Все желающие приглашаются к активному участию в проекте!
Наш проект открыт для любых форм сотрудничества .
Булева алгебра
Из проекта Викизнание
Булева алгебра, булева решётка — частично упорядоченное множество специального вида; дистрибутивная решётка, имеющая наибольший элемент 1 — единицу булевой алгебры, наименьший элемент 0 — нуль булевой алгебры, и содержащая единственное дополнение каждого своего элемента x — элемент xc, удовлетворяющий соотношениям:
введена Дж. Булем (1847, 1854) как аппарат символической логики; в последствии нашла широкое применение в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и других разделах математики.
Оглавление |
Обозначения
Операции 
иногда обозначают 
, или
что подчёркивает сходство логических и теоретико-множественных операций. Вместо xc иногда пишут: 
.
Аксиоматика булевой алгебры
Булева алгебра может определяться аксиоматически, как непустое множество с операциями 
удовлетворяющими пяти аксиомам:
— коммутативность;
— ассоциативность;
- дистрибутивность:
;
- ;
;
При таком аксиоматическом подходе упорядочение не считается заданным заранее, а вводится условием:
тогда и только тогда, когда 
Возможны и другие аксиоматики, в которых всегда находит отражение аналогия между понятиями «множества», «события» и «высказывания».
Другие свойства
- Кроме основных операций булева алгебра допускает определение и других, среди которых особенно важна операция симметрической разности:
- также обозначается:
- Всякая булева алгебра есть булево кольцо с единицей относительно операции Δ (сложение) и
(умножение); любое кольцо с единицей можно рассматривать как булеву алгебру.
В логике
В основе применений булевой алгебры к логике лежит интерпретация элементов булевой алгебры как логических высказываний, при этом дополнение интерпретируется как отрицание высказывания, а операции — как дизъюнкция и конъюнкция.
В теории вероятностей
Булева алгебра используется в обосновании теории вероятностей: алгебра событий, изучаемая в теории вероятностей — это булева алгебра событий, при этом отношение означает, что событие x влечёт событие y; нуль булевой алгебры — невозможное событие; единица булевой алгебры — достоверное событие.