Викизнание:Песочница

Из проекта Викизнание



Оглавление

Схема Бернулли

Схема Бернуллипоследовательность \{X_n\}_{n=1}^{\infty} независимых случайных величин, имеющих Бернулли распределение .

Физически схема Бернулли моделирует многократное проведение независимых реализаций одного и того же случайного эксперимента с двумя исходами: успех и неудача. Случайное событие {Xi = 1} соответствует успеху в результате i-го испытания, а событие {Xi = 0} соответствует неудаче. Так весьма грамотно изложена схема Бернулли в ru.math.wikia.com/wiki/Распределение_Бернулли.

Наконец-то появился луч света в тёмном царстве. До этого бытовало невежество, согласно которому и биномиальная схема, и распределение Бернулли это одно и то же. СМ., например, http://wiki.bks-tv.ru/wiki/Обсуждение: Биномиальное_ распределение, http://cito-web.yspu.org/link1/metod/theory/node11.htm.

А ноги растут, в частности, от последней российской печатной энциклопедии [1]:

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (binomial distribution), распределение Бернулли , — дискретное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения k=0,1,2,\ldots,n с вероятностями

p_k=P(X=k)=b_k(n,p)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}

соответственно, где p — параметр Б. р., называемый вероятностью положительного исхода, 0 \le p\le 1 . Б. р.— одно из основных распределение вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний...

В том виде, в котором изложены оба распределения, под одну и ту же формулировку подпадает одновременно два распределения: Бернулли распределение и биномиальное распределение , что недопустимо и несправедливо.

Литература

1.Большев Л. Н. Биномиальное распределение. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1999, - С. 49-50. ISBN 5-85270265-X

См. также

Литература

<references />

1. История математики, т. 2. Математика XV11 века. М.: Наука, 1970, 300 С.

2. Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.

3. Биномиальное распределение. Математический энциклопедический словарь./Гл. ред. Ю. В Прохоров; Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Батюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. С.95.

4. Большев Л. Н. Биномиальное распределение. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия /Гл. ред. Ю. В. Прохоров.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. С. 49-50. ISBN 5-85270-265-X


Биномиальная выборка (binomial sample) — статистическая выборка, каждый элемент которой отобран с вероятностью, равной обратному числу элементов данной выборки.

Распределение биномиальной выборки

Пространство элементарных событий распределения биномиальной выборки содержит одну выборку различимых неупорядоченных элементов, объём которой n_i,\quad i=1,\ldots,n может лежать в пределах от нуля до положительного конечного числа элементов n\quad(n_i=n_n=n) включительно

0\le n_i\le n<\infty.

Вероятность распределения биномиальной выборки объёмом n_i,\quad i=1,\ldots,n элементов равна

P(n_i)= {n\choose n_i} p_i={n\choose n_i}2^{-n},

где P(ni) — вероятность произвольного выбора n _i,\quad i=1,\ldots,n элементов из n возможных с вероятностью p_i=2^{-n},\quad i=1,\ldots,n каждого из них;

\sum^n_0{{n}\choose{n_i}}=2^n

— общее число всевозможных выборок объемом n_i,\quad i=1,\ldots,n различимых неупорядоченных элементов;

сумма всех вероятностей распределения биномиальной выборки равна единице, что рассматривают как выполнение условия нормирования вероятностей согласно второй аксиоме аксиоматики Колмогорова

\sum_{n_i=0}^{n_i=n}P(n_i)= \sum_{n_i=0}^{n_i=n}{{n\choose n_i} p_i}=\sum_{n_i=0}^{n_i=n}{n\choose n_i}2^{-n}=1.

Математическое ожидание распределения биномиальной выборки

P(n_i)_{max}=\frac {n!}{0,5n!}2^{-n}.

Математическое ожидание биномиальной выборки

M(n_i)=0,5n,\quad  i=1,\ldots,n

имеет место, когда объем выборки равен половине элементов исходного nмножества.

Дисперсия распределения биномиальной выборки

D(n_i)= p_i(1-p_i), \quad  i=1,\ldots,n.

совпадает с дисперсией Бернулли распределения .

Свойства распределения биномиальной выборки

1. Вероятность биномиальной выборки является симметричной функцией относительно своего математического ожидания.

2. С ростом числа элементов степень отклонения случайно определенных теоретических параметров от их реальных значений практически сводится к нулю;

Некоторые примеры практического применения распределения биномиальной выборки

1. Если в ходе боевых действий артиллерийская батарея потеряет управление (например, командира) и вынуждена случайным образом вести обстрел, то с наибольшей вероятностью она будет вести залповой огонь одновременно с половины орудий, имеющихся у нею в наличии.

2. Если происходит ограбление банка и/или кассы супермаркета, при котором равновероятными случайными события является весь спектр возможных случаев от неудачного до полного ограбления, то чаще всего будет украдена половина имеющейся в наличии суммы денег.

3. Если происходит отлов ценных пород рыб или отстрел редких и/или ценных диких животных, то в результате с наибольшей вероятностью останутся половины интересующих нас популяций. Это дает научно обоснованные сведения для принятия решений на выдачу квот на отлов и/или отстрел.

См.также


ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ПОДМНОЖЕСТВ

Определение

Полиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств

\prod_{i=1}^k\frac{1}{n_i!}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}\prod_{j=0}^{j=k}\frac{1}{n_i!},
i=1,\ldots,k, \quad 2\le k \le n <\infty, \quad  j=0,1,\ldots,k,

определено на точечных пространствах элементарных событий

\Omega_1, \ldots, \Omega _k

и принимает в дискретные последовательные моменты времени

t_1, \ldots, t_k, \quad  t_i<t_{i+1}

целые неотрицательные значения

n_1, \ldots, n_k,

с соответствующими вероятностями успехов Бернулли распределений

p_1, \ldots, p_k,

взаимосвязанные условиями

n_1+\ldots+n_k=n, \quad p_1+ \ldots +p_k=1,

согласно которым

X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1}

в i - ый момент времени i - ая случайная величина Xi принимает значение n _i,  \quad  0\le n_i\le n-\ldots- n_{i-1} при условии, что в предшествующий момент времени n _{i-1}, \quad t_{i-1}<t_i предшествующая случайная величина Xi − 1 приняла значение n _{i-1}, \quad 0\le n_{i-1}\le n-\ldots-n_{i-2}. Причём каждая случайная величина зависима от всех предшествующих величин этого процесса. Исключение составляет только первая случайная величина этого распределения X1. Она является независимой.

Особенности данного распределения

1. Полиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств (левая часть таблицы 1 и таблица 2) имеет место, когда его подмножества различимы только местоположением элементов в них. В общепринятом понимании полиномиальное распределение — это полиномиальное распределение с упорядоченными подмножествами, а именно, то распределение, в котором учитывается только порядок следования самих подмножеств, но не учитывается порядок следования элементов в каждом подмножестве (таблица 3).

Номер Различимые элементы Наразличимые элементы
Комбинации Вероятность различимой комбинации Неразличимая комбинация Вероятность неразличимой комбинации
1 a c e
2 a e c
3 c a e 0,01333... * * * 0,08
4 c e a
5 e a c
6 e c a
Таблица 1 – Возможные комбинации трёх различимых и неразличимых элементов, их вероятности


Значения восьми случайных величин Знаменатель вероятности Вероятность распределения Дисперсия распределения Экстремумы распределения
1 1 1 1 1 1 1 1 8!×1! 0,240×10-2 3,937 1-й локальный максимум
2 1 1 1 1 1 1 0 6!×2! 0,673×10-1 3,172 1-й локальный минимум
2 2 1 1 1 1 0 0 2!4!2!×2!2! 0,252 2,625 Математическое ожидание (второй локальный максимум)
2 2 2 1 1 0 0 0 3!2!3!×2!2!2! 0,168 2,297
2 2 2 2 0 0 0 0 4!4!×2!2!2!2! 0,150×10-3 2,187 2-й локальный минимум
3 1 1 1 1 1 0 0 5!2!×3! 0.400×10-3 2,516 3-й локальный максимум
3 2 1 1 1 0 0 0 2!4!×3!2!2! 0,200×10-3 2,078
3 2 2 1 0 0 0 0 2!5!×313121 0,100×10-3 1,859
3 3 2 1 0 0 0 0 4!3!×4! 0,334×10-4 1,641 3-й локальный минимум
4 1 1 1 1 0 0 0 2!4!×4!2! 0,100×10-3 1,969 4-й локальный максимум
4 2 1 1 0 0 0 0 2!5!×4!2!2! 0,500×10-4 1,641
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 3 1 0 0 0 0 0 6!×4!4! 0,167×10-5 1,422
4 4 0 0 0 0 0 0 2!4!×3!2!3! 0,417×10-5 1,312 4-й локальный минимум
5 1 1 1 0 0 0 0 3!4!×5! 0,200×10-4 1,531 5-й локальный максимум
5 2 1 0 0 0 0 0 5!×5!2! 0,100×10-4 1,312
5 3 0 0 0 0 0 0 6!×5!3! 0,334×10-5 1,203
6 1 1 0 0 0 0 0 2!5!×6! 10-5 1,203
6 2 0 0 0 0 0 0 6!×6!2! 0,167×10-5 1,094
7 1 0 0 0 0 0 0 6!×7! 0,477×10-6 0,984
8 0 0 0 0 0 0 0 7!×8! 0,596×10-7 0,875
Таблица 2 – Локальные экстремумы полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств


Значения восьми случайных величин Знаменатель вероятности Вероятность распределения Дисперсия распределения Экстремумы распределения
1 1 1 1 1 1 1 1 8!×1! 0,240×10-2 3,937 Математическое ожидание
2 1 1 1 1 1 1 0 6!×2! 0,120×10-2 3,172
2 2 1 1 1 1 0 0 2!4!2!×2!2! 0,600×10-3 2,625
2 2 2 1 1 0 0 0 3!2!3!×2!2!2! 0,300×10-3 2,297
2 2 2 2 0 0 0 0 4!4!×2!2!2!2! 0,150×10-3 2,187 1-й локальный минимум
3 1 1 1 1 1 0 0 5!2!×3! 0.400×10-3 2,516 1-й локальный максимум
3 2 1 1 1 0 0 0 2!4!×3!2!2! 0,200×10-3 2,078
3 2 2 1 0 0 0 0 2!5!×313121 0,100×10-3 1,859
3 3 2 1 0 0 0 0 4!3!×4! 0,334×10-4 1,641 2-й локальный минимум
4 1 1 1 1 0 0 0 2!4!×4!2! 0,100×10-3 1,969 2-й локальный максимум
4 2 1 1 0 0 0 0 2!5!×4!2!2! 0,500×10-4 1,641
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 3 1 0 0 0 0 0 6!×4!4! 0,167×10-5 1,422
4 4 0 0 0 0 0 0 2!4!×3!2!3! 0,417×10-5 1,312 3-й локальный минимум
5 1 1 1 0 0 0 0 3!4!×5! 0,200×10-4 1,531 3-й локальный максимум
5 2 1 0 0 0 0 0 5!×5!2! 0,100×10-4 1,312
5 3 0 0 0 0 0 0 6!×5!3! 0,334×10-5 1,203
6 1 1 0 0 0 0 0 2!5!×6! 10-5 1,203
6 2 0 0 0 0 0 0 6!×6!2! 0,167×10-5 1,094
7 1 0 0 0 0 0 0 6!×7! 0,477×10-6 0,984
8 0 0 0 0 0 0 0 7!×8! 0,596×10-7 0,875
Таблица 3 – Локальные экстремумы математического ожидания полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами

2. В данном распределении не выполняются технические задачи и технические результаты, принятые и описанные в [1] для общепринятого полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами.

3. Отсутствует однозначность между номером случайной величины полиномиального распределения и её числовым значением.

4. Дисперсия данного полиномиального распределения

D(X_1=n_1,\ldots, X_k=n_k)=\sum_{i=1}^k(n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i

не зависит от различимости элементов его подмножеств и совпадает с дисперсией обычного полиномиального распределения (с различимыми подмножествами).

Общий и частный случаи полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств

Общий случай полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств имеет место, когда одно и более подмножеств содержит хотя бы одну выборку объёмом не менее двух элементов.

Частный случай этого распределения имеет место, когда выборки различимы между собой и принимают нулевые и/или единичные значения, а число выборок не меньше числа случайных величин распределения.

Принцип получения вероятностей полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств

В оснву получения вероятностей этого распределения положен алгоритм Феллера, суть которого изложен на с.60 [2] (<ref>Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир, 1984. 527 с. <ref/>).

Произвольный исходный набор, например, 22111100 (таблица 2, 3-я строка сверху), разбивается на три группы, в каждой из которых выборки равных объёмов, а именно: 22, 1111 и 00 (2, 4 и 2). Такое разбиение может быть выполнено \frac{8!}{2!4!2!}=420 способами. Каждому из этих 420-ти различимых наборов соответствует вероятность \frac{8!}{2!2!}8^{-8}=0,000600. Общая вероятность 420-ти различимых наборов (из исходного набора 22111100) составит \frac{8!}{2!2!}8^{-8}\frac{8!}{2!4!2!}=0,252432222. Аналогично рассчитываются вероятности для всех других наборов таблицы 3. Жирным шрифтом в таблицах 3 и 4 выделены максимумы, косым шрифтом - минимумы.

Принцип получения математического ожидания полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств

Математическое ожидание как глобальный максимум вероятностей полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств находится из тех же соображений, что и глобальный максимум любого полиномиального распределения, а именно, чем меньше знаменатель полиномиального коэффициента, тем больше вероятность. Отсюда в искомом наборе должны присутствовать выборки объёмами 0 и 1, а сам набор должен быть как можно большего размера с тем, чтобы разместить в нём как можно больше нулевых и единичных выборок.

В общем случае из-за наличия нулевых выборок это выполнить невозможно без добавления выборок большего объёма. Такими могут быть только выборки с объёмами по два элемента исходного множества. Следовательно, выборками объёмами 0, 1 и 2 элемента можно описать любой набор максимального размера, и глобальный максимум вероятностей различимых наборов необходимо искать в наборах, в которых имеются три группы выборок с объёмами 0, 1 и 2 элементов (см.таблицу 2, 3-ю строку сверху). Единственное исключение составляет случай биномиального распределения. Его набор можно заполнить только одними единицами: 11.

В первом приближении группы двоек, единиц и нулей принимаются равными. Максимальная длина набора делится на 3. При этом, если число делится на 3 с остатком, то остаток добавляется в группу единиц. Например, в таблице 2 число случайных величин (восемь) на три делится с остатком (\frac{n}{3}=\frac{8}{3}\approx2,667). Получается две группы по две двойки и по два нуля, а оставшаяся группа будет содержать четыре единицы: 22111100, поскольку 1!=1. Соответственно глобальный максимум вероятностей будет kn = 8 = 0,252 (таблица 3, 3-я строка сверху).

Если число делится на 3 без остатка, например, kmax = 15, то из групп двоек и нулей удаляются по одному элементу, а в группу единиц добавляются две единицы: 222211111110000 (pmax = 15 = 0,08407).

Из этого правила исключение составляют относительно малые значения, которые делятся на 3 без остатка: 3, 6 и 9. Для них глобальный максимум вероятностей достигается при равномерном распределении двоек, единиц и нулей (210, kn = 3 = 0,6666; 221100, kn = 6 = 0,3472 и 222111000, kn = 9 = 0,19662).

Если за точку отсчёта взять случай, соответствующий биномиальному распределению (kmax = n = 2, pn = 2 = 0,333), то зависимость глобального максимума (pkmax = n) вероятностей от максимального размера (kmax = n = 2) различимых наборов будет иметь максимум максиморум при (pn = 3 = 0,6666) и далее будет монотонно убывать, асимптотически приближаясь к нулю.

Локальные максимумы различимых наборов определяются аналогично локальным максимумам полиномиального распределения с той лишь разницей, что помимо единичных выборок в искомых наборах могут присутствовать и выборки несколько больших объёмов (таблицы 3 и 4).

Литература

<references />

1. Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир, 1984. 527 с.

См. также

Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств

Внимание! Эта статья ещё не завершена!

Определение

Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств

\prod_{i=1}^2\frac{1}{n_i!}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!  n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2}\prod_{j=0}^2\frac{1}{n_i!},
i=1,2, \quad 2= k \le n <\infty, \quad j=0,1,2,

определено на точечных пространствах элементарных событий

\Omega_1,  \quad \Omega_2

и принимает в дискретные последовательные моменты времени

t_1,  \quad  t_2, \quad  t_i<t_2

целые неотрицательные значения

n_1,  \quad  n_2,

с соответствующими вероятностями успехов Бернулли распределений

p_1, \quad p_2,

взаимосвязанные условиями

n_1+n_2=n, \quad p_1+ p_2=1,

согласно которым

X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1}

в i - ый момент времени i - ая случайная величина Xi принимает значение n _i,  \quad  0\le n_i\le n-\ldots- n_{i-1} при условии, что в предшествующий момент времени n _{i-1}, \quad t_{i-1}<t_i предшествующая случайная величина Xi − 1 приняла значение n _{i-1}, \quad 0\le n_{i-1}\le n-\ldots-n_{i-2}. Причём вторая случайная величина зависима от первой случайной величины этого процесса. Первая случайная величина этого распределения X1 является независимой.

Параметры полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств

Пространство элементарных событий распределения

\sum_{i=1}^k\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}),

вероятность распределения

\prod_{i=1}^k\frac{1}{n_i!}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}\prod_{j=0}^{j=k}\frac{1}{n_i!},

математическое ожидание распределения

\prod_{i=1}^k\frac{1}{n_i!}E(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=\prod_{i=1}^k(n_1-\ldots-n_k)p_i \prod_{i=1}^j\frac{1}{n_i!},

дисперсия распределения

\sum_{i=1}^kD(t_i,X_1=n_i)=\sum_{i=1}^k(n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i.

Параметры случайной величины полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств

Пространство элементарных событий случайной величины

\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0\le n_i \le n-\ldots-n_{i-1}],

вероятность случайной величины

P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\frac{1}{n_j!}=\frac{1}{n_j!}{n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}p_i^{n_i}, \quad i=1,\ldots,k, \quad j=1,\ldots,k,

математическое ожидание случайной величины

E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\frac{1}{n_j!}=\frac{1}{n_j!}(n-\ldots-n_{i-1})p_i, \quad i=1,\ldots,k, \quad j=1,\ldots,k,

дисперсия случайной величины

D(t_i,X_i \mid t_{i-1},X_{i-1})=( n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i, \quad q_i=1-p_i.

Вероятная схема полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств

Полиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств появляется в так называемой полиномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов. Каждый цикл зависимых экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности t_1,\ldots,t_k, номера точек которой соответствуют номерам случайных величин распределения. Каждая из случайных величин распределения Xi = ni | Xi − 1 = ni − 1 — это число ni наступлений одного соответствующего события

x_i,\quad i=1,\ldots,k

в i - ый момент времени при условии, что в (i − 1) - ый момент произошло ni − 1 наступлений предшествующего события xi − 1 с положительным исходом, все вероятности которых p_i, \quad i=1,\ldots,k нормированы p_1+\ldots+p_k=1 и неизменны во время проведения зависимых экспериментов. Если в каждом цикле зависимых экспериментов вероятность наступления события xi равна pi, то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события x_1,\ldots,x_k наступят n_1,\ldots,n_k раз соответственно (ГДЕ ФАКТОРИАЛ?).

Литература

<references />

1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир, 1984. 527 с.