизвестная неличина; действия над нею, диктуемые условием задачи, приводят к уравнению, из к-рого уже находится сама неизвестная. Намёк на такую трактовку арифметич. задач есть уже в древнеегипетском папирусе Ахмеса (1700--2000 до н. э.), где искомая величина называется словом «куча» и обозначается соответственным знаком - иероглифом.

Древние егишяно решали и гораздо более сложные задачи (напр, на арифметич. и геометрии, прогрессии). Как формулировка задачи, так и решение давались в словесной форме и только в виде конкретных численных примеров. И всё же за этими примерами чувствуется наличие накопленных общих методов, если не по форме, то по существу равносильных решению уравнений 1-й и иногда 2-й степени. Имеются и первые математич. знаки (напр, особый знак для дробей).

В начале 20 в. были расшифрованы многочисленные математич. тексты (клинописи) и другой из древнейших культур - вавилонской. Это открыло миру высоту математич. культуры, существованшей уже за 4.000 лет до наших дней. Вавилоняне с помощью обширных специальных таблиц умели решать разнообразные задачи; нек-рые из них равносильны решению квадратных уравнений и даже одного вида уравнения 3-й степени. Среди учёных, разрабатывающих историю математики, возник горячий спор о том, в какой мере математику вавилонян можно считать А. Нельзя, однако, забывать, что древняя математика едина. Разделение произошло гораздо позднее.

В Древней Греции была отчётливо выделена геометрия. У греческих геометров впервые сознательно поставлено исследование, каждый шаг к-рого оправдан логическим доказательством. Мощь этого метода была так велика, что и чисто арифметич. или алгебраич. вопросы переводились на язык геометрии: величины трактовались как длины, произведение двух величин •- как площадь прямоугольника и т. д. И в современном матоматич. языке сохранилось название «квадрат» для произведения величины

на самоё себя. Характерное для более древних культур единство научных знаний и практич. прило?ке-ний было в греческой математике разорвано: геометрию считали логической дисциплиной, необходимой школой для философского ума, а всякого рода исчисления, т. е. вопросы арифметики и А., идеалистич. философия Платона не считала достойным предметом науки. Несомненно, эти отрасли также продолжали развиваться (на основе вавилонских и египетских традиций), но до нашего времени дошёл только трактат Диофанта (см.) Александрийского «Арифметика», в н-ром он уже довольно свободно оперируете уравнениями 1-й и 2-й степени: в зачаточной форме у него можно найти употребление отрицательных чисел.

Наследие греческой науки восприняли учёные средневекового Востока - Средней Азии, Месопотамии, Северной Африки. Международным научным языком служил для них арабский язык (подобно тому, как для учёных средневекового Запада таким языком был латинский), поэтому этот период в истории математики иногда называют «арабским». В действительности, однако, одним из крупнейших научных центров этого времени (9-15 вв.) была Средняя Азия. Среди многих примеров достаточно назвать деятельность узбекского математика и астронома 9 в., уроженца Хорезма Мухаммеда Аль-Хорезмп (см. Хореями), великого энциклопедии, учёного Бируни; создание в 15 в. обсерватории Улуг-Бека в Самарканде. Учёные средневекового Востока передали Европе математику греков и индусов в оригинальной переработке, причём особенно много занимались КРК раз А. Само слово «алгебра» - арабское (эль-джебр) и является началом названия одного сочинения Хорезми. Со времени Хорезми алгебру уже можно рассматривать как отдельную отрасль математики.

Математики средневекового Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс А. стал возможным только после появления во всеобщем употреблении удобных символов для обозначения действий. Этот процесс шёл медленно и зигзагами. Выше упоминалось о знаке дроби у древних египтян; так же обстояло дело у вавилонян. У Диофанта буква i (начало слова isos, т. е. равный) применялась как знак равенства; были подобные сокращения и у индусов (5-7 вв.), по затем эта зарождавшаяся символика снова терялась. Дальнейшее развитие А. принадлежит итальянцам, перенявшим в 12 в. математику средневекового Востока. Леонардо Пизанский (13 в.) - наиболее выдающийся математик этой эпохи, занимавшийся алгебраич. проблемами. Постепенно алгебраич. методы проникают в вычислительную практику, в первое время ожесточённо конкурируя с арифметическими. Приспособляясь к практике, итальянские учёные вновь перешли к удобным сокращениям, напр, вместо слов плюс и минус стали употреблять латинские буквы р и m с особой чёрточкой сверху. Наконец, в конце 15 в. в математич. сочинениях появляются принятые теперь знаки + и -, причём есть указания, что эти знаки задолго до этого употреблялись в торговой практике для обозначения избытка и недостатка в весе.

Быстро следует введение и всеобщее признание остальных знаков (степени, корня, скобок и т. д.). К середине 17 в. полностью сложился аппарат символов соврем. А. Еще раньше завершилось развитие и другой важной черты современной А. •- употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу вели чин. До этой реформы, окончательно закреплённой французским математиком Виетом(см.) (конец 16 в.), в А. и арифметике как бы нет общих ирапил и доказательств; рассматриваются исключительно численные примеры. Почти невозможно было высказать какие-либо общие суждения. Даже элементарные учебники этого времени очень трудны, т. к. дают десятки частных правил вместо одного общего. Виет первый писал свои задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными А, Е, J..., а известные - согласными В, С, D... Эти буквы он соединяет введёнными уже в то время знаками мате-матич. операций. Таким образом, впервые возникают буквенные формулы, столь характерные для современной А. Начиная с Декарта (см.) (17 в.), для неизвестных употребляют преимущественно последние буквы алфавита (х, у, z).

Введение символических обозначений и операций над буквами, заменяющими какие угодно конкретные числа, имело исключительно важное значение. Без этого орудия - языка формул - были бы немыслимы блестящее развитие высшей математики, начиная с 17 в., создание анализа бесконечно-малых, математич. выражение законов механики и физики и т. д.

Содержание А. охватывало во время Диофанта уравнения 1-й и 2-й степени. К уравнениям 2-й степени (т. н. квадратным) греческие математики пришли, повидимому, геометрич. нутём, т. к. задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно возникают при определении площадей и построении окружности по различным заданиям. Однако, в одном очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени, с точки зрения древних, не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2-й степени приходилось различать много частных случаев (по знакам коэфи-циентои). Решающий шаг - применение отрицательных чисел -был сделан индийскими математиками (10 в.), но учёные средневекового Востока но пошли по этому пути. С отрицательными числами свыклись лишь постепенно; этому особенно способствовали коммерческие вычисления, в к-рых отрицательные числа имеют наглядный смысл убытка, расхода, недостатка и т. д. Всё же окончательно отрицательные числа были приняты только в 17 в., после того как Декарт воспользовался их наглядным геометрич. представлением для построения аналитической геометрии (см.).

Возникновение аналитич. геометрии было вместе с тем и торжеством А. Если раньше, у греков, чисто алгебраич. задачи облекались в геометрич. форму, то теперь, наоборот, алгебраич. средства выражения оказались уже настолько удобными и наглядными, что геометрич. задачи переводились на язык алгебраич. формул. Подробнее о постепенном расширении области чисел, употребляемых в математике, о введении отрицательных, иррациональных, мнимых чисел смотри в статьях Арифям-тика, Число, Комплексные числа. Здесьже надо отметить, что необходимость введения всех этих чисел особенно настоятельно ощущалась как раз в А.: так, напр., квадратные иррациональности (корни) возникают при решении уравнений 2-й степени. Конечно, уже греческие и среднеазиатские математики не могли пройти мимо извлечения корней и придумали остроумные способы приближённого вычисления их; но взгляд на иррациональность, как на число, установился значительно позже.

Введение же комплексных или «мнимых» чисел относится к следующей эпохе (18 в.).

Итак, если оставить в стороне мнимые числа, то к 18 веку А. сложилась в том приблизительно объёме, к-рый до наших дней преподаётся в средней школе. Эта А. охватывает действия сложения и умножения, с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень (частный случай умножения) и обратное ему - извлечение корня. Эти действия производились над числами или буквами, к-рые могли обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. Указанные действия употреблялись в решении задач, по существу сводившиеся к уравнениям 1-й и 2-й степени. Теиерь А. в этом объёме владеет каждый образованный человек. Эта «элементарная» А. применяется повседневно в технике, физике и других областях науки и практики. Но содержание науки А. и её приложений этим далеко не ограничивается. Трудны и медленны были только перные шаги; с 16 в., особенно же с 18 в., начинается быстрое развитие А., а в 20 в. она переживает новый расцнет.

На русском языке изложение элементарной А. в том виде, как она сложилась к началу 18 в., было впервые дано в знаменитой «Арифметике» Л. Ф. Магницкого (см.), вышедшей в 1703.

Алгебра в 18-19 вв. В конце 17 - начале 18 вв. произошёл величайший перелом в истории математики и естествознания: был создан и быстро распространился анализ бесконечно-малых (дифференциальное и интегральное исчисления). Этот перелом, вызванный развитием производительных сил, потребностями техники и естествознания, привёл к крушению метафизич. мировоззрения. В то же время в А. он был подготовлен всем предшествующим развитием этой науки. В частности, буквенные обозначения и действия над ними еще в 16-17 вв. способствовали зарождению взгляда на математич. величины как на переменные, что так характерно для анализа бесконечно-малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой - ее функции.

А. и анализ развивались в 17-18 вв. в тесной связи. В А. проникали функциональные представления, в этом направлении ее обогатил Ньютон. С другой стороны, А. принесла анализу своп богатый набор формул и преобразований, игравших большую роль в начальный период интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в А. этого периода было появление курса алгебры Л..Эйлера, работавшего тогда в Петербургской Академии наук; этот курс вышел сначала на русском языке (1768-69), а затем неоднократно издавался на иностранных языках. Отличие А. от анализа в 18-19 вв. характеризуется тем, что А. имеет своим основным предметом прерывное, конечное. Эту особенность А. ярко осознал и подчеркнул в первой половине 19 в. Н. И. Лобачевский, назвавший свою книгу «Алгебра, или вычисление конечных» (1834): А. занимается основными операциями (сложения и умножения), производимыми коночное число раз.

Простейшим результатом умножения является одночлен, напр. 5аяЬх*у. Сумма конечного числа таких одночленов (с целыми степенями) называется многочленом. Если обратить внимание на одну из входящих в многочлен букв, напр, х, то можно придать ему вид:

а0хп + aixn-l -f- ааа:'г-2 + ... + ап_^ х -j- а„,

где коэфициенты аа, al... уже не зависят от х. Это многочлен ге-й степени (другое наименование - п о-л и н о м, целая рациональная функция). Алгебра 18 - 19 вв. и есть прежде всего А. м н о г о ч л е-н о в.

Объём А., таким образом, оказывается значительно уже, чем объём анализа, но зато простейшие операции и объекты, составляющие предмет А., изучаются с большей глубиной и подробностью; и именно потому, что они простейшие, их изучение имеет фундаментальное значение для математики в целом. Вместе с тем А. и анализ продолжают иметь много точек соприкосновения и рауграниче-нив между ними не япляется жёстким. Так, например, анализ перенял от А. её символику, без к-рой он но мог бы и возникнуть. Во многих случаях изучение многочленов, как более простых функций, пролагало пути для общей теории функций. Наконец, через всю дальнейшую историю математики проходит тенденция сводить изучение более сложных функций к многочленам или рядам многочленов: простейший пример - ряд Тейлора (см.). С другой стороны, А. нередко пользуется идеей непрерывности, а представление о бесконечном числе объектов стало господствующим в А. последнего времени, но уже в новом, специфич. виде (см. ниже - Современное состояние алгебры).

Если приравнять многочлен нулю (или вообще к.-л. определённому числу), мы получим алгебраическое уравнение. Исторически первой задачей А. было решение таких уравнений, т. е. нахождение их корней - тех значений неизвестной величины х, при к-рых многочлен равен нулю. С древних времён известно решение квадратного уравнения: хг -j- px -\- q = 0 в виде формулы:

Алгебраич. решение уравнения 3-Й степени найдено в 16 в.; для уравнения вида х3 -\- рх -)- q = 0 (к к-рому можно привести всякое уравнение 3-й степени) оно даётся формулой:

Эта формула называется формулой К а р-д а н о, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Кардана (см.), или же заимствована им от Тарталъи (см.), или даже еще раньше открыта Сципионом дель Ферро, - нельзя считать вполне решённым. В связи со спорами о приоритете в открытии этой формулы история математики сохранила любопытные сведения, характеризующие научные нравы того времени: математики засекречивали открытия или общие методы, воздерживаясь от их публикации, и использовали эти методы, выступая на состязаниях в решении задач. В 16 в. Ферра-ри, учеником Кардано, была найдена также формула для решения уравнения 4-й степени .

После этого начались настойчивые поиски формул, к-рые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом, т. е. сводили бы решение к извлечениям корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в начале 19 в. Абель и Галуа (см.) доказали, что уравнения степеней выше 4-й, вообще говоря, в радикалах не решаются: оказалось, что существуют неразрешимые в радикалах уравнения n-v. степени для любого п большего или равного 5. Таково, напр., уравнение хъ - 4ж - 2 = 0.

Это открытие имело большое значение, т. к. оказалось, что корни алгебраич. уравнений - предмет гораздо более сложный, чем радикалы. Галуа не ограничился этим, так сказать, отрицательным результатом, а положил начало более глубокой теории уравнений, связав с каждым уравнением группу (см.) подстановок его корней. Решение уравнения п радикалах равносильно сведению первоначал i ного уравнения к цепи уравнений вида:

Ут=а

(к-рое и выражает собою, что j/= у а). Сведение к таким уравнениям оказалось в общем случае невозможным; но возник вопрос: к цепи каких более простых уравнений можно свести решение уравнения заданного? Например, через корни каких уравнений корни заданного уравнения выражаются рационально, т. е. при помощи четырёх действий- сложения, вычитания, умножения и деления. В таком более широком понимании «теория Галуа» продолжает развиваться вплоть до нашего времени (см. ниже).

С чисто практич. стороны, для вычисления корней уравнения по заданным коэфициентам, не было особой необходимости в общих формулах решения для уравнений высших степеней, т. к. уже для уравнений 3-й и 4-й стененей такие формулы практически мало полезны. Численное решение уравнений пошло иным путём, путём приближённого вычисления (см.), тем более уместным, что на практике (напр. в астрономии и технике) и сами коэфициенты обычно являются результатом измерений, т. е. известны лишь приближённо с той или иной точностью. Такие приближённые вычисления не специфичны для А., поэтому мы здесь ограничимся показом простейшего приёма на конкретном примере. Возьмём упомянутое выше уравнение z5 -4ж--2 = 0.

Легко убеждаемся, что многочлен, стоящий в левой части, при х~~1 принимает отрицательное значение - 5, а при х = 2- положительное значение+22. Если мы будем изменять ж от 1 до 2 через все промежуточные значения, то в силу непрерывности и многочлен будет принимать все промежуточные значения от -5 до +22, в том числе и значение нуль; следовательно, между 1 и 2 лежит какое-то значение х, обращающее многочлен в нуль, т. е. лежит его корень. Будем теперь подставлять значения х через одну десятую, т. е.: 1,1 ; 1,2; ... 1,9. Оказывается, при ж=1,5 многочлен еще отрицательный, а при х= 1,6 - уже положительный. Значит, корень лежит между значениями 1,5 и 1,6 и мы знаем его уже с точностью до одной десятой. Мы можем теперь подставлять значения 1,51; 1,52;...; 1,59 и, продолжая процесс, найдём значение корня с любой степенью точности. Обратим внимание, что при этом вычислении мы пользовались идеей н е-п р е р ы ь н о с т и, заимствуя её из других частей математики.

В действительности в науке разработаны многочисленные гораздо более удобные и совершенные методы приближённого решения уравнений, чем тот простейший приём, к-рый изложен выше. Один из лучших - методЛобачевского (в ма-тематич. литературе его неправильно называли иногда методом Греффе: последний опубликовал свою книгу, содержащую аналогичный метод, позже Н. И. Лобачевского). См. Численное решение уравнений.

Вычисление корней уравнений не есть главная задача А., так же как было бы глубоко ненравиль-ним считать всю математику наукой о способах вычисления. Не менее важна, даже для приближений, другая сторона математики: уметь чисто теоретическим путём, без вычислений, дать ответ на поставленные вопросы. В области теории алгебраич. уравнений таким является вопрос о числе к о р н е и и их характере. Ответ зависит от того, какие числа мы рассматриваем. Если допустить положительные и отрицательные числа, то уравнение 1-й степени всегда имеет решение, и притом только одно. Ио уже квадратное уравнение может и не иметь решений среди т. н. действительных чисел; например уравнение ж2 + 2=0 не может быть удовлетворено ни ири каком положительном или отрицательном х, так как слева всегда окажется положительное число, а не нуль. Представление решения в виде х=У-2 не имеет смысла, пока не будет разъяснено, что такое квадратный корень из отрицательного числа. Именно такого рода задачи и натолкнули математиков на т. н. мнимые числа. Еще раньше отдельные смелые исследователи ими пользовались, но окончательно они были введены в науку только в 19 в. Эти числа оказались важнейшим орудием не только в А., но во всех иочти разделах математики и её приложений, вплоть до гидродинамики. По мере того, как привыкали к мнимым числам, они потеряли всякую таинственность и мнимость, почему теперь их и называют чаще всего не «мнимыми», а комплексными числами.

Если допускать и комплексные числа, то оказывается, что любое уравнение га-й степени имеет корни, причём это верно и для уравнений с любыми комплексными коэфициентами. Эта важная теорема была доказана в середине 18 в. Д'Аламбером (см.) и с большей точностью - в самом конце 18 в. Гауссом (см.); с тех пор были опубликованы десятки различных доказательств. Все эти доказательства должны были, в той или иной форме, прибегнуть к непрерывности, как в приведенном выше примере; г. о. доказательство т. н. основной теоремы А. само выходило за пределы А., демонстрируя лишний раз неразрывность математич. науки в целом. Чисто алгебраич. решение задачи стало возможным только при иной её постановке (см. ниже- Современное состояние алгебры).

Если xi - один из корней алгебраич. ураинения

а,хп + в,*»-' + ... + ап_г х + ап = О,

то легко доказать, что многочлен, стоящий и левой части уравнения, делится без остатка на х-ж,-. Из основной теоремы вытекает, что всякий многочлен n-й степени распадается на п таких множителей 1-й степени, т. е. тождественно:

причём многочлен допускает лишь одно единственное разложение на множители такого вида.

Таким образом, уравнение ге-й степени имеет п корней. В частных случаях может оказаться, что нек-рые из множителей равны, т. е. нек-рые корни повторяются несколько раз (кратные корни); следовательно, число различных корней может быть и меньше п.

Часто не так важно вычислить корни, как разобраться в том, каков характер этих корней. Как пример, приводом найденное еще Декартом «пра 8 Б. С. Э. т. 2.

вило знаков»: уравнение имеет не больше положительных корней, чем в ряду его коэфициентов имеется перемен знака (а если меньше, то на чётное число). Напр. в рассмотренном выше уравнении хь - 4ж - 2=0 одна перемена знака (первый коэфи-циснт положительный, остальные - отрицательные). Значит не решая уравнения, можно утверждать, что оно имеет один и только один положительный корень. Общий вопрос о числе действительных корней в заданных пределах решается теоремой франц. математика Штурма (см. Штурма правило). Очень важно, что у уравнения с действительными коэфициентами комплексные корни могут являться только парами: наряду с корнем a+bi корнем того же уравнения всегда будет и а - Ы. Приложения ставят иногда и более сложные задачи этого рода; так, в механике доказывается, что движение устойчиво, если некоторое алгебраическое уравнение имеет тольйо такие корни (хотя бы и комплексные), у которых действительная часть отрицательна, и это заставило искать условия, при которых корни уравнения на самом деле обладают этим свойством.

Многие теоретич. и ирактич. вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Аналитич. геометрия показывает значение отдельных уравнений или систем их, связывающих несколько переменных величин. В теории таких уравнений или систем применяются различные преобразования переменных, примером которых является преобразование координат. Существенной частью А. 19 в. было исследование того, какие функции от коэфициентов уравнений сохраняют своё значение цри том или ином классе преобразований. Эти величины, т. н. инварианты (см.), характеризуют наиболее важные, глубокие свойства уравнений.

Особенно важен случай системы т. н. л и-н е и н ы х уравнений, т. е. системы т уравнений 1-й степени с п неизвестными:

а11х1 + я12ж2

...-Jralnxn =

••• «2 2 • • • тпп - т.

Здесь хг, xz.....хп - неизвестные, а коэфипиенты

записаны так, что значки при них указывают на помер уравнения и номер неизвестной. Значение спетом уравнений 1-й степени определяется но только тем, что они - простейшие. На практике (напр, для отыскания поправок в астрономич. вычислениях) часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями к-рых можно пренебречь (ввиду их чрезвычайной малости), так что любые уравнения сводятся в первом приближении к линейным. Еще Лейбниц (1700) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэфициентов а//,, и показал, как из этих коэфициентов (в случае п = т) строить т. н. определители (см.), при помощи к-рых и решаются системы линейных уравнений. Впоследствии такие таблицы, или матрицы (см.), стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось,что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Теория систем линейных уравнений я теория матриц в настоящее время стали частями важной отрасли науки - линейной алгебры (см. ниже).

III. Современное состояние алгебры.

А. является в наст, время объединением большого числа самостоятельных научных дисциплин, между к-рыми существуют более или менее тесные связи. Нек-рые из ветвей А., в основном разрабатывавшиеся в прошлых столетиях, в настоящее время завершаются и систематизируются. Таковы, в первую очередь, А. многочленов и линейная А.; к чтим разделам А. относится по существу неё содержание университетского курса высшей А. С другой стороны, во 2-й половине 19 в. и особенно в 20 в. возник ряд новых алгебраич. дисциплин. Нек-рые из них сейчас бурно развиваются и по богатству и глубине накопленного содержания уже вполне могут сравниваться с более старыми ветвями А. (таковы теория полей, теория групп); другие проходят лишь первые этапы своего развития. »

История и краткое содержание алгебры многочленов изложены выше, в историческом обзоре. Этот раздел А. в его старом понимании можно считать уже завершённым, и дальнейшее развитие А. многочленов относится к теории полей (см. ниже). Вместе с тем, разнообразные результаты и методы, накопленные в этой области на протяжении многих столетий, продолжают систематически использоваться как в самой математике, так и за её пределами.

Как ужо было сказано в историческом обзоре, линейная алгебра вырастала из теории систем линейных уравнений и из возникших в связи с ней теории определителей и теории матриц. Теорию матриц, т. е. квадратных или, общее, прямоугольных таблиц, составленных из чисел, следует считать одной из главных частой линейной А. В частности, многочисленные приложения нашло умножение матриц - один из важнейших примеров некоммутативного (т. е. зависящего от порядка сомножителей) умножения. К линейной А. относится также теория форм (см.), в частности квадратичных, т. е. многочленов от нескольких неизвестных xlt z2,..., xn, каждый член к-рых имеет вид ах/яд. или ах2;, где а - некоторый коэфициент. Теория инвариантов, активно развивавшаяся в 19 в., также частично является ветвью линейной А.

Причиной, к-рая привела к объединению всех атих различных теорий, служит то, что все они, иногда с разных сторон, изучают в действительности один и тот же объект, а именно многомерные (га-мерные) векторные пространства (см.). Под этим понимают совокупность всевозможных систем вида (аь аа,..., ап), где п фиксировано, а все о,- - действительные числа, взятые в определённом порядке. Сумма двух таких систем или, как говорят, n-мерных векторов получается сложением чисел, стоящих на одинаковых местах:

= («i + bi, а2+Ь2,..., а„+Ь„);

произведением вектора (<ц, a2, •••> a«) на число с будет вектор (ajc, я2с, ..., апс).

В данном здесь определении вместо действительных чисел можно было бы использовать комплексные, и мы пришли бы к комплексным векторным иро-странстнам; можно было бы, вообще, воспользоваться элементами любого поля (см. ниже). Во всяком случае, понятие многомерного векторного пространства, подготовленное конкретными задачами геометрии, механики и физики, является вполне алгебраическим .

Линейная А. может считаться теорией векторных пространств. Так, при помощи матриц задаются преобразования векторного пространства, переводящие сумму векторов D сумму их образов, а произведение вектора на число - в произведение его образа на это же число (такие преобразования называются линейными). На этом пути легко истолковывается отмечавшееся выше некоммутативное умножение матриц - оно просто отражает то, что происходит при последовательном выполнении двух линейных преобразований векторного пространства.

Среди всех отделов А. линейная алгебра является первой по значению и разнообразию приложений. Трудно указать такой отдел математики, теоретической механики или теоретической физики, в к-ром не использовались бы результаты или методы, относящиеся к линейной А. Отметим решающее влияние линейной А. на развитие функционального анализа, (см.) К линейной А. примыкает алгебра тензоров (см. Тензорное исчисление}, играющих очень большую роль в современной дифференциальной геометрии и в теории относительности.

Для тех разделов А., развитие которых относится в основном к 20 в., характерно, что все они связаны с изучением множеств, в которых определены какие-либо алгебраич. операции. Общее понятие алгебраич. операции возникает при рассмотрении сложения и умножения чисел: каждая из этих операций представляет собой способ, позволяющий сопоставить с любой парой чисел пек-рое, притом инолне определённое, третье число - их сумму или, соответственно, их произведение. С аналогичным положением мы встречаемся также и в случае известного из элементарной физики сложения сил по правилу параллелограмма: это, опять-таки, способ сопоставить со всякими двумя силами некоторую вполне определённую третью силу - их сумму. При переходе к более высоким ветням науки очень быстро растёт число подобных примеров и повышается их значение - стоит вспомнить хотя бы векторное произведение векторов (см. Векторное исчисление}, а также произведение матриц. Сложение и умножение функций также служат важными примерами операций, производимых не над числами.

Эти, а также и многие другие примеры потребовали изучения произвольных множеств, для элементов к-рых (т. е. для объектов, их составляющих) определены алгебраич. операции, одна или несколько, т. е. один или несколько связанных между собой способов сопоставлять по определённому закону со всякой парой элементов этого множества некоторый третий элемент этого же множества, условно называемый суммой заданных элементов, или же их произведением, или же как-либо иначе. Если ограничиться весьма общей и поэтому недостаточно точной формулировкой, то можно сказать, что задачей современной А. является изучение множеств, над элементами к-рых можно производить алгебраич. операции.

В подавляющем большинстве случаев алгебраич. теории изучают лишь свойства самих алгебраич. операций, а не свойства тех объектов, над к-рыми эти операции производятся, и это делает законным взгляд на А. как на науку о самих алгебраич. операциях. Для пояснения предположим, что мы рассматриваем два множества А и В, в каждом из к-рых определено по одной алгебраич. операции, называемой, напр., в обоих случаях умножением. Пусть между множествами А к В можно установить взаимно однозначное соответствие (т. е. так сопоставить элементы этих множеств, чтобы различным

элементам одного из них соответствовали различные элементы в другом), причём это соответствие обладает следующим дополнительным свойством: если а па' - произвольные элементы множества А и если олементу а поставлен в соответствие элемент Ъ из множества В, а элементу а' - элемент Ъ' из В, то элементу аа' (нроизиедению элементов а и а' в смысле операции, определённой в множестве Л) должен быть поставлен в соответствие элемент ЬЪ', а не какой-либо иной элемент множества В. Если между множествами А и В возможно такое соответствие, «сохраняющее операцию», то эти множества называются изоморфными и с алгебраич. точки зрения считаются тождественными. Хотя А и В состоят, возможно, из элементов совсем различной природы, но все свойства операции, определённой в А, будут иметь место и для операции, определённой в В, и обратно, т. е. можно сказать, что в Л и в В определена одна и та же алгебраич. операция. Определение изоморфизма двух множеств вполне сохраняет смысл, конечно, и в том случае, когда в одном ив них операция названа умножением, а в другом •- сложением, или когда рассматриваются множества с несколькими операциями.

Укажем несколько примеров изоморфных алгебраич. систем. Пусть А будет множество положительных действительных чисел с обычным умножением чисел в качестве алгебраич. операции, -л В - множество всех действительных чисел, положительных и отрицательных, со сложением чисел в качестве алгебраич. операции. Тогда соответствие, при к-ром со всяким положительным числом сопоставляется его логарифм (по основанию 10), являющийся, очевидно, элементом множества В, будет изоморфным соответствием между А и В, так как логарифм произведения равен, кап известно, сумме логарифмов сомножителей. Таким образом, всякому свойству умножения положительных чисел соответствует вполне определённое свойство сложения всех действительных чисел. В качестве другого примера укажем на комплексные числа. При их построении в качестве исходного материала иногда используются точки плоскости, иногда - векторы на плоскости (т. о. направленные отрезки, выходящие из начала координат), иногда же просто пары действительных чисел. Оказывается, что во всех этих случаях мы приходим к изоморфным между собой алгебраич. системам, каждая из к-рых вполне законно представляет систему комплексных чисел.

Указанный новый взгляд на А. сформировался лишь в 20 в., причём крупная роль принадлежит здесь женщине-математику Э. Иётер (см.). В России основоположником этой новой А. явился Д. А. Траке (см.) (1863-1939), создавший в Киеве крупную алгебраич. шнолу. Заметный вклад в современную А. в смысле отшлифовки её основных идей внёс С. О. Шатуиоаский (см.) (1859-1929, Одесса). В советские годы выдающееся место в смысле пропаганды алгебраич. идей и подготовки новых кадров алгебраистов занял Московский университет (О. Ю. Шмидт, А. Г. Курти, см.).

Само собой разумеется, что не все множества, в к-рых определены алгебраич. операции, в одинаковой мере заслуживают изучения. Исторически, в связи с их значением для приложений в смежных отделах науки, выделилось небольшое число основных типов таких множеств, операции в которых по своим свойствам более или менее близки и операциям сложения и умножения чисел. Наиболее важными среди различных алгебраич. образовании являются поля, кольца, группы

8*

и с т р у к т у р ы. Изучение свойств именно этих алгебраич. образований, описание их строения и их связей между собой и с другими основными математич. объектами как раз и составляют важнейшую задачу А. середины 20 п.

Наиболее тесно связано с уравнениями понятие пол п. Это понятие возникает в результате сравнения алгебраич. свойств совокупности всех рациональных чисел, совокупности всех действительных чисел и совокупности всех комплексных чисел. В каждом из этих трёх примеров мы имеем множество чисел, в к-ром определены две основные операции-сложение и умножение •- обе коммутативные (т. е. а -)- Ь = Ь -J- ч, лЪ = Ьа) и ассоциативные [т.е. (а+ Ь) -(- с=« + (6 +с), (ab)<: = = а(Ьс)]. Эти дво операции связаны между собой, далее, законом дистрибутивности, т. в. правилом раскрытия скобок: (a -f Ъ)с - ас + be. Наконец, для каждой из этих операций в пределах самого рассматриваемого множества выполнима обратная операция - вычитание, как операция, обратная для сложения, и деление, как операция, обратная для умножении (последняя, впрочем, за исключением случая деления на нуль). Полем называется всякое множество, в к-ром определены операции сложения и умножения со всеми перечисленными свойствами.

Сз'ществует чрезвычайно много различных (т. е. не изомор'фиых) полей. Помимо названных выше трёх основных примеров числовых полей - поля рациональных, действительных и комплексных чисел, - можно указать много других полей, составленных также из чисел. Так, всевозможные числа вида

а + Ь У 2

с рациональными коэфициентэми а, Ь также составляют ноле. Существуют, вместе с тем, поля, элементы к-рых не являются числами. Так, множество всевозможных дробно-рациональных функций, т. е. выражений вида

с произвольными комплексными коэфициентами (если равенство, сумму и произведение этих функций понимать так, как это принято для дробей), будет являться полем, более широким, чем иоле комплексных чисел. С другой стороны, существуют поля, состоящие всего лишь из конечного числа элементов. Простейшее из них состоит из двух элементов и строится следующим образом: вся совокупность целых чисел разбивается на два класса- класс чётных и класс нечётных чисел. Можно проверить, что множество, элементами к-рого являются эти два класса, оказывается полем после того, как в нём вводятся сложение и умножение в соответствии с правилами: «чётное плюс чётное даёт чётное», «четное плюс нечётное даёт нечётное», «чётное, умноженное на нечётное, даёт чётное» и т. д. Если дано нек-рое уравнение ге-й степени

a0xn + a.ix«-i + ...+an_lx + an = 0 (1)

с рациональными коэфициентами, то оно, как выше сказано, имеет в поле комплексных чисел п корней. Присоединяя эти корни к полю рациональных чисел, т. е. собирая все числа, к-рые можно получить из этих корней и из любых рациональных чисел при помощи сложении, умножении и вычитания, мы получим, как оказывается, нек-рое поле, содержащее внутри себя поле рациональных чисел и содержащееся в поле комплексных чисел, т. е.

являющееся подполем последнего. Это будет поле корней (или поле разложения) заданного уравнения (1); так, для уравнения хг-2=0 полем корней служит уже отмечавшееся выше поле, состоящее из чисел вида а-\-ЬУ~2 с рациональными а и Ь. Можно считать, что вопрос о решении уравнения (1) сводится к вопросу о разыскании поля его корней.

При переходе к произвольному полю Р в качестве основного поля, вполне сохраняет смысл понятие уравнения гг-й степени (1),- но уже с коэфициентами из поля Р, а не с числовыми коэфициентами, - а также понятие корня этого уравнения, причём корень может быть теперь или элементом самого поля Р, или же элементом нек-рого более широкого поля. Оказывается, что всегда можно найти такое поле Р, содержащее внутри себя поле Р, что в Р для урапнения (1) содержится п корней. Присоединяя эти корни (в указанном выше смысле) к основному полю Р, мы получим содержащееся в поле Р поле корней уравнения(1). Правда, можно найти много различных полей корней для данного уравнения (1), но все они будут, как оказывается, между собой изоморфными.

Справедлива следующая, еще более общая теорема: всякое поле Р содержится в таком поле Q, что все уравнения вида (1) всевозможных степеней с коэфициентами из Q и, в частности, все уравнения с коэфициентами из Р обладают в Q корнями. Поле со свойствами поля Q называется алгебраически замкнутым; таково, например, поле комплексных чисел. Эта теорема по-новому - и на этот раз чисто алгебраич. путём - решает вопрос о существовании корней уравнения (см. выше об «основной теореме А.»).

Конечной целью теории полей можно считать полное описание всех неизоморфных между собой полей. До достижения этой цели пока еще очень далеко, и сейчас усилия специалистов в этой области направлены преимущественно на глубокое изучение двух специальных типов полей -полей алгебраич. чисел п полей алгебраич. функций. Полями алгебраич. чисел называются поля корней для уравнений с целочисленными коэфициентами. Основной метод для изучения этих полей даёт упомянутая выше теория Галуа (см. Галуа теория), позволяющая со всяким таким полем сопоставить конечную группу - его группу Галуа. Теория алгебраических чисел, изучающая указанные поля, связывает А. с другим самостоятельным разделом математики - теорией чисел. В теории алгебраических чисел, заложенной в 19 в. Куммером и продолженной Дедекиндом, Гильбертом и др., много сделано русскими учёными Е. И. Золотарёвым (см.) (1847-78), Г. Ф. Вороным (см.) (1868-1908), А. А. Марковым (см.) (1856-1922). Полями алгебраических функций (см.) называются поля корней для уравнений, коэфициентами к-рых служат упомянутые выше дробно-рациональные функции. В изучении этих полей исследования алгебраистов сочетаются с исследованиями специалистов в теории аналитич. функций.

Из советских математиков большой вклад в теорию полей, особенно в теорию полей алгебраич. чисел, а также в примыкающие к теории полей вопросы А. многочленов внесли Н. Г. Чеботарёв (см.) (1894-• 1947, Казань) и его ученики. Особенно интересны глубокие исследования Н. Г. Чеботарёва, относящиеся к т. н. проблеме резольвент, т. е., кратко говоря, к вопросу о сведении решения данного алгебраич. уравнения к решению уравнения с возможно меньшим числом коэфициентов. Очень важны работы Б. Н. Делоне (см.) (Москва) и его сотрудников, относящиеся к теории алгебраич. чисел.

Теория полей является лишь одной из многих основных ветвей современной алгебраич. науки. Отказываясь в определении поля от требования выполнимости деления, мы приходим к понятию кольца, более общему, чем понятие поля. Примерами

колец служит совокупность всех целых чисел, совокупность многочленов и различные совокупности функций, для к-рых операции сложения и умножения также имеют смысл. Во всех этих примерах умножение коммутативно. Потребности приложений привели, однако, и к изучению колец с некоммутативным умножением, важнейшими примерами к-рых служат кольца квадратичных матриц; выше уже говорилось об умножении матриц, сложение же состоит в том, что складываются соответственные элементы данных матриц. В самое последнее время понятию кольца пришлось придать ещё более широкий смысл, отказавшись в его определении и от ассоциативности умножения. Примерами неассоциативных колец служат кольца Ли, играющие существенную роль в теории непрерывных арупп (см.). Отметим приложения неассоциативных колец в проективной геометрии и в квантовой физике. Теория колец детально разрабатывается в настоящее время в различных направлениях, но пока еще весьма далека от завершения (см. Кольцо).

Важнейшей ветвью теории колец является теория гиперкомплексных систем, или а л-гебр. Алгеброй над полем Р называется кольцо, являющееся одновременно векторным пространством над этим полем (см. выше), причём умножение в самом кольце связано с умножением на элементы из Р следующим равенством:

(aa)(pb) = (*p)(a&),

где а, Ъ - элементы данного кольца, ч, р-элементы из Р. Во всякой алгебре можно выбрать такую систему элементов (т. н. базу) alt az,..., <in, что каждый элемент этой алгебры однозначно записывается в виде

aia1 + «2a2 + -- + <»„«„,

с коэфициентами аь а2,..., ая из поля Р. Кольца, встречающиеся в приложениях, очень часто оказываются алгебрами над нек-рым полем. Так, поле комплексных чисел можно считать алгеброй над полем действительных чисел с базой 1, t; кольцо квадратных матриц с элементами из поля Р будет алгеброй над этим полем; совокупность векторов в трёхмерном пространстве с их обычным сложением и их т. н. векторным умножением будет алгеброй над полем действительных чисел, притом неассоциативной - это пример алгебры Ли.

Теория алгебр под названием теории гиперкомплексных числовых систем (см. Гиперкомплексные числа) возникла во 2-й половине 19 в. в связи с попытками обобщения комплексных чисел. Началом явилось введение кватернионов (см.)-гиперкомплексной системы, обладающей базой из четырёх элементов. В этой системе умножение некоммутативно, но ассоциативно, причём, как и в полях, выполнимо деление; заметим, что поля с некоммутативным умножением называются телами. В развитии общей теории алгебр очень значительную роль сыграли работы русского математика Ф. Э. Молина (1862-1941, Юрьев, затем Томск), относящиеся к концу 19 в.

Кольца и, в частности, поля служат важнейшими примерами множеств с двумя алгебраич. операциями. Не менее часто встречаются, однако, множества лишь с одной операцией. Обычно эта операция оказывается ассоциативной, хотя не обязательно коммутативной, и, сверх того, обладает обратной операцией. Тогда такое множество называется группой. Например, всякое кольцо будет группой относительно сложения, всякое поле, после удаления из него нуля, - группой относительно

умножения. Группой по сложению будет всякое векторное пространство. Совокупность вращений шара, если умножением считать последовательное выполнение двух вращений, будет примером некоммутативной группы.

Важные примеры конечных некоммутативных групп дают подстановки (см.), т. е. взаимно однозначные отображения конечных множеств на себя, причём произведением двух подстановок считается результат их последовательного выполнения. Теория групп, возникшая и связи с теорией Галуа (см. выше), долго ограничивалась изучением групп подстановок. Переход к общему понятию группы, притом без предположения конечности, произошёл много позже и сразу привёл к многочисленным новым приложениям теории групп. Так, очень значительна роль групп, особенно коммутативных (абелевых), в топологии (см.). Методы теории групп, п первую очередь теория представлений групп матрицами, нашли большое применение в современной физике.

Теория групп принадлежит к числу наиболее богатых содержанием и широко развивающихся ветвей А. (см. Группы). Руководящее место в теории групп занимает теперь советская теоретико-групповая школа. К этой школе принадлежат, в частности, акад. О. Ю Шмидт (Москва), А. Г. Ку-рош (Москва), А. И. Мальцев (Москва - Иваново) и их ученики, работающие в различных городах Советского Союза.

В последние годы предметом изучения стало также понятие структуры (см.). Простейшими примерами структур служат множество всех натуральных чисел,- если в нём в качестве двух алгеб-раич. операций рассматривается взятие наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел,- а также совокупность всех подмножеств иек-рого множества, если двумя алгебраич. операциями над подмножествами считать взятие их объединения и пересечения (т. е. общей части). Структуры играют заметную роль в построении основ проективной геометрии. Специальный тип структур - булева структура (менее удачное название - булева алгебра) - существенно используется в математической логике (см. Логика математическая), а в последнее время находит применение - в электрич. контактных схемах.

Понятия группы и кольца имеют очень большое общема-тематич. значение и поэтому весьма часто появляются ра. боты, посвящённые введению и изучению различных обобщений этих понятий. Тан, многочисленные исследования по теории обобщённых групп принадлежат А. К. Сушке-вичу (Харьков). Появляются также и различные обобщения понятия структуры. Наряду с содержательными обобщениями, являющимися вкладом в науку, часто, особенно в иностранной литературе, обобщения вводятся путём только формального ослабления требований, входящих в определения группы, кольца или структуры. Такие обобщения, как правило, не полготопленные предшествующим развитием математики, возникают вне ценной связи с серьезными запросами сметных отделов науки, а часто даже nei подкрепляются сколько-нибудь содержательными примерами. Они оказываются поэтому весьма недолговечными и не становятся предметом глубокой теории.

Данное выше определение А., как науки о множествах с заданными в них алгеОраич. операциями, при всей его широте не может охватить всего содержания этой живой и развивающейся науки. За его пределами остаются, в частности, некоторые отделы А., пограничные с другими раздела ми математики. Такова топологическая алгебра, посвящённая изучению групп и колец, одновременно являющихся топологическими пространствами; имеется много важных примеров таких топологических групп и колец. Большую роль в развитии топологич. А. сыграли работы Л. С. Понтрягинп (Москва), особенно созданная им теория характеров топологических абеленых групп, а также работы Л. А. Маркова младшего (Ленинград). К этому же разделу А. относится теория нормированных алгебр, выросшая из теории колец функ-'

щга и тесно связанная с функциональным анализом; главная роль в её создании принадлежит И. М. Гельфанду (Москва) и его сотрудникам.

Лишь начинает развиваться теория упорядоченных и частично упорядоченных групп и колец, т. с. групп и нолей,для элементов к-рых определено нек-рое отношение порядка (отношение «больше», «меньше»); таковы, в частности, группы, одновременно являющиеся структурами. Впервые рассмотрение упорядоченных нолей оказалось полезным в вопросах оснований геометрии. Упорядоченные и частично упорядоченные группы возникли позже, преимущественно в связи с теорией функциональных пространств; заслуга их введения принадлежит, в основном, Л. В.Канторовичу (Ленинград).

Укажем, наконец, на теорию непрерывных групп, или групп Л и. Многочисленные приложения, в первую очередь в геометрии (различные геометрия, системы характеризуются тем, какие непрерывные группы «движений» лежат в их основе), сделали теорию групп Ли в связи с теорией алгебр Ли предметом глубокого изучения. Из советских учёных много сделали в этой области II. Г. Чеботарёв со своими учениками и А. И. Мальцев.

IV. Алгебра в средней школе.

Всё содержание курса математики в начальной и средней советской школе распределяется между четырьмя учебными предметами: арифметикой, алгеброй, геометрией и тригонометрией. В связи с этим, а также с тем, что часы для арифметики отводятся только в младших классах, а программы по геометрии не включают метода координат, школьный курс А. содержит вопросы, выходящие за пределы чистой А. в её современном понимании. Собственно алгебраическая часть школьного курса А. исчерпывается вопросами тождественных преобразований рациональных выражений, теории многочленов (см.), включая деление (см.) многочленов с остатком, решения и исследования уравнений и систем уравнений.

Кроме того, на долю школьного курса А. приходятся: 1) Продолжение развития учения о числе (см.) (отрицательные, иррациональные и комплексные числа), углубление представлений о приближённых вычислениях, техника точного и приближённого извлечения квадратных корней, принцип математической индукции и вопросы комбинаторики (см.). Все эти вопросы программы логически являются завершением начального курса арифметики. Примыкающие сюда же вопросы измерения величины (см.) в преподавании относятся к курсу геометрии.

2) Начатки учения о пределах (см.), суммирование бесконечных рядов (см.), хотя бы для случая геометрической прогрессии, понятие функциональной зависимости (см. Функция) с исследованием (помимо рациональных) простейших трансцендентных функций - показательной и логарифмической. Эти разделы школьного курса по существу являются введением в математич. анализ. Сюда же без всякого насилия над строением курса могло бы примыкать знакомство с понятием производной, т. е. началами дифференциального исчисления (см.), и простейшими применениями обратной операции - интегрирования (см. Интегральное исчисление).

3) При изучении функций широко употребляется графический метод (см. График), в связи с чем вводятся координаты на плоскости. Если координатный метод, помимо иллюстративного его значения для пояснения алгебраич. и аналитич. фактов, использовался бы и в обратном направлении - для изучения геометрич. образов при помощи уравнений, - то курс А. включал бы в себя и начатки аналити ческой геометрии.

Такое строение школьного курса А. вырабатывалось исторически и является вполне целесообразным. Существенной задачей школьного курса является усвоение собственно алгебраич. буквенного

исчисления как в отношении сознательного понимания смысла алгебраич. преобразований, так и в отношении приобретения совершенно твёрдых, даже доведённых до известного автоматизма, тех-нич. навыков. Пренебрежением к этой задаче преподавания А, грешили многие методисты и авторы учебников в первые годы развития советской педагогики.

В части обоснования учения об иррациональном числе (см.) обязательное преподавание в школе правильно ограничивается минимумом, оставляя углубление вопроса для кружковых занятий с наиболее митеросуюгиимися учащимися. Важно, однако, не создавать у учащихся ложных представлений. Для этого необходимо, чтобы сам преподаватель вполне владел строгой теорией.

Полным достоянием всех учащихся должно сделаться функциональное мышление. Для этого существенно, чтобы раз воспринятое понятие функции широко использовалось в дальнейшем курсе.

Трудным вопросом школьной программы считаются неравенства (см.). Возможно, что это объясняется желанием поставить в центре внимания, по формальной аналогии с решением уравнений, теорию «решения неравенств». Практически важнее и нагляднее свойственный анализу подход к неравенствам как орудию для оценок (напр, неравенство |а -)-&1«?| а + Ъ\, оценка ошибки при приближённых вычислениях и т. п.).

Очень существенно, наконец, чтобы учащиеся достаточно много тренировались в нримешчпш общих алгебраич. методов к решению конкретных задач, с доведением этого решения до числовых результатов и сознательной опенки точности этих результатов. С этой практич. точки зрения не следует, напр., забыкать, что основательное усвоение техники логарифмич. вычислений столь же необходимо, как и понимание их теории.

Лwm.: История начального периода алгебры-Выгодский М. Я., Арифметика и алгеОра в древнем мире, М.-Л., 1941.

Классики науки -Д е к а р т Р., Геометрия, пер. А. П. Юткевича. М.-Л., 1938; Ньютон И. Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе, пер. А. П. Юлшевича, М., 1948; Эйлер Л., Универсальная арифметика, пер. с нем.. СПБ 1768-69; Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений. Гл. ред. В. Ф. Каган, т. 4 - Сочинении по алгебре. М. -Л., 1948; Га л у а 9.. Сочинения, пер. с франц., под ред. и с примеч. Н. Г. Чеботарёва, М.-Л., 1936.

Обстоятельное изложение А. 19 века - Граве Д., Элементы высшей алгебры, Киев. 1914. Популярное введение в некоторые; идеи современной алгебры - Але к с а и д р о в П. С., Введение в теорию групп М.. 1938.

Современные университете кие курсы - К у ро ш А. Г., Курс высшей алгебры, М.-Л., 1946; О к у и е в Л. Я., Высшая алгебра, 3 изд.. М.-Л., 1944; С у ш ке в и ч А. К.. Основы высшей алгебры 4 изд., М.-Л.. 1941. Курсы линейной алгебры - Г е л ь ф а н д И. М., Лекции по линейной алгебре, М.-Л., 1948; М а л ь ц е в А. И.. Основы линейной алгебры, М.-Л., 1948. Подробное изложение новейшей а л г е б р ы - В а н-д е р-В а р д е н Б. Л., Современная алгебра пер. с нем., иод ред. и с добавл. А. Г. Куроша, ч. 1-2, 2 изд., М.-Л.. 1947.

Монографии. По теории Галуа: Чебота ?ё в Н. Г. Основы теории Галуа, ч. 1-2, М.-Л., 934-37. По теории групп: Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, 2 изд. М. -Л.. 1933; Курош А. Г., Теория групп, М.-Л., 1944. По топологической алгебре и группам Ли: Понтря-ги н Л. С., Непрерывные группы, М.-Л.. 19НЯ; Чеботарёв Н Г. .Теория групп Ли, М. -Л., 1940. Обзоры работ советских учёных по А. в сб.: Математика в СССР за 30 лет, 1917-1947 М. - Л., 1948.

Сочинения и о элементарной А. Теоретическое изложение- Вебер и В е л ь штейн Энциклопедия ллементярной математики, т. 1, пер. с нем.. 2 изд.. Одесса, 1911 (имеется 3 изл. первой книги первого тома «Основания арифметики», М. -Л., 1927); Новоселов С. И., АлгеОра. (Для учитель ских институтов), М. - Л., 1947. Научно-методические статьи и книги по отдельным вопросам- Александров П. С., Научное содержание школьного курса алгебры, «Математика а школе», 1946, JVs-Ns 4, 5 - fi; Александров П. С. и Колмогоров А. П., Свойства неравенств и понятие о приближённых вычислениях, там же. 1941, № 2; их же, Иррациональные числа, там же, 1941. A's 3; Методический сборник, вып. 2, Л., 1947 (статьи И. С. Со-минского, Г. М. Фпхтенгольца, Б. 3. Вулиха, И. П. Натансона); Арнольд И. В., Отрицательные числа в курсе алгебры, М. - Л.. 1947; М а р к у ш е в и ч А. И., Действительные числа и основные принципы теории пределов. М. - Л., 1948; Гончаров В. Л., Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школы, М.- Л., 1947; Го н-ч а р о в В. Л.. Вычислительные и графические упражнения с функциональным содержанием в старших классах средней школы. М. - Л., 1948; М а р к у ш е в и ч А. И., Деление с остатком в арифметике и алгебре, М.- Л., 1949; Арнольд И. В., Показатели степени и логарифмы в курсе элементарной алгебры, М.- Л., 1949; Н е в я ж-ский Г. Л., Неравенства, М.. 1947.


Требуется проверка викификации!


Статья из Большой советской энциклопедии

Эта статья подлежит модернизации и корректировке!

Если Вы заметили неточность — Вы можете исправить её с помощью ссылки редактировать (или править) на этой странице.


Требуется сведение текстов!

Эта статья фактически состоит из нескольких не связанных между собой фрагментов. Требуется исправить ее так, чтобы она была однородной! Вы можете сделать это с помощью ссылки редактировать или править.

(в этой статье не хватает wiki-ссылок)

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: