Реклама на сайте (разместить):



Реклама и пожертвования позволяют нам быть независимыми!

Тензор гравитационного поля

Материал из Викизнание
Перейти к: навигация, поиск

Тензор гравитационного поля — это антисимметричный тензор, объединяющий в одно целое две компоненты гравитационного поля — напряжённость гравитационного поля и поле кручения. Он используется для описания гравитационного поля произвольной физической системы и для инвариантной формулировки уравнений гравитации в ковариантной теории гравитации. Гравитационное поле системы является компонентой общего поля.

Определение[править]

Тензор гравитационного поля определяется через гравитационный 4-потенциал поля ~D_{\mu } по формуле: [1] [2]

\Phi _{{\mu \nu }}=\nabla _{\mu }D_{\nu }-\nabla _{\nu }D_{\mu }={\frac  {\partial D_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac  {\partial D_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.\qquad \qquad (1)

Вследствие антисимметричности данной формулы разность двух ковариантных производных оказывается равной разности двух частных производных по 4-координатам.

Выражение для компонент[править]

Если учесть определение 4-потенциала гравитационного поля:

~D_{\mu }=\left({\frac  {\psi }{c_{{g}}}},-{\mathbf  {D}}\right),

где ~\psi – скалярный потенциал, ~{\mathbf  {D}} – векторный потенциал гравитационного поля, ~c_{{g}}скорость распространения гравитационного воздействия,

и для прямоугольных декартовых координат ~(c_{{g}}t,x,y,z) ввести напряжённости гравитационного поля по правилам:

~{\mathbf  {\Gamma }}=-\nabla \psi -{\frac  {\partial {\mathbf  {D}}}{\partial t}},
~{\mathbf  {\Omega }}=\nabla \times {\mathbf  {D}},

где ~{\mathbf  {\Gamma }} есть напряжённость гравитационного поля или гравитационное ускорение, ~{\mathbf  {\Omega }}поле кручения,

то ковариантные компоненты тензора гравитационного поля согласно (1) будут иметь следующий вид:

~\Phi _{{\mu \nu }}={\begin{vmatrix}0&{\frac  {\Gamma _{{x}}}{c_{{g}}}}&{\frac  {\Gamma _{{y}}}{c_{{g}}}}&{\frac  {\Gamma _{{z}}}{c_{{g}}}}\\-{\frac  {\Gamma _{{x}}}{c_{{g}}}}&0&-\Omega _{{z}}&\Omega _{{y}}\\-{\frac  {\Gamma _{{y}}}{c_{{g}}}}&\Omega _{{z}}&0&-\Omega _{{x}}\\-{\frac  {\Gamma _{{z}}}{c_{{g}}}}&-\Omega _{{y}}&\Omega _{{x}}&0\end{vmatrix}}.

Согласно правилам тензорной алгебры, поднятие (опускание) индексов тензоров, то есть переход от ковариантных компонент к смешанным и контравариантным компонентам тензоров и обратно, осуществляется с помощью метрического тензора ~g_{{\mu \nu }}. В частности, \Phi _{\alpha }^{{\mu }}=g^{{\mu \nu }}\Phi _{{\nu \alpha }}, а также ~\Phi ^{{\alpha \beta }}=g^{{\alpha \nu }}g^{{\mu \beta }}\Phi _{{\mu \nu }}.

В пространстве Минковского метрический тензор превращается в тензор ~\eta _{{\mu \nu }}, не зависящий от координат и времени. В этом пространстве, используемом в специальной теории относительности, контравариантные компоненты тензора гравитационного поля имеют вид:

~\Phi ^{{\mu \nu }}={\begin{vmatrix}0&-{\frac  {\Gamma _{{x}}}{c_{{g}}}}&-{\frac  {\Gamma _{{y}}}{c_{{g}}}}&-{\frac  {\Gamma _{{z}}}{c_{{g}}}}\\{\frac  {\Gamma _{{x}}}{c_{{g}}}}&0&-\Omega _{{z}}&\Omega _{{y}}\\{\frac  {\Gamma _{{y}}}{c_{{g}}}}&\Omega _{{z}}&0&-\Omega _{{x}}\\{\frac  {\Gamma _{{z}}}{c_{{g}}}}&-\Omega _{{y}}&\Omega _{{x}}&0\end{vmatrix}}.

Так как векторы напряжённости гравитационного поля и поля кручения являются компонентами тензора гравитационного поля, они преобразуются не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон преобразования этих векторов при переходе из неподвижной системы отсчёта K в систему отсчёта K’, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид:

\Gamma _{x}^{\prime }=\Gamma _{x},~~~\Gamma _{y}^{\prime }={\frac  {\Gamma _{y}-V\Omega _{z}}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c_{{g}}^{2}}}}}},~~~\Gamma _{z}^{\prime }={\frac  {\Gamma _{z}+V\Omega _{y}}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c_{{g}}^{2}}}}}},
\Omega _{x}^{\prime }=\Omega _{x},~~~\Omega _{y}^{\prime }={\frac  {\Omega _{y}+V\Gamma _{z}/c_{g}^{2}}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c_{{g}}^{2}}}}}},~~~\Omega _{z}^{\prime }={\frac  {\Omega _{z}-V\Gamma _{y}/c_{g}^{2}}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c_{{g}}^{2}}}}}}.

В более общем случае, когда скорость ~{\mathbf  {V}} системы отсчёта K’ относительно системы отсчёта K направлена в произвольном направлении, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость гравитационного поля и поле кручения преобразуются так:

{\mathbf  {\Gamma }}^{\prime }={\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {\Gamma }})+{\frac  {1}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c_{{g}}^{2}}}}}}\left({\mathbf  {\Gamma }}-{\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {\Gamma }})+[{\mathbf  {V}}\times {\mathbf  {\Omega }}]\right),
{\mathbf  {\Omega }}^{\prime }={\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {\Omega }})+{\frac  {1}{{\sqrt  {1-{V^{2} \over c_{{g}}^{2}}}}}}\left({\mathbf  {\Omega }}-{\frac  {{\mathbf  {V}}}{V^{2}}}({\mathbf  {V}}\cdot {\mathbf  {\Omega }})-{\frac  {1}{c_{{g}}^{2}}}[{\mathbf  {V}}\times {\mathbf  {\Gamma }}]\right).

Свойства[править]

  • ~\Phi _{{\mu \nu }} — антисимметричный тензор 2-го ранга, для него ~\Phi _{{\mu \nu }}=-\Phi _{{\nu \mu }}. Тензор имеет 6 независимых компонент, из которых три связаны с компонентами вектора напряжённости гравитационного поля ~{\mathbf  {\Gamma }}, а другие три – с компонентами вектора поля кручения ~{\mathbf  {\Omega }}.
  • Лоренцевские преобразования координат сохраняют два инварианта, вытекающие из тензорных свойств поля:
\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\nu \mu }}={\frac  {2}{c_{g}^{2}}}(\Gamma ^{2}-c_{g}^{2}\Omega ^{2})=inv,
{\frac  {1}{4}}\varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi _{{\sigma \rho }}=-{\frac  {2}{c_{g}}}\left({\mathbf  {\Gamma }}\cdot {\mathbf  {\Omega }}\right)=inv.

Первое выражение есть свёртка тензора, а второе определяется как псевдоскалярный инвариант. В последнем выражении используется символ Леви-Чивиты \varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }} для четырёхмерного пространства, являющийся полностью антисимметричным единичным тензором, при его калибровке \varepsilon ^{{0123}}=1.

  • Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:
\det \left(\Phi _{{\mu \nu }}\right)={\frac  {4}{c_{g}^{2}}}\left({\mathbf  {\Gamma }}\cdot {\mathbf  {\Omega }}\right)^{{2}}.

Применение[править]

Рассмотрим следующее выражение:

{\frac  {\partial \Phi _{{\mu \nu }}}{\partial x^{\sigma }}}+{\frac  {\partial \Phi _{{\nu \sigma }}}{\partial x^{\mu }}}+{\frac  {\partial \Phi _{{\sigma \mu }}}{\partial x^{\nu }}}=0.\qquad \qquad (2)

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора гравитационного поля согласно (1). Если в (2) в качестве индексов ~\mu \nu \sigma использовать неповторяющиеся сочетания 012,013, 023 и 123, и от потенциалов поля перейти к напряжённостям, то это приводит к двум векторным уравнениям:

~\nabla \times {\mathbf  {\Gamma }}=-{\frac  {\partial {\mathbf  {\Omega }}}{\partial t}},\qquad \qquad (3)
~\nabla \cdot {\mathbf  {\Omega }}=0.\qquad \qquad (4)

Уравнения (3) и (4) являются двумя из четырёх уравнений Хевисайда для напряжённостей гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Согласно (3), изменение во времени поля кручения создаёт круговое гравитационное ускорение, что приводит к эффекту гравитационной индукции, а уравнение (4) утверждает, что поле кручения, как и магнитное поле, не имеет источников. Уравнения (3) и (4) могут быть получены также из равенства нулю 4-вектора, находимого по формуле:

~\varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }}{\frac  {\partial \Phi _{{\mu \nu }}}{\partial x^{\sigma }}}=0.

Другая пара уравнений гравитационного поля также выражается через тензор гравитационного поля:

~\nabla _{\nu }\Phi ^{{\mu \nu }}={\frac  {4\pi G}{c_{{g}}^{2}}}J^{\mu },\qquad \qquad (5)

где J^{\mu }=\rho _{{0}}u^{\mu }=\left({\frac  {c_{{g}}\rho _{{0}}}{{\sqrt  {1-V^{2}/c_{{g}}^{2}}}}},{\frac  {{\mathbf  {V}}\rho _{{0}}}{{\sqrt  {1-V^{2}/c_{{g}}^{2}}}}}\right)=(c_{{g}}\rho ,{\mathbf  {J}}) есть 4-вектор плотности массового тока, \rho _{{0}} – плотность вещества в сопутствующей системе отсчёта, {\mathbf  {V}} – скорость движения элемента вещества, ~Gгравитационная постоянная.

В развёрнутом виде уравнения для напряжённостей поля с источниками поля имеют вид:

~\nabla \cdot {\mathbf  {\Gamma }}=-4\pi G\rho ,
~\nabla \times {\mathbf  {\Omega }}={\frac  {1}{c_{{g}}^{2}}}\left(-4\pi G{\mathbf  {J}}+{\frac  {\partial {\mathbf  {\Gamma }}}{\partial t}}\right),

где ~\rho – плотность движущейся массы, ~{\mathbf  {J}} – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость гравитационного поля порождается плотностью вещества, а по второму уравнению круговое поле кручения всегда сопровождает ток массы либо возникает при изменении во времени вектора напряжённости гравитационного поля.

Гравитационная 4-сила, действующая на массу ~M тела, может быть выражена через тензор гравитационного поля и 4-скорость тела:

~F_{\mu }=M\Phi _{{\mu \nu }}u^{\nu }.

Данное выражение получается, в частности, как следствие аксиоматического построения ковариантной теории гравитации на языке 4-векторов и тензоров. [3]

Если взять ковариантную дивергенцию от обеих частей в (5), то с учётом (1) получится: [4]

~\nabla _{{\alpha }}\nabla _{\beta }\Phi ^{{\alpha \beta }}=\nabla _{{\alpha }}\nabla _{\beta }\nabla ^{{\alpha }}D^{{\beta }}-\nabla _{{\alpha }}\nabla _{\beta }\nabla ^{{\beta }}D^{{\alpha }}=-R_{{\mu \alpha }}\Phi ^{{\mu \alpha }}={\frac  {4\pi G}{c_{g}^{2}}}\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}.

Уравнение непрерывности для массового 4-тока ~\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}=0 является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (5) из принципа наименьшего действия. Следовательно, свёртка тензора гравитационного поля и тензора Риччи должна равняться нулю: ~R_{{\mu \alpha }}\Phi ^{{\mu \alpha }}=0. В пространстве Минковского тензор Риччи ~R_{{\mu \alpha }} равен нулю, ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким:

~\partial _{{\mu }}J^{\mu }={\frac  {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf  {J}}=0.

Волновое уравнение для тензора гравитационного поля выглядит следующим образом: [5]

~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }\Phi _{{\mu \nu }}=-{\frac  {4\pi G}{c_{g}^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }+{\frac  {4\pi G}{c_{g}^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }+\Phi _{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }-\Phi _{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}\Phi ^{{\eta \lambda }}.

Действие и Лагранжиан[править]

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор гравитационного поля и содержится в функции действия: [4] [6]

~S=\int {Ldt}=\int (kR-2k\Lambda -{\frac  {1}{c}}D_{\mu }J^{\mu }+{\frac  {c}{16\pi G}}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}-{\frac  {1}{c}}A_{\mu }j^{\mu }-{\frac  {c\varepsilon _{0}}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}-
~-{\frac  {1}{c}}U_{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}-{\frac  {1}{c}}\pi _{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}d\Sigma ,

где ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени используемой системы отсчёта, ~k – некоторый коэффициент, ~R – скалярная кривизна, ~\Lambda – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, электромагнитный 4-потенциал ~A_{\mu }=\left({\frac  {\varphi }{c}},-{\mathbf  {A}}\right), где ~\varphi есть скалярный потенциал, а ~{\mathbf  {A}} является векторным потенциалом, ~j^{\mu } – электрический 4-ток, ~\varepsilon _{0}электрическая постоянная, ~F_{{\mu \nu }} – тензор электромагнитного поля, ~U_{\mu } – 4-потенциал поля ускорений, ~\eta и ~\sigma – коэффициенты поля ускорений и поля давления, соответственно, ~u_{{\mu \nu }}тензор ускорений, ~\pi _{\mu } – 4-потенциал поля давления, ~f_{{\mu \nu }}тензор поля давления, ~{\sqrt  {-g}}d\Sigma ={\sqrt  {-g}}cdtdx^{1}dx^{2}dx^{3} – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~dx^{0}=cdt, через произведение ~dx^{1}dx^{2}dx^{3} дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~{\sqrt  {-g}} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления: [5]

~-u_{{\beta \sigma }}\rho _{{0}}u^{\sigma }=\rho _{0}{\frac  {dU_{\beta }}{d\tau }}-\rho _{0}u^{\sigma }\partial _{\beta }U_{\sigma }=\Phi _{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma }+F_{{\beta \sigma }}\rho _{{0q}}u^{\sigma }+f_{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma },

здесь первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда ~\rho _{{0q}}, измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, последний член определяет силу давления.

Если варьировать функцию действия по гравитационному 4-потенциалу, получается уравнение гравитационного поля (5).

Тензор энергии-импульса гравитационного поля[править]

С помощью тензора гравитационного поля в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса гравитационного поля:

~U^{{ik}}={\frac  {c_{{g}}^{2}}{4\pi G}}\left(-g^{{im}}\Phi _{{mr}}\Phi ^{{rk}}+{\frac  {1}{4}}g^{{ik}}\Phi _{{rm}}\Phi ^{{mr}}\right).

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса гравитационного поля задаёт 4-вектор плотности гравитационной силы:

~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }U^{{\alpha \beta }}={\Phi ^{\alpha }}_{{k}}J^{k}.

Обобщённый импульс и механика Гамильтона[править]

По определению, обобщённый импульс {\mathbf  {P}} характеризует полный импульс элемента вещества с учётом импульсов от гравитационного и электромагнитного полей. В ковариантной теории гравитации обобщённая сила, как скорость изменения обобщённого импульса по координатному времени, зависит в том числе и от градиента от энергии гравитационного поля, связанного с элементом вещества и определяемого тензором гравитационного поля. [7]

В приближении слабого поля Гамильтониан как релятивистская энергия тела с массой ~m и с зарядом ~q при ~c=c_{g} равен:

~H=c{\sqrt  {m^{2}c^{2}+({\mathbf  {P}}-m{\mathbf  {D}}-q{\mathbf  {A}})^{2}}}+m\psi +q\varphi -
~-\int {({\frac  {c^{2}}{16\pi G}}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}-{\frac  {c^{2}\varepsilon _{0}}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }})}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+const.

Если использовать ковариантный 4-вектор обобщённой скорости

~s_{{\mu }}=U_{{\mu }}+D_{{\mu }}+{\frac  {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}A_{{\mu }}+\pi _{{\mu }},

то в общем случае Гамильтониан имеет вид: [4]

~H=\int {(s_{0}J^{0}-{\frac  {c^{2}}{16\pi G}}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}\varepsilon _{0}}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

где ~s_{0} и ~J^{0} обозначают временные компоненты 4-векторов ~s_{{\mu }} и ~J^{{\mu }}.

Если перейти в систему отсчёта, неподвижную относительно центра масс системы, Гамильтониан будет определять инвариантную энергию системы.

См. также[править]

Ссылки[править]

  1. Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.
  2. Strel'tsov V.N. On the Lorentz-Covariant Theory of Gravity. Apeiron, 1999, Vol. 6, Nr. 1–2, P. 55 – 61.
  3. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  4. 4,0 4,1 4,2 Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  5. 5,0 5,1 Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.
  6. Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, Vol. 35, No. 1, pp. 35-70 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889804. статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.
  7. Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55 – 75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.

Внешние ссылки[править]

Статью можно улучшить?
✍ Редактировать 💸 Спонсировать 🔔 Подписаться 📩 Переслать 💬 Обсудить
Позвать друзей
Вам также может быть интересно: