Создай собственный wiki-сайт или wiki-страницу на Вавилон.wiki!

Все желающие приглашаются к активному участию в проекте!

Наш проект открыт для любых форм сотрудничества .

Эвентологическое распределение

Из проекта Викизнание

Открытый Helgus~µастер~Kласс — H~µ~K
Это незавершённая статья из области эвентологии и её применений, редактируемая при участии Мастера

Эвентологическое распределение — ключевое понятие эвентологии, которое выделяет ее в самостоятельное направление теории вероятностей; определяет и вероятностное распределение множества случайных событий, выбранных из алгебры эвентологического пространства, и вероятностное распределение случайного множества событий, возможными значениями которого служат подмножества этого множества событий, составленные из событий, наступающих при наступлении элементарного события.

1 Эвентологическое распределение множества событий
2 Эвентологическое распределение случайного множества событий
3 Виды эквивалентной записи эвентологических распределений
4 Плотность эвентологического распределения
5 Классы эвентологических распределений
6 Заключение

[редактировать]

Эвентологическое распределение множества событий

Эвентологическое распределение множества событий $\mathfrak{X} \subseteq \mathcal{F}$ , выбранных из алгебры вероятностного пространства $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ , — определяется как набор вероятностей $\{p(X), \ X \subseteq \mathfrak{X}\}$ событий-террасок

${\rm ter}(X) = \bigcap_{x \in X} x \bigcap_{x \in X^c} x^c, \ X \subseteq \mathfrak{X},$

порожденных множеством выбранных событий $\mathfrak{X}$ , где

$p(X) = \mathbf{P}({\rm ter}(X)) = \mathbf{P}\left(\bigcap_{x \in X} x \bigcap_{x \in X^c} x^c\right), \ X \subseteq \mathfrak{X}.$

Поскольку события-терраски образуют разбиение

$\sum_{X \subseteq \mathfrak{X}}{\rm ter}(X) = \Omega$

пространства элементарных событий $\Omega \$ , ясно, что

$\sum_{X \subseteq \mathfrak{X}}p(X) = 1$

— вероятности событий-террасок удовлетоворяют вероятностной нормировке.

[редактировать]

Эвентологическое распределение случайного множества событий

Эвентологическое распределение случайного множества событий

$K : (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) \to \left( 2^\mathfrak{X}, 2^{2^\mathfrak{X}}\right)$

под множеством событий $\mathfrak{X} \subseteq \mathcal{F}$ , выбранных из алгебры вероятностного пространства $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ , — определяется как набор вероятностей $\{p(X), \ X \subseteq \mathfrak{X}\}$ событий $\{ \omega: \ K(\omega)=X \}$ , которые для каждого $X \subseteq \mathfrak{X}$ совпадают с соответствующими событиями-террасками, порожденными множеством выбранных событий $\mathfrak{X}$ :

$\{ \omega: \ K(\omega)=X \} = {\rm ter}(X),$

где $p(X) = \mathbf{P}({\rm ter}(X)) = \mathbf{P}\left(K=X\right)$ — вероятность того, что $K \$ принимает сет-значение $X \subseteq \mathfrak{X}$ . Иначе говоря, событие $\{ \omega: \ K(\omega)=X \}$ означает, что наступают все события из $X \$ и не наступает ни одного события из $X^c = \mathfrak{X}-X$ . Поскольку события-терраски образуют разбиение пространства элементарных событий $\Omega \$ , ясно, что

$\sum_{X \subseteq \mathfrak{X}}p(X) = 1$

— вероятности событий $\{ \omega: \ K(\omega)=X \}$ удовлетоворяют соотношению вероятностной нормировки.

[редактировать]

Виды эквивалентной записи эвентологических распределений

[редактировать]

Плотность эвентологического распределения

Для любого вида эвентологического распределения $p (X)$ определена его плотность, как сет-функция $d p (X)$ , удовлетворяющая соотношениям

$p(X) = \sum_{Y \subseteq X} dp(Y), \ \ \ X \subseteq \mathfrak{X},\$

из которых следуют соотношения, полученные обращением Мёбиуса:

$dp(X) = \sum_{Y \subseteq X} (-1)^{|X-Y|}p(Y), \ \ \ X \subseteq \mathfrak{X}.\$

Если $\varphi(X)$ — плотность, то соответствующее ему эвентологическое распределение обозначается

$\int \varphi(X) = \sum_{Y \subseteq X} \varphi(Y), \ \ \ X \subseteq \mathfrak{X}.\$

Таким образом, для любой эвентологической плотности $\varphi(X)$ и эвентологического распределения $p (X)$ операторы $d$ — «плотность-распределение» и $\int$ — «распределение-плотность» взаимнообратны: